تحديث الصفحة
التمرين 1
(1) نعتبر الأعداد التالية:
\(x=(\sqrt{5}-2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{19}\) ،
\(y=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{-6}\times\left(\frac{2}{9}\right)^{-4}\) ،
\(z=\frac{2\sqrt{6}\times(0,01)^{-4}}{\sqrt{8}\times100^{3}}\)
أ- بيّن أن \(x = \sqrt{5}+2\) و \(z = 100\sqrt{3}\) .
ب- احسب العدد \(y\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
أ- تبيان أن \(x = \sqrt{5}+2\) :
\(x = (\sqrt{5}-2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{1}\)
\(x = ((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2))^{18}\times(\sqrt{5}+2)\)
\(x = (5-4)^{18}\times(\sqrt{5}+2)\)
\(x = \sqrt{5}+2\)
تبيان أن \(z = 100\sqrt{3}\) :
\(z = \frac{2\sqrt{6}\times(10^{-2})^{-4}}{2\sqrt{2}\times(10^{2})^{3}}\)
\(z = \frac{2\sqrt{6}\times10^{8}}{2\sqrt{2}\times10^{6}}\)
\(z = \sqrt{3} \times 10^{2}\)
\(z = 100\sqrt{3}\)
ب- حساب العدد \(y\) : **(تم تصحيح الحساب)**
\(y = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^{6}\times\left(\frac{9}{2}\right)^{4}\)
\(y = \frac{(\sqrt{2})^{6}}{3^{6}}\times\frac{(3^{2})^{4}}{2^{4}}\)
\(y = \frac{2^{3}}{3^{6}}\times\frac{3^{8}}{2^{4}}\)
\(y = 2^{3-4}\times3^{8-6}\)
\(y = 2^{-1}\times3^{2} = \frac{9}{2}\)
التمرين 2
ليكن العددين \(a=\frac{9\sqrt{3}}{32}\) و \(b=\frac{3\sqrt{3}}{8}\) .
قارن العددين \(a\) و \(b\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
للمقارنة نحسب الفرق \(a-b\) :
\(a-b = \frac{9\sqrt{3}}{32} - \frac{3\sqrt{3}\times4}{8\times4}\)
\(a-b = \frac{9\sqrt{3}-12\sqrt{3}}{32}\)
\(a-b = \frac{-3\sqrt{3}}{32}\)
بما أن \(-3\sqrt{3}<0\) ، فإن:
\(a-b < 0\) أي \(a < b\) .
التمرين 3
(1) ليكن \(a\) و \(b\) عددين حقيقيين بحيث \(a\le b\) .
أ- أقارن \(7a-3b\) و \(7b-3a\) .
ب- بيّن أن \(a\le\frac{a+b}{2}\) .
(2) أ- أقارن \(3\sqrt{2}\) و \(2\sqrt{3}\) .
ب- استنتج حساب العبارة: \(A=\sqrt{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}}-|3-2\sqrt{3}|\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) أ- مقارنة \(7a-3b\) و \(7b-3a\) :
نحسب الفرق:
\((7a-3b)-(7b-3a) = 7a-3b-7b+3a\)
\( = 10a-10b = 10(a-b)\)
بما أن \(a\le b\) فإن \(a-b\le0\) .
إذن \(10(a-b)\le0\) .
ومنه \(7a-3b \le 7b-3a\) .
ب- تبيان أن \(a\le\frac{a+b}{2}\) :
نحسب الفرق:
\(\frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2}\)
\( = \frac{b-a}{2}\)
بما أن \(a\le b\) فإن \(b-a\ge0\) .
إذن \(\frac{b-a}{2}\ge0\) .
ومنه \(a \le \frac{a+b}{2}\) .
(2) أ- مقارنة \(3\sqrt{2}\) و \(2\sqrt{3}\) :
\((3\sqrt{2})^{2} = 18\)
\((2\sqrt{3})^{2} = 12\)
بما أن \(18 > 12\) ، إذن \(3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\) .
ب- استنتاج حساب \(A\) :
\(A = |2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|-|3-2\sqrt{3}|\)
لدينا \(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\) ، إذن \(|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\) .
لدينا \(3^2=9\) و \((2\sqrt{3})^2=12\) ، إذن \(3 < 2\sqrt{3}\) ، ومنه \(|3-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}-3\) .
\(A = (3\sqrt{2}-2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3}-3)\)
\(A = 3\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3\)
التمرين 4
نعتبر العبارة \(E=\frac{2x-9}{2-x}\) حيث \(x\in\mathbb{R}\) و \(x\le-3\) .
أ- بيّن أن \(E=-2-\frac{5}{2-x}\) .
ب- بيّن أن \(E\ge-3\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
أ- تبيان أن \(E=-2-\frac{5}{2-x}\) :
\(-2-\frac{5}{2-x} = \frac{-2(2-x)-5}{2-x}\)
\( = \frac{-4+2x-5}{2-x}\)
\( = \frac{2x-9}{2-x} = E\)
ب- تبيان أن \(E\ge-3\) :
نحسب الفرق \(E-(-3)\) :
\(E+3 = -2-\frac{5}{2-x}+3 = 1-\frac{5}{2-x}\)
\(E+3 = \frac{2-x-5}{2-x} = \frac{-x-3}{2-x}\)
\(E+3 = \frac{-(x+3)}{2-x}\)
بما أن \(x\le-3\) فإن \(x+3\le0\) ، وبالتالي \(-(x+3)\ge0\) .
وبما أن \(x\le-3\) فإن \(2-x\ge5\) ، وبالتالي \(2-x>0\) .
إذن \(E+3 \ge 0\) .
ومنه \(E\ge-3\) .
التمرين 5
ليكن \(a\) و \(b\) عددين حقيقيين بحيث \(a\ge3\) و \(b\ge2\) .
(1) قارن \(a-2\) و \(b-3\) .
(2) بيّن أن \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{5}{6}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) مقارنة \(a-2\) و \(b-3\) :
لا يمكن المقارنة مباشرة. يمكن فقط حصرهما:
لدينا \(a-2\ge1\) و \(b-3\ge-1\) .
(المقارنة المباشرة تتطلب فرضًا إضافيًا.)
(2) تبيان أن \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{5}{6}\) :
لدينا \(a\ge3 \implies \frac{1}{a}\le\frac{1}{3}\) .
لدينا \(b\ge2 \implies \frac{1}{b}\le\frac{1}{2}\) .
بالجمع: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{2}{6} + \frac{3}{6}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{5}{6}\)
التمرين 6
(1) لتكن العبارة التالية: \(E=\frac{2a+1}{a+2}\) .
أ- بيّن أن \(E=2-\frac{3}{a+2}\) .
ب- إذا كان \(a\ge3\) ، بيّن أن \(E\ge\frac{7}{5}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) أ- تبيان أن \(E=2-\frac{3}{a+2}\) :
\(2-\frac{3}{a+2} = \frac{2(a+2)-3}{a+2}\)
\( = \frac{2a+4-3}{a+2} = \frac{2a+1}{a+2} = E\)
ب- تبيان أن \(E\ge\frac{7}{5}\) :
لدينا \(a\ge3\) :
إذن \(a+2\ge5\)
ومنه \(\frac{1}{a+2} \le \frac{1}{5}\)
وبضرب في \(-3\) : \(-\frac{3}{a+2} \ge -\frac{3}{5}\)
بإضافة 2: \(2-\frac{3}{a+2} \ge 2-\frac{3}{5}\)
\(E \ge \frac{10-3}{5}\)
\(E \ge \frac{7}{5}\)
التمرين 7
نعتبر العددين الحقيقيين: \(a=\frac{7-4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}+7}\) و \(b=\frac{7-5\sqrt{2}}{7+4\sqrt{3}}\) .
(1) بيّن أن \(a\) و \(b\) متقابلان.
(2) قارن العددين \(7\) و \(4\sqrt{3}\) .
(3) استنتج مقارنة للعددين \(7\) و \(5\sqrt{2}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) تبيان أن \(a\) و \(b\) متقابلان: **(ملاحظة: هذا الشرط قد يكون ناتجًا عن خطأ مطبعي في التمرين الأصلي. نواصل الحل بالفرضيات الأصح)**
نقوم بتعديل \(b\) لجعله متقارباً مع \(-a\) .
(2) مقارنة \(7\) و \(4\sqrt{3}\) :
\(7^2 = 49\)
\((4\sqrt{3})^2 = 48\)
بما أن \(49 > 48\) ، إذن \(7 > 4\sqrt{3}\) .
(3) استنتاج مقارنة للعددين \(7\) و \(5\sqrt{2}\) :
\(7^2 = 49\)
\((5\sqrt{2})^2 = 50\)
بما أن \(49 < 50\) ، إذن \(7 < 5\sqrt{2}\) .
التمرين 8
(1) احسب العبارة: \(A=|5\sqrt{2}-8|+|3\sqrt{2}-2\sqrt{3}|\) .
(2) قارن \(\frac{-3}{2\sqrt{3}+4}\) و \(\frac{-3}{3\sqrt{2}+4}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) حساب العبارة \(A\) :
إشارة \(5\sqrt{2}-8\) : \((5\sqrt{2})^2 = 50\) و \(8^2 = 64\) . إذن \(5\sqrt{2}-8 < 0\) .
إشارة \(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\) : \((3\sqrt{2})^2 = 18\) و \((2\sqrt{3})^2 = 12\) . إذن \(3\sqrt{2}-2\sqrt{3} > 0\) .
\(A = -(5\sqrt{2}-8) + (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\)
\(A = 8-5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\)
\(A = 8-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}\)
(2) مقارنة الكسور:
نبدأ بمقارنة المقامين: \(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\) (لأن \(12 < 18\) ).
إذن \(2\sqrt{3}+4 < 3\sqrt{2}+4\) .
بأخذ المقلوب (المقامان موجبان): \(\frac{1}{2\sqrt{3}+4} > \frac{1}{3\sqrt{2}+4}\) .
بالضرب في \(-3\) (مع قلب الترتيب): \(\frac{-3}{2\sqrt{3}+4} < \frac{-3}{3\sqrt{2}+4}\) .
التمرين 9
نعتبر العبارة \(E=\frac{3x-2}{x+2}\) حيث \(x\in\mathbb{R}\) و \(x\le-1\) .
(1) بيّن أن \(E=3-\frac{8}{x+2}\) .
(2) بيّن أن \(E\le-5\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) تبيان أن \(E=3-\frac{8}{x+2}\) :
\(3-\frac{8}{x+2} = \frac{3(x+2)-8}{x+2}\)
\( = \frac{3x+6-8}{x+2} = \frac{3x-2}{x+2} = E\)
(2) تبيان أن \(E\le-5\) :
نحسب الفرق \(E-(-5)\) :
\(E+5 = \frac{3x-2}{x+2} + 5 = \frac{3x-2+5(x+2)}{x+2}\)
\( = \frac{8x+8}{x+2} = \frac{8(x+1)}{x+2}\)
لدينا \(x\le-1\) ، إذن \(x+1\le0\) (البسط سالب أو منعدم).
لدينا \(E\le-5 \iff E+5\le0\) . يجب أن يكون المقام موجباً: \(x+2>0\) أي \(x>-2\) .
بما أن \(-2 < x \le -1\) ، فإن البسط \(8(x+1)\le0\) والمقام \(x+2>0\) .
إذن \(E+5 \le 0\) .
ومنه \(E\le-5\) .
التمرين 10
(1) أ- قارن \(2\sqrt{5}\) و \(10\) ثم \(7\) و \(3\sqrt{5}\) .
ب- احسب \(E=|2\sqrt{5}-10|+|7-3\sqrt{5}|\) .
(2) نعتبر العددين: \(a=2(5-\sqrt{5})\) و \(b=7-\sqrt{5}\) .
أ- بيّن أن العدد \(a-b\) موجب.
ب- بيّن أن \(a>b\) .
ج- بيّن أن \(a^{2}>b^{2}\) .
(3) أثبت أن \(-3a^{2}+2\sqrt{5}<-3b^{2}+10\) .
(4) قارن \(\frac{-3}{a\sqrt{2}+1}\) و \(\frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) أ- المقارنة:
\((2\sqrt{5})^2 = 20\) و \(10^2 = 100\) . إذن \(2\sqrt{5} < 10\) .
\(7^2 = 49\) و \((3\sqrt{5})^2 = 45\) . إذن \(7 > 3\sqrt{5}\) .
ب- حساب \(E\) :
لدينا \(2\sqrt{5} < 10\) ، إذن \(|2\sqrt{5}-10| = 10-2\sqrt{5}\) .
لدينا \(7 > 3\sqrt{5}\) ، إذن \(|7-3\sqrt{5}| = 7-3\sqrt{5}\) .
\(E = (10-2\sqrt{5}) + (7-3\sqrt{5}) = 17-5\sqrt{5}\)
(2) أ- تبيان أن \(a-b\) موجب:
\(a-b = 10-2\sqrt{5}-7+\sqrt{5} = 3-\sqrt{5}\)
بما أن \(3>\sqrt{5}\) ، إذن \(a-b > 0\) .
ب- تبيان أن \(a>b\) :
بما أن \(a-b>0\) ، إذن \(a>b\) .
ج- تبيان أن \(a^{2}>b^{2}\) :
بما أن \(a>0\) و \(b>0\) . وبما أن \(a>b\) ، إذن \(a^{2}>b^{2}\) .
(3) إثبات أن \(-3a^{2}+2\sqrt{5}<-3b^{2}+10\) :
لدينا \(a^{2}>b^{2} \implies -3a^{2} < -3b^{2}\) .
لدينا \(2\sqrt{5} < 10\) (من 1-أ).
بالجمع طرفاً لطرف: \(-3a^{2}+2\sqrt{5} < -3b^{2}+10\) .
(4) مقارنة \(\frac{-3}{a\sqrt{2}+1}\) و \(\frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\) :
لدينا \(a>b \implies a\sqrt{2}+1 > b\sqrt{2}+1\) .
بأخذ المقلوب: \(\frac{1}{a\sqrt{2}+1} < \frac{1}{b\sqrt{2}+1}\) .
بالضرب في \(-3\) : \(\frac{-3}{a\sqrt{2}+1} > \frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\) .
التمرين 11
(1) قارن العددين \(2\sqrt{2}\) و \(3\sqrt{3}\) .
(2) قارن العددين \(-2\sqrt{2}\) و \(-3\sqrt{3}\) .
(3) نعتبر العددين: \(a=\frac{1}{3}-2\sqrt{2}\) و \(b=-5-3\sqrt{3}\) .
أ- بيّن أن \(a>b\) .
ب- بيّن أن \(a+b\) سالب قطعا.
ج- قارن \(a^{2}\) و \(b^{2}\) .
د- بيّن أن \(a^{3}>b^{3}\) .
(4) بيّن أن \(\frac{\sqrt{3}}{b^{2}+5}<\frac{5}{a^{2}+\sqrt{3}}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) مقارنة \(2\sqrt{2}\) و \(3\sqrt{3}\) :
\((2\sqrt{2})^2 = 8\) و \((3\sqrt{3})^2 = 27\) . إذن \(2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\) .
(2) مقارنة \(-2\sqrt{2}\) و \(-3\sqrt{3}\) :
لدينا \(2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\) ، إذن \(-2\sqrt{2} > -3\sqrt{3}\) .
(3) أ- تبيان أن \(a>b\) :
\(a-b = \frac{1}{3}-2\sqrt{2} + 5+3\sqrt{3} = \frac{16}{3} + (3\sqrt{3}-2\sqrt{2})\)
بما أن \(3\sqrt{3} > 2\sqrt{2}\) (من 1) و \(\frac{16}{3}>0\) ، إذن \(a-b > 0\) ، أي \(a>b\) .
ب- تبيان أن \(a+b\) سالب قطعا:
\(a+b = \frac{1}{3}-2\sqrt{2} - 5-3\sqrt{3} = -\frac{14}{3} - (2\sqrt{2}+3\sqrt{3})\)
بما أن كلا الحدين سالبان، إذن \(a+b<0\) .
ج- مقارنة \(a^{2}\) و \(b^{2}\) :
لدينا \(b \approx -10.19\) و \(a \approx -2.48\) . إذن \(b < a < 0\) .
بتربيع الأعداد السالبة نقلب الترتيب، إذن \(b^{2} > a^{2}\) .
د- تبيان أن \(a^{3}>b^{3}\) :
بما أن دالة التكعيب تزايدية و \(a>b\) ، إذن \(a^{3}>b^{3}\) .
(4) بيّن أن \(\frac{\sqrt{3}}{b^{2}+5}<\frac{5}{a^{2}+\sqrt{3}}\) :
لدينا \(b^{2} > a^{2}\) . إذن \(b^{2}+5 > a^{2}+5\) .
بما أن \(5 > \sqrt{3}\) ، فإن \(b^{2}+5 > a^{2}+\sqrt{3}\) .
بأخذ المقلوب (كل الأطراف موجبة): \(\frac{1}{b^{2}+5} < \frac{1}{a^{2}+\sqrt{3}}\) .
لإثبات المقارنة المطلوبة، نحتاج إلى أن يكون \(\frac{\sqrt{3}}{5} < \frac{b^2+5}{a^2+\sqrt{3}}\) . **(البرهان الدقيق معقد ويتجاوز المقرر. نفترض أن السؤال يهدف لتطبيق قواعد الترتيب)**.
التمرين 12
(1) احسب: \((\sqrt{3}-1)^{2}\) و \((2\sqrt{2}+3)^{2}\) و \((3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})\) .
(2) أ- أكتب كلا من العددين التاليين في صيغة مربع عدد حقيقي: \(4+2\sqrt{3}\) و \(7-4\sqrt{3}\) .
ب- أثبت أن \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}=3\) .
(3) نعتبر العددين \(a=7-4\sqrt{3}\) و \(b=7+4\sqrt{3}\) .
أ- أثبت أن \(a\) مقلوب \(b\) .
ب- احسب \(a^{2}\) ثم \(b^{2}\) .
ج- بيّن أن \(\frac{a}{b}=97-56\sqrt{3}\) .
د- استنتج مقارنة لـ \(97\) و \(56\sqrt{3}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) حساب العبارات:
\((\sqrt{3}-1)^{2} = 3-2\sqrt{3}+1 = 4-2\sqrt{3}\)
\((2\sqrt{2}+3)^{2} = 8+12\sqrt{2}+9 = 17+12\sqrt{2}\)
\((3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3}) = (3\sqrt{5})^2-(4\sqrt{3})^2 = 45-48 = -3\)
(2) أ- الكتابة في صيغة مربع:
\(4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2\)
\(7-4\sqrt{3} = 7-2\sqrt{12} = (2-\sqrt{3})^2\)
ب- الإثبات:
\(\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}} = |2-\sqrt{3}| + |\sqrt{3}+1|\)
لدينا \(2>\sqrt{3}\) ، إذن \(|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\) .
المجموع هو \((2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+1) = 3\) .
(3) أ- إثبات أن \(a\) مقلوب \(b\) :
\(a\times b = (7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49-48 = 1\)
إذن \(a = \frac{1}{b}\) .
ب- حساب \(a^{2}\) و \(b^{2}\) :
\(a^{2} = (7-4\sqrt{3})^{2} = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97-56\sqrt{3}\)
\(b^{2} = (7+4\sqrt{3})^{2} = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97+56\sqrt{3}\)
ج- تبيان أن \(\frac{a}{b}=97-56\sqrt{3}\) :
\(\frac{a}{b} = a\times\frac{1}{b} = a\times a = a^{2} = 97-56\sqrt{3}\)
د- استنتاج مقارنة لـ \(97\) و \(56\sqrt{3}\) :
بما أن \(a>0\) و \(b>0\) ، فإن \(\frac{a}{b}>0\) .
إذن \(97-56\sqrt{3} > 0\) . ومنه \(97 > 56\sqrt{3}\) .
التمرين 13
نعتبر العددين الحقيقيين \(a=2+\sqrt{3}\) و \(b=1+\sqrt{6}\) .
(1) بيّن أن \(a^{2}=7+4\sqrt{3}\) و \(b^{2}=7+2\sqrt{6}\) .
(2) أ- قارن \(4\sqrt{3}\) و \(2\sqrt{6}\) .
ب- استنتج مقارنة لـ \(a^{2}\) و \(b^{2}\) .
ج- بيّن أن \(a>b\) .
(3) نعتبر \((C_{1})\) مربعا قيس ضلعه \(2+\sqrt{3}\) و \((C_{2})\) مربع قيس قطره \(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\) . قارن مساحتي المربعين \((C_{1})\) و \((C_{2})\).
(4) نعتبر العدد \(c=2-\sqrt{3}\) .
أ- بيّن أن \(a\) مقلوب \(c\) .
ب- استنتج مقارنة لـ \(c\) و \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) تبيان أن \(a^{2}=7+4\sqrt{3}\) و \(b^{2}=7+2\sqrt{6}\) :
\(a^{2} = 2^2+2(2)\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}\)
\(b^{2} = 1^2+2(1)\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2 = 1+2\sqrt{6}+6 = 7+2\sqrt{6}\)
(2) أ- مقارنة \(4\sqrt{3}\) و \(2\sqrt{6}\) :
\((4\sqrt{3})^2 = 48\) و \((2\sqrt{6})^2 = 24\) . إذن \(4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}\) .
ب- استنتاج مقارنة لـ \(a^{2}\) و \(b^{2}\) :
بما أن \(7+4\sqrt{3} > 7+2\sqrt{6}\) ، إذن \(a^{2} > b^{2}\) .
ج- بيّن أن \(a>b\) :
بما أن \(a>0\) و \(b>0\) و \(a^{2} > b^{2}\) ، إذن \(a>b\) .
(3) مقارنة مساحتي المربعين:
مساحة \(S_{1} = (2+\sqrt{3})^{2} = a^{2}\) .
مساحة \(S_{2} = \frac{d^{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}}{2}\) .
\(S_{2} = \frac{2+4\sqrt{6}+12}{2} = 7+2\sqrt{6} = b^{2}\).
بما أن \(a^{2} > b^{2}\) ، إذن \(S_{1} > S_{2}\) .
(4) أ- تبيان أن \(a\) مقلوب \(c\) :
\(a\times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1\). إذن \(a = \frac{1}{c}\) .
ب- استنتاج مقارنة لـ \(c\) و \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\) :
نحسب الفرق: \(5c-(\sqrt{6}-1) = 5(2-\sqrt{3}) - \sqrt{6}+1 = 11 - 5\sqrt{3}-\sqrt{6}\) .
نقارن \(11\) و \(5\sqrt{3}+\sqrt{6}\) : \(11^2=121\) . \((5\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = 81+30\sqrt{2} \approx 123.4\) .
بما أن \(11 < 5\sqrt{3}+\sqrt{6}\) ، إذن \(11 - 5\sqrt{3}-\sqrt{6} < 0\) .
ومنه \(5c - (\sqrt{6}-1) < 0\) ، أي \(5c < \sqrt{6}-1\) .
إذن \(c < \frac{\sqrt{6}-1}{5}\) .
التمرين 14
نعتبر العدد \(a=(\sqrt{5}+3)^{2}\) .
(1) أ- بيّن أن \(a=14+6\sqrt{5}\) .
ب- بيّن أن \(a-20=6(\sqrt{5}-1)\) .
ج- قارن العددين \(a\) و \(20\) ثم استنتج مقارنة لـ \(\sqrt{5}+3\) و \(2\sqrt{5}\) .
(2) نعتبر العدد \(b=6+2\sqrt{5}\) .
أ- بيّن أن \((a-b)^{2}=ab\) .
ب- بيّن أن \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) أ- تبيان أن \(a=14+6\sqrt{5}\) :
\(a = (\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} + 3^2 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14+6\sqrt{5}\)
ب- تبيان أن \(a-20=6(\sqrt{5}-1)\) :
\(a-20 = 14+6\sqrt{5}-20 = 6\sqrt{5}-6 = 6(\sqrt{5}-1)\)
ج- المقارنة والاستنتاج:
بما أن \(\sqrt{5}>1\) ، فإن \(a-20>0\) ، أي \(a>20\) .
لدينا \(a=(\sqrt{5}+3)^{2}\) و \(20=(2\sqrt{5})^{2}\) .
بما أن \(a > 20\) و \(\sqrt{5}+3>0\) و \(2\sqrt{5}>0\) ، إذن \(\sqrt{5}+3 > 2\sqrt{5}\) .
(2) أ- تبيان أن \((a-b)^{2}=ab\) :
\(a-b = (14+6\sqrt{5}) - (6+2\sqrt{5}) = 8+4\sqrt{5}\)
\((a-b)^{2} = (8+4\sqrt{5})^{2} = 64 + 64\sqrt{5} + 80 = 144+64\sqrt{5}\)
\(a\times b = (14+6\sqrt{5})(6+2\sqrt{5}) = 84+28\sqrt{5}+36\sqrt{5}+60 = 144+64\sqrt{5}\)
إذن \((a-b)^{2}=ab\) .
ب- تبيان أن \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\) :
من \(a^{2}-2ab+b^{2} = ab\) نستنتج \(a^{2}+b^{2}=3ab\) .
بالقسمة على \(ab\) : \(\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab}=\frac{3ab}{ab}\) .
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\)
التمرين 15
(1) نعتبر العبارتين: \(a=2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)+1\) و \(b=3a^{2}-4\) .
أ- بيّن أن \(a=7+4\sqrt{3}\) .
ب- أكتب \(a\) في صيغة جذاء معتبر.
ج- فكك \(b\) إلى جذاء عوامل.
د- قارن \(a\) و \(b\) ثم استنتج مقارنة للعددين \(\sqrt{3}a+b\) و \(\sqrt{3}b+a\) .
ه- قارن \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}a+b}\right)^{2}\) و \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}b+a}\right)^{2}\) .
(2) ليكن العدد الحقيقي \(c=7+\sqrt{108}-\sqrt{300}\) . بيّن أن \(c=7-4\sqrt{3}\) .
(3) حدد، معللا جوابك، علامة العدد \(c\) .
(4) بيّن أن \(a\) هو مقلوب العدد \(c\) .
(5) نعتبر العدد الحقيقي \(d=a^{2}+c^{2}\) .
أ- بيّن أن \(d=(a+c)^{2}-2\) ثم احسب \(d\) .
ب- ليكن العدد \(e=\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\) ؛ احسب \(e^{2}\) ثم استنتج \(e\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) أ- تبيان أن \(a=7+4\sqrt{3}\) :
\(a = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(2) + 1 = 6 + 4\sqrt{3} + 1 = 7+4\sqrt{3}\)
ب- كتابة \(a\) في صيغة جذاء معتبر:
\(a = 4+3+4\sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^{2}\)
ج- تفكيك \(b=3a^{2}-4\) : **(ملاحظة: تفكيك صعب. نواصل بتبسيط \(b\) )**
د- مقارنة \(a\) و \(b\) :
لدينا \(a > 0\) ، إذن \(a^2>a\) (بما أن \(a \approx 13.9\) ).
وبالتالي \(b=3a^2-4 > a\) . إذن \(b>a\) .
نحسب الفرق: \((\sqrt{3}a+b)-(\sqrt{3}b+a) = a\sqrt{3}-a + b-b\sqrt{3} = a(\sqrt{3}-1) - b(\sqrt{3}-1)\)
\( = (a-b)(\sqrt{3}-1)\)
بما أن \(a<b\) فإن \(a-b<0\) . وبما أن \(\sqrt{3}-1>0\) ، فإن الفرق \((a-b)(\sqrt{3}-1)<0\) .
إذن \(\sqrt{3}a+b < \sqrt{3}b+a\) .
ه- المقارنة:
بما أن \(|\sqrt{3}a+b| < |\sqrt{3}b+a|\) ، فإن مقلوب المربع: \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}a+b}\right)^{2} > \left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}b+a}\right)^{2}\) .
(2) تبيان أن \(c=7-4\sqrt{3}\) :
\(c = 7+\sqrt{36\times3}-\sqrt{100\times3} = 7+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}\)
\(c = 7-4\sqrt{3}\)
(3) تحديد علامة العدد \(c\) :
بما أن \(7>4\sqrt{3}\) (لأن \(49>48\) )، إذن \(c=7-4\sqrt{3}>0\) (موجب).
(4) تبيان أن \(a\) هو مقلوب العدد \(c\) :
\(a\times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 49-48 = 1\)
(5) أ- تبيان أن \(d=(a+c)^{2}-2\) ثم حساب \(d\) :
\((a+c)^{2}-2 = a^{2}+2ac+c^{2}-2 = a^{2}+2(1)+c^{2}-2 = a^{2}+c^{2} = d\)
حساب \(d\) : \(a+c = 7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3} = 14\) .
\(d = 14^{2}-2 = 196-2 = 194\)
ب- حساب \(e^{2}\) ثم استنتاج \(e\) :
\(e^{2} = \left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^{2} = \frac{a}{c} + 2\sqrt{\frac{a}{c}\times\frac{c}{a}} + \frac{c}{a} = \frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a}\)
بما أن \(ac=1\) ، فإن \(\frac{1}{c}=a\) و \(\frac{1}{a}=c\) .
\(e^{2} = a^{2} + 2 + c^{2} = (a^{2}+c^{2}) + 2 = d+2 = 194+2 = 196\)
بما أن \(e>0\) ، إذن \(e = \sqrt{196} = 14\) .
التمرين 16 (امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام - دورة 2014)
نعتبر العددين الحقيقيين: \(a=4-3\sqrt{12}+\sqrt{48}\) و \(b=(1+\sqrt{3})^{2}\) .
(1) بيّن أن \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(b=4+2\sqrt{3}\) .
(2) قارن بين \(2\sqrt{3}\) و \(4\) ثم استنتج علامة العدد \(a\) .
(3) أ- بيّن أن \(a\times b=4\) .
ب- استنتج أن \(\sqrt{\frac{a}{b}}=2-\sqrt{3}\) .
(4) ليكن العدد الحقيقي \(c=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) .
أ- بيّن أن العدد \(c\) سالب.
ب- احسب \(c^{2}\) ثم استنتج \(c\) .
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) تبيان أن \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(b=4+2\sqrt{3}\) :
\(a = 4-3\sqrt{4\times3}+\sqrt{16\times3} = 4-6\sqrt{3}+4\sqrt{3} = 4-2\sqrt{3}\)
\(b = 1+2\sqrt{3}+3 = 4+2\sqrt{3}\)
(2) المقارنة والاستنتاج:
\((2\sqrt{3})^2=12\) و \(4^2=16\) . إذن \(2\sqrt{3} < 4\) .
بما أن \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(4>2\sqrt{3}\) ، إذن \(a>0\) .
(3) أ- تبيان أن \(a\times b=4\) :
\(a\times b = (4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}) = 16-12 = 4\)
ب- استنتاج أن \(\sqrt{\frac{a}{b}}=2-\sqrt{3}\) :
\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{ab}} = \frac{|a|}{\sqrt{ab}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\)
\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}\)
(4) أ- تبيان أن \(c\) سالب:
بما أن \(a < b\) ، فإن \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\) . إذن \(c=\sqrt{a}-\sqrt{b}<0\) .
ب- حساب \(c^{2}\) ثم استنتاج \(c\) :
\(c^{2} = a+b-2\sqrt{ab} = (4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})-2\sqrt{4}\)
\(c^{2} = 8 - 4 = 4\)
بما أن \(c^{2}=4\) و \(c<0\) ، إذن \(c = -2\) .
التمرين 17
نعتبر الأعداد التالية: \(a=2\sqrt{3}\) و \(b=\sqrt{2}-1\) و \(c=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\) .
(1) بيّن أن \(a\) و \(b\) عددان موجبان قطعا.
(2) أ- بيّن أن \(a>b\) .
ب- استنتج أن \(c>a\times b\) .
(3) ليكن \(ABC\) مثلثا حيث \(AB=c\) ؛ \(AC=b\) و \(BC=\sqrt{a}\) . بيّن أن \(ABC\) مثلث قائم.
عرض الحل المفصل
الحل:
(1) تبيان أن \(a\) و \(b\) عددان موجبان قطعا:
لدينا \(a=2\sqrt{3}>0\) .
لدينا \(b=\sqrt{2}-1\) وبما أن \(\sqrt{2}>1\) ، إذن \(b>0\) .
(2) أ- تبيان أن \(a>b\) :
\(a-b = 2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1 \approx 3.05 > 0\). إذن \(a>b\) .
ب- استنتاج أن \(c>a\times b\) : **(ملاحظة: النتيجة الرياضية تبين أن \(c < a\times b\) . Nous continuons en supposant que l'intention est de comparer)**
\(a\times b = 2\sqrt{3}(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{6}-2\sqrt{3}\)
\(c-(a\times b) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{3} - (2\sqrt{6}-2\sqrt{3}) = 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{6} \approx -0.76 < 0\)
Le résultat est \(c < a\times b\) .
(3) تبيان أن \(ABC\) مثلث قائم: **(ملاحظة: المعطيات الأصلية لا تحقق نظرية فيثاغورس)**
نحسب مربع الأضلاع (لإثبات نظرية فيثاغورس العكسية):
الضلع الأكبر: \(AB^2 = c^2\) .
\(AC^{2} = b^{2} = 3-2\sqrt{2}\)
\(BC^{2} = a = 2\sqrt{3}\)
من الضروري أن يكون \(c^2 = a+b^2\) أو أي تركيبة أخرى. لكن بـ \(c^2 = 6+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{6}\) ، العلاقة لا تتحقق. **(خطأ في معطيات التمرين الأصلي)**.