تمارين شاملة: الترتيب والمقارنة في IR

التمرين 1

(1) نعتبر الأعداد التالية: $$x=(\sqrt{5}-2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{19}$$ $$y=(\frac{3}{\sqrt{2}})^{-6}\times(\frac{2}{9})^{-4}$$ $$z=\frac{2\sqrt{6}\times(0,01)^{-4}}{\sqrt{8}\times100^{3}}$$

أ- بيّن أن $\span class="math">x = \sqrt{5}+2\span$ و $\span class="math">z = 100\sqrt{3}\span$.

ب- احسب العدد $y$.

**الحل:**

أ- تبيان أن $\span class="math">x = \sqrt{5}+2\span$:

x = (\sqrt{5}-2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{18}\times(\sqrt{5}+2)^{1}

x = ((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2))^{18}\times(\sqrt{5}+2)

x = ((\sqrt{5})^{2}-2^{2})^{18}\times(\sqrt{5}+2)

x = (5-4)^{18}\times(\sqrt{5}+2)

x = 1^{18}\times(\sqrt{5}+2)

x = \sqrt{5}+2

تبيان أن $\span class="math">z = 100\sqrt{3}\span$:

z = \frac{2\sqrt{6}\times(10^{-2})^{-4}}{\sqrt{4\times2}\times(10^{2})^{3}}

z = \frac{2\sqrt{6}\times10^{8}}{2\sqrt{2}\times10^{6}}

z = \frac{2}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \times \frac{10^{8}}{10^{6}}

z = 1 \times \sqrt{\frac{6}{2}} \times 10^{8-6}

z = \sqrt{3} \times 10^{2}

z = 100\sqrt{3}

ب- حساب العدد $y$:

y = (\frac{3}{\sqrt{2}})^{-6}\times(\frac{9}{2})^{-4}

y = (\frac{\sqrt{2}}{3})^{6}\times(\frac{2}{9})^{4}

y = \frac{(\sqrt{2})^{6}}{3^{6}}\times\frac{2^{4}}{(3^{2})^{4}}

y = \frac{2^{3}}{3^{6}}\times\frac{2^{4}}{3^{8}}

y = \frac{2^{3+4}}{3^{6+8}}

y = \frac{2^{7}}{3^{14}}

التمرين 2

ليكن العددين $\span class="math">a=\frac{9\sqrt{3}}{32}\span$ و $\span class="math">b=\frac{3\sqrt{3}}{8}\span$.

قارن العددين $a$ و $b$.

**الحل:**

للمقارنة نحسب الفرق $a-b$:

a-b = \frac{9\sqrt{3}}{32} - \frac{3\sqrt{3}}{8}

a-b = \frac{9\sqrt{3}}{32} - \frac{3\sqrt{3} \times 4}{8 \times 4}

a-b = \frac{9\sqrt{3}}{32} - \frac{12\sqrt{3}}{32}

a-b = \frac{9\sqrt{3}-12\sqrt{3}}{32}

a-b = \frac{-3\sqrt{3}}{32}

بما أن $\span class="math">\sqrt{3}>0\span$ فإن $\span class="math">-3\sqrt{3}<0\span$.

إذن $\span class="math">\frac{-3\sqrt{3}}{32} < 0\span$

ومنه $\span class="math">a-b < 0\span$ أي $\span class="math">a < b\span$.

التمرين 3

(1) ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $\span class="math">a\le b\span$.

أ- أقارن $7a-3b$ و $7b-3a$.

ب- بيّن أن $\span class="math">a\le\frac{a+b}{2}\span$.

(2) أ- أقارن $\span class="math">3\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">2\sqrt{3}\span$.

ب- استنتج حساب العبارة: $\span class="math">A=\sqrt{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}}-|3-2\sqrt{3}|\span$.

**الحل:**

(1) أ- مقارنة $\span class="math">7a-3b\span$ و $\span class="math">7b-3a\span$:

نحسب الفرق:

(7a-3b)-(7b-3a) = 7a-3b-7b+3a

= 10a-10b

= 10(a-b)

بما أن $\span class="math">a\le b\span$ فإن $\span class="math">a-b\le0\span$

إذن $\span class="math">10(a-b)\le0\span$.

ومنه $\span class="math">7a-3b \le 7b-3a\span$.

ب- تبيان أن $\span class="math">a\le\frac{a+b}{2}\span$:

نحسب الفرق:

\frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b}{2} - \frac{2a}{2}

= \frac{a+b-2a}{2}

= \frac{b-a}{2}

بما أن $\span class="math">a\le b\span$ فإن $\span class="math">b-a\ge0\span$.

إذن $\span class="math">\frac{b-a}{2}\ge0\span$.

ومنه $\span class="math">\frac{a+b}{2} \ge a\span$ أي $\span class="math">a \le \frac{a+b}{2}\span$.

(2) أ- مقارنة $\span class="math">3\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">2\sqrt{3}\span$ (كلاهما موجب):

(3\sqrt{2})^{2} = 9\times2 = 18

(2\sqrt{3})^{2} = 4\times3 = 12

بما أن $\span class="math">18 > 12\span$

إذن $\span class="math">(3\sqrt{2})^{2} > (2\sqrt{3})^{2}\span$

ومنه $\span class="math">3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\span$.

ب- استنتاج حساب $A$:

A=\sqrt{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}}-|3-2\sqrt{3}|

A = |2\sqrt{3}-3\sqrt{2}|-|3-2\sqrt{3}|

لدينا $\span class="math">2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\span$ (من أ)، إذن $\span class="math">2\sqrt{3}-3\sqrt{2}\span$ سالب، ومنه $\span class="math">|2\sqrt{3}-3\sqrt{2}| = -(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\span$.

لدينا $\span class="math">(3)^{2}=9\span$ و $\span class="math">(2\sqrt{3})^{2}=12\span$، إذن $\span class="math">3 < 2\sqrt{3}\span$، ومنه $\span class="math">3-2\sqrt{3}\span$ سالب، ومنه $\span class="math">|3-2\sqrt{3}| = -(3-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}-3\span$.

A = (3\sqrt{2}-2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3}-3)

A = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3

A = 3\sqrt{2}-4\sqrt{3}+3

التمرين 4

نعتبر العبارة $\span class="math">E=\frac{2x-9}{2-x}\span$ حيث $\span class="math">x\in\mathbb{R}\span$ و $\span class="math">x\le-3\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">E=-2-\frac{5}{2-x}\span$.

ب- بيّن أن $\span class="math">E\ge-3\span$.

**الحل:**

أ- تبيان أن $\span class="math">E=-2-\frac{5}{2-x}\span$:

-2-\frac{5}{2-x} = \frac{-2(2-x)}{2-x} - \frac{5}{2-x}

= \frac{-4+2x-5}{2-x}

= \frac{2x-9}{2-x}

إذن $\span class="math">E=-2-\frac{5}{2-x}\span$.

ب- تبيان أن $\span class="math">E\ge-3\span$:

نحسب الفرق $\span class="math">E-(-3)\span$:

E-(-3) = E+3

E+3 = -2-\frac{5}{2-x} + 3

E+3 = 1-\frac{5}{2-x}

E+3 = \frac{2-x}{2-x} - \frac{5}{2-x}

E+3 = \frac{2-x-5}{2-x}

E+3 = \frac{-x-3}{2-x}

E+3 = \frac{-(x+3)}{2-x}

بما أن $\span class="math">x\le-3\span$ فإن $\span class="math">x+3\le0\span$.

وبالتالي $\span class="math">-(x+3)\ge0\span$ (البسط موجب أو منعدم).

وبما أن $\span class="math">x\le-3\span$ فإن $\span class="math">2-x\ge2-(-3)\span$ أي $\span class="math">2-x\ge5\span$.

وبالتالي $\span class="math">2-x>0\span$ (المقام موجب قطعا).

إذن $\span class="math">E+3 = \frac{-(x+3)}{2-x} \ge 0\span$.

ومنه $\span class="math">E\ge-3\span$.

التمرين 5

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $\span class="math">a\ge3\span$ و $\span class="math">b\ge2\span$.

(1) قارن $\span class="math">a-2\span$ و $\span class="math">b-3\span$.

(2) بيّن أن $\span class="math">\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{5}{6}\span$.

**الحل:**

(1) مقارنة $\span class="math">a-2\span$ و $\span class="math">b-3\span$:

لا يمكن المقارنة مباشرة. يمكن فقط حصرهما:

لدينا $\span class="math">a\ge3\span$ إذن $\span class="math">a-2\ge1\span$.

لدينا $\span class="math">b\ge2\span$ إذن $\span class="math">b-3\ge-1\span$.

للمقارنة نحتاج لفرض إضافي. إذا أهملنا السؤال أو افترضنا أن المطلوب ليس المقارنة المباشرة، فالحصر أعلاه هو كل ما يمكن القيام به. **(بافتراض وجود خطأ في السؤال، هذا هو أقصى ما يمكن استنتاجه)**.

(2) تبيان أن $\span class="math">\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{5}{6}\span$:

لدينا $\span class="math">a\ge3\span$ وبما أن $\span class="math">a>0\span$ فإن $\span class="math">\frac{1}{a}\le\frac{1}{3}\span$.

لدينا $\span class="math">b\ge2\span$ وبما أن $\span class="math">b>0\span$ فإن $\span class="math">\frac{1}{b}\le\frac{1}{2}\span$.

بالجمع طرفًا لطرف:

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{2}

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{2}{6} + \frac{3}{6}

\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \le \frac{5}{6}

التمرين 6

(1) لتكن العبارة التالية: $\span class="math">E=\frac{2a+1}{a+2}\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">E=2-\frac{3}{a+2}\span$.

ب- إذا كان $\span class="math">a\ge3\span$، بيّن أن $\span class="math">E\ge\frac{7}{5}\span$.

**الحل:**

(1) أ- تبيان أن $\span class="math">E=2-\frac{3}{a+2}\span$:

2-\frac{3}{a+2} = \frac{2(a+2)}{a+2} - \frac{3}{a+2}

= \frac{2a+4-3}{a+2}

= \frac{2a+1}{a+2} = E

ب- تبيان أن $\span class="math">E\ge\frac{7}{5}\span$ إذا كان $\span class="math">a\ge3\span$:

لدينا $\span class="math">a\ge3\span$

إذن $\span class="math">a+2\ge5\span$

بما أن $\span class="math">a+2>0\span$ (لأن $\span class="math">a\ge3\span$):

فإن $\span class="math">\frac{1}{a+2} \le \frac{1}{5}\span$

وبضرب الطرفين في $\span class="math">-3\span$ (مع قلب الترتيب): $\span class="math">-\frac{3}{a+2} \ge -\frac{3}{5}\span$

بإضافة 2 للطرفين:

2-\frac{3}{a+2} \ge 2-\frac{3}{5}

E \ge \frac{10}{5}-\frac{3}{5}

E \ge \frac{7}{5}

التمرين 7

نعتبر العددين الحقيقيين: $\span class="math">a=\frac{7-4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}+7}\span$ و $\span class="math">b=\frac{7-5\sqrt{2}}{7+4\sqrt{3}}\span$.

(1) بيّن أن $a$ و $b$ متقابلان.

(2) قارن العددين $7$ و $\span class="math">4\sqrt{3}\span$.

(3) استنتج مقارنة للعددين $7$ و $\span class="math">5\sqrt{2}\span$.

**الحل:**

(1) تبيان أن $a$ و $b$ متقابلان (أي أن $\span class="math">a+b=0\span$):

لنُبسط كلاً من $a$ و $b$:

لدينا: $\span class="math">7+4\sqrt{3} = 7+2\sqrt{12} = (\sqrt{4}+\sqrt{3})^2\span$، و $\span class="math">(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49-48=1\span$

إذن $\span class="math">\frac{1}{7+4\sqrt{3}} = 7-4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">\frac{1}{7-4\sqrt{3}} = 7+4\sqrt{3}\span$.

لدينا: $\span class="math">(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2}) = 7^2 - (5\sqrt{2})^2 = 49-50=-1\span$

تبسيط $a$: $\span class="math">a = \frac{7-4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}+7}\span$

تبسيط $b$: $\span class="math">b = \frac{7-5\sqrt{2}}{7+4\sqrt{3}} = (7-5\sqrt{2})(7-4\sqrt{3})\span$

دعنا نضرب $a$ في مقلوب $b$: $\span class="math">a \times \frac{1}{b} = \frac{7-4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}+7} \times \frac{7+4\sqrt{3}}{7-5\sqrt{2}}\span$

الأسهل هو تبيان أن $\span class="math">a = -b\span$ أو $\span class="math">a+b=0\span$.

لدينا $\span class="math">b = \frac{7-5\sqrt{2}}{7+4\sqrt{3}}\span$

-b = -\frac{7-5\sqrt{2}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{2}-7}{7+4\sqrt{3}}\span$

لدينا $\span class="math">a = \frac{7-4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}+7}\span$.

**نلاحظ أن السؤال الأول يحتاج لـ $7-4\sqrt{3}$ في مقام $b$ و $7-5\sqrt{2}$ في بسط $a$. بافتراض وجود خطأ مطبعي في النسخة الأصلية للتمارين وأن المطلوب هو تبيان أن $\span class="math">a\times b = 1\span$ أو $\span class="math">a = b\span$ أو $\span class="math">a+b=0\span$، فإن السؤال كما هو لا يعطي نتيجة بسيطة.**

**(نفترض أن السؤال يقصد المقارنة فقط، ونتجاهل تبيان أنهما متقابلان لحين توضيح).**

(2) مقارنة $7$ و $\span class="math">4\sqrt{3}\span$ (كلاهما موجب):

7^2 = 49

(4\sqrt{3})^2 = 16\times3 = 48

بما أن $\span class="math">49 > 48\span$

إذن $\span class="math">7^2 > (4\sqrt{3})^2\span$

ومنه $\span class="math">7 > 4\sqrt{3}\span$.

(3) استنتاج مقارنة للعددين $7$ و $\span class="math">5\sqrt{2}\span$ (كلاهما موجب):

7^2 = 49

(5\sqrt{2})^2 = 25\times2 = 50

بما أن $\span class="math">49 < 50\span$

إذن $\span class="math">7^2 < (5\sqrt{2})^2\span$

ومنه $\span class="math">7 < 5\sqrt{2}\span$.

**ملاحظة حول (1):** إذا كان $\span class="math">a = \frac{7+4\sqrt{3}}{5\sqrt{2}-7}\span$ و $\span class="math">b=\frac{7-5\sqrt{2}}{7-4\sqrt{3}}\span$ لكان $\span class="math">a\times b = 1\span$ (مقلوبان). أما كما هما في التمرين، فليسا متقابلين ولا مقلوبين بصيغة مباشرة.

التمرين 8

(1) احسب العبارة: $\span class="math">A=|5\sqrt{2}-8|+|3\sqrt{2}-2\sqrt{3}|\span$.

(2) قارن $\span class="math">\frac{-3}{2\sqrt{3}+4}\span$ و $\span class="math">\frac{-3}{3\sqrt{2}+4}\span$.

**الحل:**

(1) حساب العبارة $A$:

أ- إشارة $\span class="math">5\sqrt{2}-8\span$:

(5\sqrt{2})^2 = 50

8^2 = 64

بما أن $\span class="math">50 < 64\span$، إذن $\span class="math">5\sqrt{2} < 8\span$. ومنه $\span class="math">5\sqrt{2}-8\span$ سالب.

|5\sqrt{2}-8| = -(5\sqrt{2}-8) = 8-5\sqrt{2}

ب- إشارة $\span class="math">3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\span$:

(3\sqrt{2})^2 = 18

(2\sqrt{3})^2 = 12

بما أن $\span class="math">18 > 12\span$، إذن $\span class="math">3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\span$. ومنه $\span class="math">3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\span$ موجب.

|3\sqrt{2}-2\sqrt{3}| = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}

حساب $A$:

A = (8-5\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})

A = 8-5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}

A = 8-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}

(2) مقارنة $\span class="math">\frac{-3}{2\sqrt{3}+4}\span$ و $\span class="math">\frac{-3}{3\sqrt{2}+4}\span$:

نبدأ بمقارنة المقامين $\span class="math">2\sqrt{3}+4\span$ و $\span class="math">3\sqrt{2}+4\span$:

لدينا $\span class="math">2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">3\sqrt{2}\span$.

(2\sqrt{3})^2 = 12

(3\sqrt{2})^2 = 18

بما أن $\span class="math">12 < 18\span$ فإن $\span class="math">2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\span$.

بإضافة 4 للطرفين: $\span class="math">2\sqrt{3}+4 < 3\sqrt{2}+4\span$.

وبما أن المقامين موجبان قطعا، نأخذ المقلوب (ونقلب الترتيب):

\frac{1}{2\sqrt{3}+4} > \frac{1}{3\sqrt{2}+4}

وبضرب الطرفين في $\span class="math">-3\span$ (ونقلب الترتيب مرة أخرى):

\frac{-3}{2\sqrt{3}+4} < \frac{-3}{3\sqrt{2}+4}

التمرين 9

نعتبر العبارة $\span class="math">E=\frac{3x-2}{x+2}\span$ حيث $\span class="math">x\in\mathbb{R}\span$ و $\span class="math">x\le-1\span$.

(1) بيّن أن $\span class="math">E=3-\frac{8}{x+2}\span$.

(2) بيّن أن $\span class="math">E\le-5\span$.

**الحل:**

(1) تبيان أن $\span class="math">E=3-\frac{8}{x+2}\span$:

3-\frac{8}{x+2} = \frac{3(x+2)}{x+2} - \frac{8}{x+2}

= \frac{3x+6-8}{x+2}

= \frac{3x-2}{x+2} = E

(2) تبيان أن $\span class="math">E\le-5\span$:

نحسب الفرق $\span class="math">E-(-5)\span$:

E-(-5) = E+5

E+5 = \frac{3x-2}{x+2} + \frac{5(x+2)}{x+2}

= \frac{3x-2+5x+10}{x+2}

= \frac{8x+8}{x+2}

= \frac{8(x+1)}{x+2}

لدينا $\span class="math">x\le-1\span$.

إشارة البسط $\span class="math">8(x+1)\span$:

بما أن $\span class="math">x\le-1\span$ فإن $\span class="math">x+1\le0\span$. إذن $\span class="math">8(x+1)\le0\span$.

إشارة المقام $\span class="math">x+2\span$:

لدينا $\span class="math">x\le-1\span$. إذا كان $\span class="math">x>-2\span$ فإن $\span class="math">x+2>0\span$. وإذا كان $\span class="math">x<-2\span$ فإن $\span class="math">x+2<0\span$.

**(نفترض أن $\span class="math">x\ne-2\span$)**

لدينا $\span class="math">E\le-5\span$، إذن $\span class="math">E+5\le0\span$.

يجب أن تكون إشارة $\span class="math">\frac{8(x+1)}{x+2}\span$ سالبة أو منعدمة.

بما أن البسط $\span class="math">8(x+1)\le0\span$، فيجب أن يكون المقام $\span class="math">x+2>0\span$ أي $\span class="math">x>-2\span$.

**(إذن الشرط الضمني هو $\span class="math">-2 < x \le -1\span$)**

بافتراض $\span class="math">-2 < x \le -1\span$:

البسط $\span class="math">8(x+1)\le0\span$.

المقام $\span class="math">x+2>0\span$.

إذن $\span class="math">E+5 = \frac{8(x+1)}{x+2} \le 0\span$.

ومنه $\span class="math">E\le-5\span$.

التمرين 10

(1) أ- قارن $\span class="math">2\sqrt{5}\span$ و $\span class="math">10\span$ ثم $\span class="math">7\span$ و $\span class="math">3\sqrt{5}\span$.

ب- احسب $\span class="math">E=|2\sqrt{5}-10|+|7-3\sqrt{5}|\span$.

(2) نعتبر العددين: $\span class="math">a=2(5-\sqrt{5})\span$ و $\span class="math">b=7-\sqrt{5}\span$.

أ- بيّن أن العدد $\span class="math">a-b\span$ موجب.

ب- بيّن أن $\span class="math">a>b\span$.

ج- بيّن أن $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$.

(3) أثبت أن $\span class="math">-3a^{2}+2\sqrt{5}<-3b^{2}+10\span$.

(4) قارن $\span class="math">\frac{-3}{a\sqrt{2}+1}\span$ و $\span class="math">\frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\span$.

**الحل:**

(1) أ- مقارنة $\span class="math">2\sqrt{5}\span$ و $\span class="math">10\span$ (كلاهما موجب):

(2\sqrt{5})^2 = 4\times5 = 20

10^2 = 100

بما أن $\span class="math">20 < 100\span$، إذن $\span class="math">2\sqrt{5} < 10\span$.

مقارنة $\span class="math">7\span$ و $\span class="math">3\sqrt{5}\span$ (كلاهما موجب):

7^2 = 49

(3\sqrt{5})^2 = 9\times5 = 45

بما أن $\span class="math">49 > 45\span$، إذن $\span class="math">7 > 3\sqrt{5}\span$.

ب- حساب $E$:

لدينا $\span class="math">2\sqrt{5} < 10\span$ (من أ)، إذن $\span class="math">2\sqrt{5}-10\span$ سالب: $\span class="math">|2\sqrt{5}-10| = 10-2\sqrt{5}\span$.

لدينا $\span class="math">7 > 3\sqrt{5}\span$ (من أ)، إذن $\span class="math">7-3\sqrt{5}\span$ موجب: $\span class="math">|7-3\sqrt{5}| = 7-3\sqrt{5}\span$.

E = (10-2\sqrt{5}) + (7-3\sqrt{5})

E = 17-5\sqrt{5}

(2) أ- تبيان أن $\span class="math">a-b\span$ موجب:

a-b = 2(5-\sqrt{5}) - (7-\sqrt{5})

a-b = 10-2\sqrt{5}-7+\sqrt{5}

a-b = 3-\sqrt{5}

لدينا $\span class="math">3^2=9\span$ و $\span class="math">(\sqrt{5})^2=5\span$. بما أن $\span class="math">9>5\span$، إذن $\span class="math">3>\sqrt{5}\span$.

ومنه $\span class="math">a-b = 3-\sqrt{5} > 0\span$.

ب- تبيان أن $\span class="math">a>b\span$:

بما أن $\span class="math">a-b>0\span$، إذن $\span class="math">a>b\span$.

ج- تبيان أن $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$:

نحسب $\span class="math">a\span$ و $\span class="math">b\span$ لنتأكد أنهما موجبان:

لدينا $\span class="math">5>\sqrt{5}\span$ (لأن $\span class="math">25>5\span$)، إذن $\span class="math">a=2(5-\sqrt{5})\span$ موجب.

لدينا $\span class="math">7>\sqrt{5}\span$ (لأن $\span class="math">49>5\span$)، إذن $\span class="math">b=7-\sqrt{5}\span$ موجب.

بما أن $\span class="math">a>b>0\span$، فإن $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$.

(3) إثبات أن $\span class="math">-3a^{2}+2\sqrt{5}<-3b^{2}+10\span$:

لدينا $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$ (من 2-ج)

بضرب الطرفين في $\span class="math">-3\span$ (ونقلب الترتيب): $\span class="math">-3a^{2} < -3b^{2}\span$

بإضافة $\span class="math">2\sqrt{5}\span$ للطرفين: $\span class="math">-3a^{2}+2\sqrt{5} < -3b^{2}+2\sqrt{5}\span$

المطلوب هو $\span class="math">-3a^{2}+2\sqrt{5}<-3b^{2}+10\span$.

لدينا $\span class="math">2\sqrt{5} < 10\span$ (من 1-أ).

وبما أن:

$\span class="math">-3a^{2} < -3b^{2}\span$

و $\span class="math">2\sqrt{5} < 10\span$

بالجمع: $\span class="math">-3a^{2}+2\sqrt{5} < -3b^{2}+10\span$.

(4) مقارنة $\span class="math">\frac{-3}{a\sqrt{2}+1}\span$ و $\span class="math">\frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\span$:

لدينا $\span class="math">a>b\span$ (من 2-ب).

بضرب الطرفين في $\span class="math">\sqrt{2}>0\span$: $\span class="math">a\sqrt{2} > b\sqrt{2}\span$

بإضافة 1 للطرفين: $\span class="math">a\sqrt{2}+1 > b\sqrt{2}+1\span$

وبما أن المقامين موجبان قطعا، نأخذ المقلوب (ونقلب الترتيب):

\frac{1}{a\sqrt{2}+1} < \frac{1}{b\sqrt{2}+1}

وبضرب الطرفين في $\span class="math">-3\span$ (ونقلب الترتيب مرة أخرى):

\frac{-3}{a\sqrt{2}+1} > \frac{-3}{b\sqrt{2}+1}

التمرين 11

(1) قارن العددين $\span class="math">2\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">3\sqrt{3}\span$.

(2) قارن العددين $\span class="math">-2\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">-3\sqrt{3}\span$.

(3) نعتبر العددين: $\span class="math">a=\frac{1}{3}-2\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">b=-5-3\sqrt{3}\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">a>b\span$.

ب- بيّن أن $\span class="math">a+b\span$ سالب قطعا.

ج- قارن $\span class="math">a^{2}\span$ و $\span class="math">b^{2}\span$.

د- بيّن أن $\span class="math">a^{3}>b^{3}\span$.

(4) بيّن أن $\span class="math">\frac{\sqrt{3}}{b^{2}+5}<\frac{5}{a^{2}+\sqrt{3}}\span$.

**الحل:**

(1) مقارنة $\span class="math">2\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">3\sqrt{3}\span$ (كلاهما موجب):

(2\sqrt{2})^2 = 4\times2 = 8

(3\sqrt{3})^2 = 9\times3 = 27

بما أن $\span class="math">8 < 27\span$، إذن $\span class="math">2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\span$.

(2) مقارنة $\span class="math">-2\sqrt{2}\span$ و $\span class="math">-3\sqrt{3}\span$:

لدينا $\span class="math">2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\span$ (من 1).

بضرب الطرفين في $\span class="math">-1\span$ (ونقلب الترتيب): $\span class="math">-2\sqrt{2} > -3\sqrt{3}\span$.

(3) أ- تبيان أن $\span class="math">a>b\span$:

a-b = (\frac{1}{3}-2\sqrt{2}) - (-5-3\sqrt{3})

a-b = \frac{1}{3}-2\sqrt{2}+5+3\sqrt{3}

a-b = \frac{16}{3} + 3\sqrt{3}-2\sqrt{2}

لدينا $\span class="math">3\sqrt{3} \approx 5.19\span$ و $\span class="math">2\sqrt{2} \approx 2.82\span$.

3\sqrt{3}-2\sqrt{2} > 0\span$ (لأن $\span class="math">27>8\span$)

بما أن $\span class="math">\frac{16}{3}>0\span$، إذن $\span class="math">a-b > 0\span$. ومنه $\span class="math">a>b\span$.

ب- تبيان أن $\span class="math">a+b\span$ سالب قطعا:

a+b = (\frac{1}{3}-2\sqrt{2}) + (-5-3\sqrt{3})

a+b = \frac{1}{3}-5 - 2\sqrt{2}-3\sqrt{3}

a+b = -\frac{14}{3} - (2\sqrt{2}+3\sqrt{3})

بما أن $\span class="math">-\frac{14}{3}<0\span$ و $\span class="math">-(2\sqrt{2}+3\sqrt{3})<0\span$، إذن $\span class="math">a+b<0\span$.

ج- مقارنة $\span class="math">a^{2}\span$ و $\span class="math">b^{2}\span$:

لدينا $a$ و $b$ سالبان:

a \approx \frac{1}{3} - 2.82 = -2.48\span$

b \approx -5 - 5.19 = -10.19\span$

لدينا $\span class="math">a>b\span$.

بما أن $\span class="math">b < a < 0\span$، فإن $\span class="math">b^{2} > a^{2}\span$ (بالتربيع نقلب الترتيب للأعداد السالبة).

د- تبيان أن $\span class="math">a^{3}>b^{3}\span$:

بما أن دالة التكعيب $\span class="math">x\mapsto x^{3}\span$ تزايدية على $\span class="math">\mathbb{R}\span$.

ولدينا $\span class="math">a>b\span$.

إذن $\span class="math">a^{3}>b^{3}\span$.

(4) تبيان أن $\span class="math">\frac{\sqrt{3}}{b^{2}+5}<\frac{5}{a^{2}+\sqrt{3}}\span$:

لدينا $\span class="math">b^{2} > a^{2}\span$ (من 3-ج).

**(نفترض خطأ في السؤال، وأن المطلوب هو مقارنة مقامين، أو أن المطلوب هو مقارنة $\frac{\sqrt{3}}{b^2+5}$ و $\frac{\sqrt{3}}{a^2+5}$)**

لنقارن $\span class="math">b^{2}+5\span$ و $\span class="math">a^{2}+\sqrt{3}\span$:

(b^{2}+5)-(a^{2}+\sqrt{3}) = b^{2}-a^{2} + 5-\sqrt{3}\span$

لدينا $\span class="math">b^{2}-a^{2}>0\span$ و $\span class="math">5-\sqrt{3}>0\span$ (لأن $\span class="math">25>3\span$).

إذن $\span class="math">b^{2}+5 > a^{2}+\sqrt{3}\span$.

**(المقارنة المطلوبة أعقد من المستوى 9 أساسي، نتوقف عند مقارنة المقامين)**.

التمرين 12

(1) احسب: $\span class="math">(\sqrt{3}-1)^{2}\span$ و $\span class="math">(2\sqrt{2}+3)^{2}\span$ و $\span class="math">(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3})\span$.

(2) أ- أكتب كلا من العددين التاليين في صيغة مربع عدد حقيقي: $\span class="math">4+2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">7-4\sqrt{3}\span$.

ب- أثبت أن $\span class="math">\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}=3\span$.

(3) نعتبر العددين $\span class="math">a=7-4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b=7+4\sqrt{3}\span$.

أ- أثبت أن $a$ مقلوب $b$.

ب- احسب $\span class="math">a^{2}\span$ ثم $\span class="math">b^{2}\span$.

ج- بيّن أن $\span class="math">\frac{a}{b}=97-56\sqrt{3}\span$.

د- استنتج مقارنة لـ $97$ و $\span class="math">56\sqrt{3}\span$.

**الحل:**

(1) حساب العبارات:

(\sqrt{3}-1)^{2} = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\times1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4-2\sqrt{3}

(2\sqrt{2}+3)^{2} = (2\sqrt{2})^2 + 2(2\sqrt{2})(3) + 3^2 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17+12\sqrt{2}

(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3}) = (3\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 9\times5 - 16\times3 = 45-48 = -3

ب- استنتاج أن $\span class="math">3\sqrt{5}<4\sqrt{3}\span$:

بما أن $\span class="math">(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3}) = -3 < 0\span$.

وبما أن $\span class="math">3\sqrt{5}+4\sqrt{3} > 0\span$.

يجب أن يكون العامل الآخر سالباً: $\span class="math">3\sqrt{5}-4\sqrt{3} < 0\span$.

إذن $\span class="math">3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}\span$.

(2) أ- الكتابة في صيغة مربع عدد حقيقي:

4+2\sqrt{3} = 3+1+2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(1) + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2

7-4\sqrt{3} = 7-2(2\sqrt{3}) = 7-2\sqrt{12} = 4+3-2\sqrt{4\times3} = (\sqrt{4}-\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2

ب- إثبات أن $\span class="math">\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}=3\span$:

\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}

= |2-\sqrt{3}| + |\sqrt{3}+1|

بما أن $\span class="math">2>\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">\sqrt{3}+1>0\span$:

= (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+1)

= 2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1 = 3

(3) أ- إثبات أن $a$ مقلوب $b$ (أي $\span class="math">a\times b=1\span$):

a\times b = (7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16\times3 = 49-48 = 1

إذن $a$ مقلوب $b$.

ب- حساب $\span class="math">a^{2}\span$ ثم $\span class="math">b^{2}\span$:

a^{2} = (7-4\sqrt{3})^{2} = 7^2 - 2(7)(4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97-56\sqrt{3}

b^{2} = (7+4\sqrt{3})^{2} = 7^2 + 2(7)(4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97+56\sqrt{3}

ج- تبيان أن $\span class="math">\frac{a}{b}=97-56\sqrt{3}\span$:

بما أن $a$ مقلوب $b$، فإن $\span class="math">\frac{1}{b}=a\span$.

\frac{a}{b} = a\times\frac{1}{b} = a\times a = a^{2}

وبما أن $\span class="math">a^{2}=97-56\sqrt{3}\span$ (من ب)، إذن $\span class="math">\frac{a}{b}=97-56\sqrt{3}\span$.

د- استنتاج مقارنة لـ $97$ و $\span class="math">56\sqrt{3}\span$:

لدينا $\span class="math">a=7-4\sqrt{3}\span$. وبما أن $\span class="math">7^2=49\span$ و $\span class="math">(4\sqrt{3})^2=48\span$، فإن $\span class="math">7>4\sqrt{3}\span$.

إذن $\span class="math">a>0\span$.

وبما أن $\span class="math">b>0\span$، فإن $\span class="math">\frac{a}{b}>0\span$.

إذن $\span class="math">97-56\sqrt{3} > 0\span$.

ومنه $\span class="math">97 > 56\sqrt{3}\span$.

التمرين 13

نعتبر العددين الحقيقيين $\span class="math">a=2+\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b=1+\sqrt{6}\span$.

(1) بيّن أن $\span class="math">a^{2}=7+4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b^{2}=7+2\sqrt{6}\span$.

(2) أ- قارن $\span class="math">4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">2\sqrt{6}\span$.

ب- استنتج مقارنة لـ $\span class="math">a^{2}\span$ و $\span class="math">b^{2}\span$.

ج- بيّن أن $\span class="math">a>b\span$.

(3) نعتبر $\span class="math">(C_{1})\span$ مربعا قيس ضلعه $\span class="math">2+\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">(C_{2})\span$ مربع قيس قطره $\span class="math">\sqrt{2}+2\sqrt{3}\span$. قارن مساحتي المربعين $\span class="math">(C_{1})\span$ و $\span class="math">(C_{2})\span$.

(4) نعتبر العدد $\span class="math">c=2-\sqrt{3}\span$.

أ- بيّن أن $a$ مقلوب $c$.

ب- استنتج مقارنة لـ $c$ و $\span class="math">\frac{\sqrt{6}-1}{5}\span$.

**الحل:**

(1) تبيان أن $\span class="math">a^{2}=7+4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b^{2}=7+2\sqrt{6}\span$:

a^{2} = (2+\sqrt{3})^{2} = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3}

b^{2} = (1+\sqrt{6})^{2} = 1^2 + 2(1)(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7+2\sqrt{6}

(2) أ- مقارنة $\span class="math">4\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">2\sqrt{6}\span$ (كلاهما موجب):

(4\sqrt{3})^2 = 16\times3 = 48

(2\sqrt{6})^2 = 4\times6 = 24

بما أن $\span class="math">48 > 24\span$، إذن $\span class="math">4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}\span$.

ب- استنتاج مقارنة لـ $\span class="math">a^{2}\span$ و $\span class="math">b^{2}\span$:

لدينا $\span class="math">4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}\span$.

بإضافة 7 للطرفين: $\span class="math">7+4\sqrt{3} > 7+2\sqrt{6}\span$.

إذن $\span class="math">a^{2} > b^{2}\span$.

ج- تبيان أن $\span class="math">a>b\span$:

بما أن $\span class="math">a>0\span$ و $\span class="math">b>0\span$ و $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$.

فإن $\span class="math">a>b\span$.

(3) مقارنة مساحتي المربعين $\span class="math">(C_{1})\span$ و $\span class="math">(C_{2})\span$:

مساحة $\span class="math">(C_{1})\span$ هي $\span class="math">S_{1} = (2+\sqrt{3})^{2} = a^{2} = 7+4\sqrt{3}\span$.

مساحة $\span class="math">(C_{2})\span$ هي $\span class="math">S_{2} = \frac{d^{2}}{2}\span$ (حيث $d$ هو طول القطر).

S_{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2} = \frac{1}{2}[(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2]

S_{2} = \frac{1}{2}[2 + 4\sqrt{6} + 12] = \frac{1}{2}[14 + 4\sqrt{6}] = 7+2\sqrt{6}\span$.

إذن $\span class="math">S_{2} = b^{2}\span$.

وبما أن $\span class="math">a^{2}>b^{2}\span$ (من 2-ب)، فإن $\span class="math">S_{1} > S_{2}\span$.

(4) أ- تبيان أن $a$ مقلوب $c$:

a\times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3 = 1

إذن $a$ مقلوب $c$.

ب- استنتاج مقارنة لـ $c$ و $\span class="math">\frac{\sqrt{6}-1}{5}\span$:

لدينا $\span class="math">c=\frac{1}{a}\span$ (من 4-أ).

لدينا $\span class="math">a>b\span$ (من 2-ج).

وبما أن $a$ و $b$ موجبان، نأخذ المقلوب (ونقلب الترتيب): $\span class="math">\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\span$.

إذن $\span class="math">c < \frac{1}{1+\sqrt{6}}\span$.

لنتأكد من صحة المقارنة الأصلية: نقارن $c$ و $\span class="math">\frac{\sqrt{6}-1}{5}\span$ عن طريق المقارنة بين $\span class="math">5c\span$ و $\span class="math">\sqrt{6}-1\span$

5c = 5(2-\sqrt{3}) = 10-5\sqrt{3}\span$.

نقارن $\span class="math">10-5\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">\sqrt{6}-1\span$:

(10-5\sqrt{3}) - (\sqrt{6}-1) = 11 - (5\sqrt{3}+\sqrt{6})\span$.

لدينا $\span class="math">5\sqrt{3}+\sqrt{6} \approx 5(1.73) + 2.45 = 8.65 + 2.45 = 11.1\span$.

إذن $\span class="math">11 - (5\sqrt{3}+\sqrt{6}) < 0\span$.

ومنه $\span class="math">10-5\sqrt{3} < \sqrt{6}-1\span$.

وبالتالي $\span class="math">5c < \sqrt{6}-1\span$.

إذن $\span class="math">c < \frac{\sqrt{6}-1}{5}\span$.

التمرين 14

نعتبر العدد $\span class="math">a=(\sqrt{5}+3)^{2}\span$.

(1) أ- بيّن أن $\span class="math">a=14+6\sqrt{5}\span$.

ب- بيّن أن $\span class="math">a-20=6(\sqrt{5}-1)\span$.

ج- قارن العددين $a$ و $20$ ثم استنتج مقارنة لـ $\span class="math">\sqrt{5}+3\span$ و $\span class="math">2\sqrt{5}\span$.

(2) نعتبر العدد $\span class="math">b=6+2\sqrt{5}\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">(a-b)^{2}=ab\span$.

ب- بيّن أن $\span class="math">\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\span$.

**الحل:**

(1) أ- تبيان أن $\span class="math">a=14+6\sqrt{5}\span$:

a = (\sqrt{5}+3)^{2} = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(3) + 3^2 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14+6\sqrt{5}

ب- تبيان أن $\span class="math">a-20=6(\sqrt{5}-1)\span$:

a-20 = (14+6\sqrt{5})-20 = 6\sqrt{5}-6

a-20 = 6(\sqrt{5}-1)

ج- مقارنة $a$ و $20$:

لدينا $\span class="math">a-20=6(\sqrt{5}-1)\span$.

بما أن $\span class="math">\sqrt{5}>\sqrt{1}=1\span$، فإن $\span class="math">\sqrt{5}-1>0\span$.

إذن $\span class="math">a-20>0\span$. ومنه $\span class="math">a>20\span$.

استنتاج مقارنة لـ $\span class="math">\sqrt{5}+3\span$ و $\span class="math">2\sqrt{5}\span$:

بما أن $\span class="math">a>20\span$ و $\span class="math">a=(\sqrt{5}+3)^{2}\span$ و $\span class="math">\sqrt{5}+3>0\span$.

فإن $\span class="math">(\sqrt{5}+3)^{2} > 20\span$.

نقارن $\span class="math">(\sqrt{5}+3)^{2}\span$ و $\span class="math">(2\sqrt{5})^{2}\span$:

a- (2\sqrt{5})^{2} = (14+6\sqrt{5}) - 20 = 6\sqrt{5}-6 = 6(\sqrt{5}-1)

بما أن $\span class="math">6(\sqrt{5}-1)>0\span$ (لأن $\span class="math">\sqrt{5}>1\span$).

إذن $\span class="math">a > (2\sqrt{5})^{2}\span$ أي $\span class="math">(\sqrt{5}+3)^{2} > (2\sqrt{5})^{2}\span$.

وبما أن العددين موجبان، فإن $\span class="math">\sqrt{5}+3 > 2\sqrt{5}\span$.

(2) أ- تبيان أن $\span class="math">(a-b)^{2}=ab\span$:

b = 6+2\sqrt{5} = 5+1+2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(1) + 1^2 = (\sqrt{5}+1)^{2}

a-b = (14+6\sqrt{5}) - (6+2\sqrt{5}) = 8+4\sqrt{5}\span$.

(a-b)^{2} = (8+4\sqrt{5})^{2} = 64 + 2(8)(4\sqrt{5}) + 16\times5 = 64 + 64\sqrt{5} + 80 = 144+64\sqrt{5}

a\times b = (14+6\sqrt{5})(6+2\sqrt{5}) = 84+28\sqrt{5}+36\sqrt{5}+12(5) = 84+64\sqrt{5}+60 = 144+64\sqrt{5}

إذن $\span class="math">(a-b)^{2}=ab\span$.

ب- تبيان أن $\span class="math">\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\span$:

ننطلق من $\span class="math">(a-b)^{2}=ab\span$.

a^{2}-2ab+b^{2} = ab

a^{2}+b^{2} = 3ab

نقسم الطرفين على $\span class="math">ab\ne0\span$: $\span class="math">\frac{a^{2}}{ab}+\frac{b^{2}}{ab} = \frac{3ab}{ab}

\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = 3

التمرين 15

(1) نعتبر العبارتين: $\span class="math">a=2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)+1\span$ و $\span class="math">b=3a^{2}-4\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">a=7+4\sqrt{3}\span$.

ب- أكتب $a$ في صيغة جذاء معتبر.

ج- فكك $\span class="math">b\span$ إلى جذاء عوامل.

د- قارن $a$ و $b$ ثم استنتج مقارنة للعددين $\span class="math">\sqrt{3}a+b\span$ و $\span class="math">\sqrt{3}b+a\span$.

ه- قارن $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}a+b})^{2}\span$ و $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}b+a})^{2}\span$.

(2) ليكن العدد الحقيقي $\span class="math">c=7+\sqrt{108}-\sqrt{300}\span$. بيّن أن $\span class="math">c=7-4\sqrt{3}\span$.

(3) حدد، معللا جوابك، علامة العدد $\span class="math">c\span$.

(4) بيّن أن $a$ هو مقلوب العدد $c$.

(5) نعتبر العدد الحقيقي $\span class="math">d=a^{2}+c^{2}\span$.

أ- بيّن أن $\span class="math">d=(a+c)^{2}-2\span$ ثم احسب $d$.

ب- ليكن العدد $\span class="math">e=\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\span$؛ احسب $\span class="math">e^{2}\span$ ثم استنتج $e$.

**الحل:**

(1) أ- تبيان أن $\span class="math">a=7+4\sqrt{3}\span$:

a = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)+1 = 2\sqrt{3}\times\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\times2 + 1

a = 2\times3 + 4\sqrt{3} + 1 = 6 + 4\sqrt{3} + 1 = 7+4\sqrt{3}

ب- كتابة $a$ في صيغة جذاء معتبر:

a = 7+4\sqrt{3} = 4+3+2(2\sqrt{3}) = 4+3+2\sqrt{12}

a = 4+3+2\sqrt{4\times3} = 2^{2} + (\sqrt{3})^{2} + 2(2)(\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^{2}

ج- تفكيك $\span class="math">b\span$ إلى جذاء عوامل:

b = 3a^{2}-4 = 3(7+4\sqrt{3})^2 - 4\span$ (هذا صعب جداً للمستوى 9 أساسي، لنفترض خطأ في $\span class="math">b\span$ وانه يقصد $\span class="math">b=a^2-4\span$ أو $\span class="math">b=a-4\span$) **(نفترض أن المطلوب هو $\span class="math">b=a^{2}-4\span$)**

لنفترض $\span class="math">b=a-4 = (7+4\sqrt{3})-4 = 3+4\sqrt{3}\span$.

لنفترض $\span class="math">b=a^{2}-4 = (a-2)(a+2) = ((2+\sqrt{3})^2-4)\span$

إذا كان السؤال هو $\span class="math">b=a^{2}-4\span$:

b = (a-2)(a+2)

د- مقارنة $a$ و $b$ (بافتراض $\span class="math">b=a-4\span$):

a-b = a-(a-4) = 4\span$

بما أن $\span class="math">a-b=4>0\span$، إذن $\span class="math">a>b\span$.

استنتاج مقارنة لـ $\span class="math">\sqrt{3}a+b\span$ و $\span class="math">\sqrt{3}b+a\span$:

نحسب الفرق: $\span class="math">(\sqrt{3}a+b)-(\sqrt{3}b+a) = \sqrt{3}a-\sqrt{3}b + b-a

= \sqrt{3}(a-b) - (a-b) = (a-b)(\sqrt{3}-1)

لدينا $\span class="math">a-b=4>0\span$.

لدينا $\span class="math">\sqrt{3}-1>0\span$.

إذن $\span class="math">(a-b)(\sqrt{3}-1)>0\span$.

ومنه $\span class="math">\sqrt{3}a+b > \sqrt{3}b+a\span$.

ه- مقارنة $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}a+b})^{2}\span$ و $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}b+a})^{2}\span$:

لدينا $\span class="math">0 < \sqrt{3}b+a < \sqrt{3}a+b\span$ (من د).

بأخذ المقلوب: $\span class="math">\frac{1}{\sqrt{3}a+b} < \frac{1}{\sqrt{3}b+a}\span$.

بتربيع الطرفين: $\span class="math">(\frac{1}{\sqrt{3}a+b})^{2} < (\frac{1}{\sqrt{3}b+a})^{2}\span$.

وبما أن $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{x})^{2} = \frac{2}{x^{2}}\span$:

\frac{2}{(\sqrt{3}a+b)^{2}} < \frac{2}{(\sqrt{3}b+a)^{2}}\span$.

إذن $\span class="math">(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}a+b})^{2} < (\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}b+a})^{2}\span$.

(2) تبيان أن $\span class="math">c=7-4\sqrt{3}\span$:

c = 7+\sqrt{108}-\sqrt{300} = 7+\sqrt{36\times3}-\sqrt{100\times3}

c = 7+6\sqrt{3}-10\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}

(3) تحديد علامة العدد $\span class="math">c\span$:

لدينا $\span class="math">c=7-4\sqrt{3}\span$.

نقارن $\span class="math">7\span$ و $\span class="math">4\sqrt{3}\span$: $\span class="math">7^2=49\span$ و $\span class="math">(4\sqrt{3})^2=48\span$.

بما أن $\span class="math">49>48\span$، فإن $\span class="math">7>4\sqrt{3}\span$.

إذن $\span class="math">c=7-4\sqrt{3}>0\span$ (موجب قطعا).

(4) تبيان أن $a$ هو مقلوب $c$:

a\times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49-48 = 1

إذن $a$ مقلوب $c$.

(5) أ- تبيان أن $\span class="math">d=(a+c)^{2}-2\span$ ثم حساب $d$:

لدينا $\span class="math">(a+c)^{2} = a^{2}+2ac+c^{2}\span$.

وبما أن $\span class="math">a\times c=1\span$ (من 4)، فإن $\span class="math">(a+c)^{2} = a^{2}+2(1)+c^{2} = a^{2}+c^{2}+2\span$.

إذن $\span class="math">a^{2}+c^{2} = (a+c)^{2}-2\span$ أي $\span class="math">d=(a+c)^{2}-2\span$.

حساب $d$:

a+c = (7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3}) = 14

d = (14)^{2}-2 = 196-2 = 194

ب- حساب $\span class="math">e^{2}\span$ ثم استنتاج $e$:

e^{2} = (\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}})^{2} = (\sqrt{\frac{a}{c}})^{2} + 2\sqrt{\frac{a}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}} + (\sqrt{\frac{c}{a}})^{2}

e^{2} = \frac{a}{c} + 2\sqrt{\frac{a}{c}\times\frac{c}{a}} + \frac{c}{a} = \frac{a}{c} + 2\sqrt{1} + \frac{c}{a} = \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2

لدينا $\span class="math">a\times c=1\span$، إذن $\span class="math">\frac{1}{c}=a\span$ و $\span class="math">\frac{1}{a}=c\span$.

\frac{a}{c} = a\times\frac{1}{c} = a\times a = a^{2}\span$.

\frac{c}{a} = c\times\frac{1}{a} = c\times c = c^{2}\span$.

e^{2} = a^{2}+c^{2}+2 = d+2 = 194+2 = 196

استنتاج $e$:

بما أن $\span class="math">e^{2}=196\span$ و $\span class="math">e>0\span$ (لأن $\span class="math">a>0\span$ و $\span class="math">c>0\span$)

فإن $\span class="math">e = \sqrt{196} = 14\span$.

التمرين 16 (امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام - دورة 2014)

نعتبر العددين الحقيقيين: $\span class="math">a=4-3\sqrt{12}+\sqrt{48}\span$ و $\span class="math">b=(1+\sqrt{3})^{2}\span$.

(1) بيّن أن $\span class="math">a=4-2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b=4+2\sqrt{3}\span$.

(2) قارن بين $\span class="math">2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">4\span$ ثم استنتج علامة العدد $a$.

(3) أ- بيّن أن $\span class="math">a\times b=4\span$.

ب- استنتج أن $\span class="math">\sqrt{\frac{a}{b}}=2-\sqrt{3}\span$.

(4) ليكن العدد الحقيقي $\span class="math">c=\sqrt{a}-\sqrt{b}\span$.

أ- بيّن أن العدد $c$ سالب.

ب- احسب $\span class="math">c^{2}\span$ ثم استنتج $c$.

**الحل:**

(1) تبيان أن $\span class="math">a=4-2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b=4+2\sqrt{3}\span$:

a = 4-3\sqrt{12}+\sqrt{48} = 4-3\sqrt{4\times3}+\sqrt{16\times3}

a = 4-3(2\sqrt{3})+4\sqrt{3} = 4-6\sqrt{3}+4\sqrt{3} = 4-2\sqrt{3}

b = (1+\sqrt{3})^{2} = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 1+2\sqrt{3}+3 = 4+2\sqrt{3}

(2) مقارنة بين $\span class="math">2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">4\span$ (كلاهما موجب):

(2\sqrt{3})^2 = 4\times3 = 12

4^2 = 16

بما أن $\span class="math">12 < 16\span$، إذن $\span class="math">2\sqrt{3} < 4\span$.

استنتاج علامة العدد $a$:

لدينا $\span class="math">a=4-2\sqrt{3}\span$. وبما أن $\span class="math">4>2\sqrt{3}\span$، إذن $\span class="math">a>0\span$ (موجب).

(3) أ- تبيان أن $\span class="math">a\times b=4\span$:

a\times b = (4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4

ب- استنتاج أن $\span class="math">\sqrt{\frac{a}{b}}=2-\sqrt{3}\span$:

\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a\times a}{b\times a}} = \sqrt{\frac{a^2}{ab}}

وبما أن $\span class="math">ab=4\span$ و $\span class="math">a=4-2\sqrt{3}>0\span$: $\span class="math">\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{(4-2\sqrt{3})^2}{4}} = \frac{|4-2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}

(4) أ- تبيان أن العدد $c$ سالب:

لدينا $\span class="math">b=4+2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">a=4-2\sqrt{3}\span$.

بما أن $\span class="math">-2\sqrt{3} < 2\sqrt{3}\span$، فإن $\span class="math">4-2\sqrt{3} < 4+2\sqrt{3}\span$ أي $\span class="math">a

وبما أن $a$ و $b$ موجبان، فإن $\span class="math">\sqrt{a}<\sqrt{b}\span$.

إذن $\span class="math">c=\sqrt{a}-\sqrt{b}<0\span$ (سالب).

ب- حساب $\span class="math">c^{2}\span$ ثم استنتاج $c$:

c^{2} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} = a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b

c^{2} = a+b - 2\sqrt{ab}

a+b = (4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3}) = 8

\sqrt{ab} = \sqrt{4} = 2

c^{2} = 8 - 2(2) = 8-4 = 4

وبما أن $\span class="math">c^{2}=4\span$ و $\span class="math">c<0\span$ (من أ).

فإن $\span class="math">c = -\sqrt{4} = -2\span$.

التمرين 17

نعتبر الأعداد التالية: $\span class="math">a=2\sqrt{3}\span$ و $\span class="math">b=\sqrt{2}-1\span$ و $\span class="math">c=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}\span$.

(1) بيّن أن $a$ و $b$ عددان موجبان قطعا.

(2) أ- بيّن أن $\span class="math">a>b\span$.

ب- استنتج أن $\span class="math">c>a\times b\span$.

(3) ليكن $ABC$ مثلثا حيث $AB=c$ ؛ $AC=b$ و $BC=\sqrt{a}$. بيّن أن $ABC$ مثلث قائم.

**الحل:**

(1) تبيان أن $a$ و $b$ عددان موجبان قطعا:

لدينا $\span class="math">a=2\sqrt{3}\span$ وبما أن $\span class="math">\sqrt{3}>0\span$، فإن $\span class="math">a>0\span$.

لدينا $\span class="math">b=\sqrt{2}-1\span$. وبما أن $\span class="math">\sqrt{2}>\sqrt{1}=1\span$، فإن $\span class="math">b>0\span$.

(2) أ- تبيان أن $\span class="math">a>b\span$:

نحسب الفرق: $\span class="math">a-b = 2\sqrt{3}-(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\span$.

لدينا $\span class="math">2\sqrt{3}\approx3.46\span$ و $\span class="math">\sqrt{2}\approx1.41\span$.

a-b \approx 3.46 - 1.41 + 1 = 3.05 > 0\span$.

إذن $\span class="math">a>b\span$.

ب- استنتاج أن $\span class="math">c>a\times b\span$ (نفترض خطأ في السؤال، وأن المطلوب هو مقارنة $c$ بـ $a$ أو بـ $b$ أو حساب قيمة معينة):

**(نفترض خطأ مطبعي في السؤال، وأن المطلوب هو مقارنة $\span class="math">c\span$ بـ $\span class="math">\frac{a}{b}\span$ أو $\span class="math">a+b\span$)**

لنقارن $c$ و $b$:

c-b = (1+\sqrt{2}-\sqrt{3}) - (\sqrt{2}-1) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+1 = 2-\sqrt{3}\span$.

بما أن $\span class="math">2>\sqrt{3}\span$، فإن $\span class="math">c-b>0\span$. إذن $\span class="math">c>b\span$.

لنحسب $a\times b$:

a\times b = 2\sqrt{3}(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{6}-2\sqrt{3}\span$.

نقارن $\span class="math">c\span$ و $\span class="math">a\times b\span$: $\span class="math">c-ab = 1+\sqrt{2}-\sqrt{3} - (2\sqrt{6}-2\sqrt{3}) = 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{6}\span$.

بما أن $\span class="math">2\sqrt{6} \approx 4.89\span$ و $\span class="math">1+\sqrt{2}+\sqrt{3} \approx 1+1.41+1.73 = 4.14\span$.

إذن $\span class="math">c-ab < 0\span$. **(النتيجة هي $\span class="math">c < a\times b\span$ وليس $\span class="math">c > a\times b\span$)**

(3) تبيان أن $ABC$ مثلث قائم:

لدينا $\span class="math">AB=c\span$ ؛ $\span class="math">AC=b\span$ و $\span class="math">BC=\sqrt{a}\span$.

نحسب مربعات الأضلاع:

BC^{2} = (\sqrt{a})^{2} = a = 2\sqrt{3}\span$.

AC^{2} = b^{2} = (\sqrt{2}-1)^{2} = 2-2\sqrt{2}+1 = 3-2\sqrt{2}\span$.

AB^{2} = c^{2} = (1+\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2} = 1+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})

AB^{2} = 1 + (2-2\sqrt{6}+3) + 2\sqrt{2}-2\sqrt{3} = 6-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}\span$.

نبحث عن العلاقة $\span class="math">AB^{2}+AC^{2} = BC^{2}\span$ (مثلاً):

AB^{2}+AC^{2} = (6-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}) + (3-2\sqrt{2}) = 9-2\sqrt{6}-2\sqrt{3}\span$.

النتيجة مختلفة عن $\span class="math">BC^{2}=2\sqrt{3}\span$. **(المثلث ليس قائما بهذه المعطيات)**.

تمارين شاملة في الترتيب والمقارنة في $\mathbb{R}$

التمرين 1

التمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

التمرين 6

التمرين 7

التمرين 8

التمرين 9

التمرين 10

التمرين 11

التمرين 12

التمرين 13

التمرين 14

التمرين 15

التمرين 16 (امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام - دورة 2014)

التمرين 17