تمارين في الحساب والمقارنة

التمرين 11

نعتبر العبارة $p = (3\sqrt{2} - 1)^2 - 9$ حيث $p \in \mathbb{R}$

1) أ- أنشر واختصر العبارة $p$

ب- استنتج أن $4 + 2\sqrt{2} \le 9\sqrt{2}$

2) إذا علمت أن $a \le \frac{1}{2}$ ، بيّن أن $3a - 1 \le - \frac{1}{2}$

ب- استنتج تعادياً للإعداد $p$ و $3a - 1$ و علّل جوابك.

ج- أوجد العدد الحقيقي $a$ الذي يحقق $2 - \frac{p}{\sqrt{2}} = 0$

📋 تصحيح مفصل للتمرين 11:

1) أ- نشر واختصار العبارة $p$:

p = (3\sqrt{2} - 1)^2 - 9

\text{باستعمال متطابقة }(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2

p = (3\sqrt{2})^2 - 2 \times (3\sqrt{2}) \times 1 + 1^2 - 9

p = 9 \times 2 - 6\sqrt{2} + 1 - 9

p = 18 - 6\sqrt{2} + 1 - 9

p = (18 + 1 - 9) - 6\sqrt{2}

p = 10 - 6\sqrt{2}

النتيجة: $p = 10 - 6\sqrt{2}$

1) ب- استنتاج أن $\mathbf{4 + 2\sqrt{2} \le 9\sqrt{2}}$:

نحسب الفرق: $(4 + 2\sqrt{2}) - 9\sqrt{2}$

(4 + 2\sqrt{2}) - 9\sqrt{2} = 4 + (2\sqrt{2} - 9\sqrt{2})

= 4 - 7\sqrt{2}

نقارن $$4$$ و $7\sqrt{2}$ :

\[4^2 = 16\]

(7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98

بما أن $$16 < 98$$ ، وبما أن $4$ و $7\sqrt{2}$ عددان موجبان، فإن $4 < 7\sqrt{2}$ .

إذن، $4 - 7\sqrt{2} < 0$ .

بما أن الفرق سالب، فإن: $4 + 2\sqrt{2} \le 9\sqrt{2}$

2) أ- تبيان أن $\mathbf{3a - 1 \le - \frac{1}{2}}$ إذا علمت أن $\mathbf{a \le \frac{1}{2}}$:

a \le \frac{1}{2}

نضرب طرفي المتباينة في 3 (عدد موجب، لا يتغير اتجاه المتباينة):

3a \le 3 \times \frac{1}{2}

3a \le \frac{3}{2}

نضيف $$-1$$ (أو نطرح 1) من طرفي المتباينة:

3a - 1 \le \frac{3}{2} - 1

3a - 1 \le \frac{3}{2} - \frac{2}{2}

3a - 1 \le \frac{1}{2}

ملاحظة: النتيجة المنطقية هي $\mathbf{3a - 1 \le \frac{1}{2}}$. إثبات

3a - 1 \le - \frac{1}{2}

يتطلب

a \le 1/3

، وهو ما لا يمكن استنتاجه من المعطى

a \le 1/2

.

2) ب- استنتاج تعادي $\mathbf{p}$ و $\mathbf{3a - 1}$:

لا يمكن استنتاج أنهما متعاديان (أي أن مجموعهما يساوي 0) اعتماداً على $a \le 1/2$ فقط، لأن: $p + (3a - 1) = 9 - 6\sqrt{2} + 3a$ ولا يمكن تبيان أن هذه القيمة تساوي 0 بمعطيات المتباينة.

2) ج- إيجاد العدد الحقيقي $\mathbf{a}$ الذي يحقق $\mathbf{2 - \frac{p}{\sqrt{2}} = 0}$:

المعادلة هي: $2 - \frac{p}{\sqrt{2}} = 0$ ، أي $p = 2\sqrt{2}$ .

بالتعويض بقيمة $p = 10 - 6\sqrt{2}$:

10 - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}

10 = 8\sqrt{2}

5 = 4\sqrt{2}

بما أن $$5^2 = 25$$ و $(4\sqrt{2})^2 = 32$ ، فإن $25 \ne 32$ . المعادلة مستحيلة.

المعادلة

2 - \frac{p}{\sqrt{2}} = 0

مستحيلة التحقق بقيمة $p$ المعطاة.

التمرين 12

1) قارن العددين $4\sqrt{2}$ و $5\sqrt{2}$

2) أ/ قارن العددين $2 + \sqrt{5}$ و $\pi + 2\sqrt{5}$

ب/ استنتج مقارنة $\frac{\pi + 2\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ و $1$

ج/ احسب $a = (\sqrt{5} + 1)^2$ و $b = (2 + \sqrt{5})^2$

د/ قارن $b$ و $a$

هـ/ استنتج مقارنة $2 + \sqrt{2}$ و $\sqrt{5} + \sqrt{1}$

📋 تصحيح مفصل للتمرين 12:

1) مقارنة العددين $\mathbf{4\sqrt{2}}$ و $\mathbf{5\sqrt{2}}$:

بما أن $$4 < 5$$ وبما أن $\sqrt{2}$ عدد موجب $($\sqrt{2} > 0$)$ ،

فإنّه عند الضرب في عدد موجب لا تتغير المتباينة:

4 \times \sqrt{2} < 5 \times \sqrt{2}

النتيجة: $4\sqrt{2} < 5\sqrt{2}$

2) أ/ مقارنة العددين $\mathbf{2 + \sqrt{5}}$ و $\mathbf{\pi + 2\sqrt{5}}$:

نحسب الفرق:

(\pi + 2\sqrt{5}) - (2 + \sqrt{5}) = \pi - 2 + \sqrt{5}

بما أن $\pi \approx 3.14$، فإن $\pi - 2 > 0$ . وبما أن $\sqrt{5} > 0$ .

فإن $\pi - 2 + \sqrt{5} > 0$ .

بما أن الفرق موجب، فإن $\pi + 2\sqrt{5} > 2 + \sqrt{5}$ .

النتيجة: $\pi + 2\sqrt{5} > 2 + \sqrt{5}$

2) ب/ استنتاج مقارنة $\mathbf{\frac{\pi + 2\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}}$ و $\mathbf{1}$:

من السؤال (2) أ)، لدينا $\pi + 2\sqrt{5} > 2 + \sqrt{5}$ .

نقسم على $2 + \sqrt{5} > 0$ :

\frac{\pi + 2\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} > \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}

\frac{\pi + 2\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} > 1

النتيجة: $\frac{\pi + 2\sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} > 1$

2) ج/ حساب $\mathbf{a = (\sqrt{5} + 1)^2}$ و $\mathbf{b = (2 + \sqrt{5})^2}$ (نشر):

حساب $a$: $a = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1$

a = 6 + 2\sqrt{5}

حساب $b$: $b = 2^2 + 2(2)\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5$

b = 9 + 4\sqrt{5}

النتيجة: $a = 6 + 2\sqrt{5}$ و $b = 9 + 4\sqrt{5}$

2) د/ مقارنة $\mathbf{b}$ و $\mathbf{a}$:

نحسب الفرق $$b - a$$ :

b - a = (9 + 4\sqrt{5}) - (6 + 2\sqrt{5})

b - a = 3 + 2\sqrt{5}

بما أن $$3 > 0$$ و $2\sqrt{5} > 0$ ، فإن $$b - a > 0$$ .

النتيجة: $b > a$

2) هـ/ استنتاج مقارنة $\mathbf{2 + \sqrt{2}}$ و $\mathbf{\sqrt{5} + \sqrt{1}}$:

نقارن $2 + \sqrt{2}$ و $1 + \sqrt{5}$ (لأن $\sqrt{1} = 1$).

نحسب الفرق: $(2 + \sqrt{2}) - (1 + \sqrt{5}) = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{5}$

نقارن $1 + \sqrt{2}$ و $\sqrt{5}$ بالتربيع (كلاهما موجب):

(1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}

(\sqrt{5})^2 = 5

نقارن $3 + 2\sqrt{2}$ و $$5$$ . الفرق هو $2\sqrt{2} - 2$ . بما أن $(2\sqrt{2})^2 = 8 > 2^2 = 4$ ، فإن $2\sqrt{2} > 2$ .

إذن $3 + 2\sqrt{2} > 5$ ، أي $1 + \sqrt{2} > \sqrt{5}$ .

بالتالي $1 + \sqrt{2} - \sqrt{5} > 0$ .

النتيجة: $2 + \sqrt{2} > \sqrt{5} + \sqrt{1}$

التمرين 13

نعتبر العددين الحقيقيين $a = 1 + \sqrt{2}$ و $b = \sqrt{6}$ .

1) بيّن أن $b^2 - a^2 = 2\sqrt{2} - 3$ .

2) قارن العددين $a$ و $b$.

3) ليكن $c$ عدداً حقيقياً بحيث $$a < c < b$$ ، بيّن أن $$1 > bc - ac > 0$$ .

4) استنتج مقارنة $2\sqrt{3}$ و $1 + \sqrt{6}$ .

📋 تصحيح مفصل للتمرين 13:

1) تبيان أن $\mathbf{b^2 - a^2 = 2\sqrt{2} - 3}$:

لدينا $a^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$ و $$b^2 = 6$$ .

b^2 - a^2 = 6 - (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2}

ملاحظة: النتيجة المحصل عليها هي $\mathbf{3 - 2\sqrt{2}}$ وليس $\mathbf{2\sqrt{2} - 3}$ كما في نص السؤال. سنكمل باستخدام $3 - 2\sqrt{2}$.

2) مقارنة العددين $a$ و $b$:

نعتمد على إشارة الفرق $b^2 - a^2 = 3 - 2\sqrt{2}$ .

نقارن $$3$$ و $2\sqrt{2}$ . بما أن $$3^2 = 9$$ و $(2\sqrt{2})^2 = 8$ ، فإن $3 > 2\sqrt{2}$ .

إذن، $$b^2 - a^2 > 0$$ . وبما أن $a$ و $b$ موجبان، فإن $$b > a$$ .

النتيجة: $\sqrt{6} > 1 + \sqrt{2}$

3) تبيان أن $\mathbf{1 > bc - ac > 0}$ عندما $\mathbf{a < c < b}$:

لدينا $$bc - ac = c(b - a)$$ .

بما أن $$b > a$$ فإن $$b - a > 0$$ . وبما أن $$c > a > 0$$ فإن $$c > 0$$ .

إذن، $$c(b - a) > 0$$ ، أي: $\mathbf{bc - ac > 0}$ .

لإثبات $$bc - ac < 1$$ ، الأمر غير مباشر في هذا المستوى.

4) استنتاج مقارنة $\mathbf{2\sqrt{3}}$ و $\mathbf{1 + \sqrt{6}}$:

نقارن مربعيهما:

(2\sqrt{3})^2 = 12

(1 + \sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7 + 2\sqrt{6}

نحسب الفرق $12 - (7 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6}$ .

نقارن $$5$$ و $2\sqrt{6}$ . بما أن $$5^2 = 25$$ و $(2\sqrt{6})^2 = 24$ ، فإن $5 > 2\sqrt{6}$ .

إذن $5 - 2\sqrt{6} > 0$ ، وبالتالي $12 > 7 + 2\sqrt{6}$ .

النتيجة: $2\sqrt{3} > 1 + \sqrt{6}$

التمرين 14

1) أ- قارن بين $\frac{8}{5\sqrt{2}}$ و $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

ب- استنتج حساب العبارة $A = |5\sqrt{2} - 8| - |3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}|$

2) ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $a \le b$

أ- قارن العددين $\frac{5}{\sqrt{3}}$ و $\frac{7}{\sqrt{2}}$

ب- استنتج مقارنة $a + \frac{1}{\sqrt{3}}$ و $b + \frac{1}{\sqrt{2}}$

📋 تصحيح مفصل للتمرين 14:

1) أ- مقارنة $\mathbf{\frac{8}{5\sqrt{2}}}$ و $\mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$:

نقارن بين $$24$$ و $10\sqrt{6}$ (ضرب الطرفين في $15\sqrt{2}$ ).

نقارن مربعيهما: $$24^2 = 576$$ و $(10\sqrt{6})^2 = 600$ .

بما أن $$576 < 600$$ ، فإن $24 < 10\sqrt{6}$ .

النتيجة: $\frac{8}{5\sqrt{2}} < \frac{2\sqrt{3}}{3}$

1) ب- استنتاج حساب العبارة $\mathbf{A = |5\sqrt{2} - 8| - |3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}|}$:

الإشارة الأولى: $(5\sqrt{2})^2 = 50$ و $$8^2 = 64$$ . إذن $5\sqrt{2} < 8$ . بالتالي $|5\sqrt{2} - 8| = 8 - 5\sqrt{2}$ .

الإشارة الثانية: $(3\sqrt{2})^2 = 18$ و $(2\sqrt{3})^2 = 12$ . إذن $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$ . بالتالي $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}| = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$ .

حساب A:

A = (8 - 5\sqrt{2}) - (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})

A = 8 - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{3}

النتيجة: $A = 8 - 8\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

2) أ- مقارنة العددين $\mathbf{\frac{5}{\sqrt{3}}}$ و $\mathbf{\frac{7}{\sqrt{2}}}$:

نوحد المقامات ونقارن البسطين: نقارن $10\sqrt{3}$ و $21\sqrt{2}$ .

نقارن مربعيهما: $(10\sqrt{3})^2 = 300$ و $(21\sqrt{2})^2 = 882$ .

بما أن $$300 < 882$$ ، فإن $10\sqrt{3} < 21\sqrt{2}$ .

النتيجة: $\frac{5}{\sqrt{3}} < \frac{7}{\sqrt{2}}$

2) ب- استنتاج مقارنة $\mathbf{a + \frac{1}{\sqrt{3}}}$ و $\mathbf{b + \frac{1}{\sqrt{2}}}$:

1) لدينا $a \le b$ .

2) لدينا $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ ، إذن $\frac{1}{\sqrt{3}} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

بجمع المتباينتين: $a + \frac{1}{\sqrt{3}} < b + \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

النتيجة: $a + \frac{1}{\sqrt{3}} < b + \frac{1}{\sqrt{2}}$

التمرين 15

نعتبر العددين الحقيقيين $x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$ و $y = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

1) أ- بيّن أن $x = \sqrt{5} + 2$ .

ب- قارن $$x$$ و $$y$$ .

2) ليكن $z = \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2}$. بيّن أن $z = 3 - \sqrt{5}$ .

📋 تصحيح مفصل للتمرين 15:

1) أ- تبيان أن $\mathbf{x = \sqrt{5} + 2}$ (جعل المقام عدداً جذرياً):

x = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \times (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}

x = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5 - 4}

x = \sqrt{5} + 2

النتيجة: $x = \sqrt{5} + 2$

1) ب- مقارنة $\mathbf{x}$ و $\mathbf{y}$:

لدينا $x = \sqrt{5} + 2$ و $y = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ .

نحسب الفرق: $x - y = (\sqrt{5} + 2) - \frac{3\sqrt{5}}{2}$

x - y = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{2} - \frac{3\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 4 - 3\sqrt{5}}{2}

x - y = \frac{4 - \sqrt{5}}{2}

نقارن $$4$$ و $\sqrt{5}$ . بما أن $$4^2 = 16$$ و $(\sqrt{5})^2 = 5$ ، فإن $4 > \sqrt{5}$ .

إذن $4 - \sqrt{5} > 0$ ، وبالتالي $$x - y > 0$$ .

النتيجة: $x > y$

2) تبيان أن $\mathbf{z = 3 - \sqrt{5}}$:

لدينا $z = \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3|$ .

نحدد إشارة $\sqrt{5}-3$ . بما أن $(\sqrt{5})^2 = 5$ و $$3^2 = 9$$ ، فإن $\sqrt{5} < 3$ .

إذن $\sqrt{5}-3$ عدد سالب.

z = -(\sqrt{5}-3) = 3 - \sqrt{5}

النتيجة: $z = 3 - \sqrt{5}$

التمرين 16

نعتبر العدد $c = \sqrt{50} + 3\sqrt{8} - 7\sqrt{2}$.

1) بيّن أن $c = 4\sqrt{2}$ .

2) إذا علمت أن $1.41 < \sqrt{2} < 1.42$ ، أوجد حصراً للعدد $c$.

3) قارن $$c^2$$ و $$25$$ .

📋 تصحيح مفصل للتمرين 16:

1) تبيان أن $\mathbf{c = 4\sqrt{2}}$ (تبسيط):

نُبسّط الحدود:

\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}

3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2} = 3(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}

نعوض في عبارة $c$:

c = 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 7\sqrt{2}

c = (5 + 6 - 7)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}

النتيجة: $c = 4\sqrt{2}$

2) حصر العدد $\mathbf{c}$:

لدينا $c = 4\sqrt{2}$ والمعطى هو $1.41 < \sqrt{2} < 1.42$ .

نضرب أطراف المتباينة في 4 (عدد موجب، لا تتغير المتباينة):

4 \times 1.41 < 4\sqrt{2} < 4 \times 1.42

\[5.64 < c < 5.68\]

النتيجة: $5.64 < c < 5.68$

3) مقارنة $\mathbf{c^2}$ و $\mathbf{25}$:

لدينا $c = 4\sqrt{2}$ .

c^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32

نقارن $$c^2 = 32$$ و $$25$$ .

بما أن $$32 > 25$$ ، فإن $$c^2 > 25$$ .

النتيجة: $c^2 > 25$

التمرين 17

نعتبر العددين الحقيقيين $a = (\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1)$ و $b = \sqrt{25} + \sqrt{75} - 2\sqrt{48}$ .

1) أ- بيّن أن $a = 5 - 4\sqrt{2}$ و $b = 5 - 3\sqrt{3}$ .

2) قارن $$a$$ و $4\sqrt{3}$ ثم قارن $$b$$ و $4\sqrt{3}$ .

3) أ- قارن $$a$$ و $$b$$ .

ب- استنتج مقارنة $$5a - 8b$$ و $$11a - 8b$$ .

4) بيّن أن $-\frac{3}{2} a + 9 - \frac{3}{2} b + 4\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + 9$

5) قارن بين $$a$$ و $\frac{1}{b}$

📋 تصحيح مفصل للتمرين 17 (تم تحديث المعطيات):

1) أ- تبيان أن $\mathbf{a = 5 - 4\sqrt{2}}$ و $\mathbf{b = 5 - 3\sqrt{3}}$:

حساب $a$: $a = (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 = 5 - 4\sqrt{2}$ .

حساب $b$: $b = 5 + 5\sqrt{3} - 2(4\sqrt{3}) = 5 + 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 5 - 3\sqrt{3}$ .

النتيجة: $a = 5 - 4\sqrt{2}$ و $b = 5 - 3\sqrt{3}$

2) مقارنة $\mathbf{a}$ و $\mathbf{4\sqrt{3}}$ ثم $\mathbf{b}$ و $\mathbf{4\sqrt{3}}$:

إشارة $a$: $$5^2 = 25$$ و $(4\sqrt{2})^2 = 32$ . بما أن $$25 < 32$$ ، فإن $a = 5 - 4\sqrt{2} < 0$ .

بما أن $a$ سالب و $4\sqrt{3}$ موجب، فإن $a < 4\sqrt{3}$ .

مقارنة $b$ و $4\sqrt{3}$: الفرق $b - 4\sqrt{3} = 5 - 7\sqrt{3}$ .

نقارن $$5$$ و $7\sqrt{3}$ . بما أن $$5^2 = 25$$ و $(7\sqrt{3})^2 = 147$ ، فإن $5 < 7\sqrt{3}$ .

إذن $b - 4\sqrt{3} < 0$ ، أي $b < 4\sqrt{3}$ .

النتائج: $a < 4\sqrt{3}$ و $b < 4\sqrt{3}$

3) أ- مقارنة $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$:

نحسب الفرق: $b - a = (5 - 3\sqrt{3}) - (5 - 4\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$ .

نقارن $4\sqrt{2}$ و $3\sqrt{3}$ . بما أن $(4\sqrt{2})^2 = 32$ و $(3\sqrt{3})^2 = 27$ ، فإن $4\sqrt{2} > 3\sqrt{3}$ .

إذن $$b - a > 0$$ . بالتالي $$a < b$$ .

النتيجة: $a < b$

3) ب- استنتاج مقارنة $\mathbf{5a - 8b}$ و $\mathbf{11a - 8b}$:

الفرق بين العددين هو: $$(5a - 8b) - (11a - 8b) = -6a$$ .

بما أن $$a < 0$$ (من السؤال 2)، فإن $$-6a > 0$$ .

بما أن الفرق موجب، فإن $$5a - 8b > 11a - 8b$$ .

النتيجة: $5a - 8b > 11a - 8b$

4) تبيان أن $\mathbf{-\frac{3}{2} a + 9 - \frac{3}{2} b + 4\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + 9}$:

ملاحظة: بالتعويض بقيم $a$ و $b$ الجديدة، الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، مما يؤكد أن هناك خطأ في نص هذه المعادلة الأصلية.

5) مقارنة بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{\frac{1}{b}}$:

لدينا $a = 5 - 4\sqrt{2} < 0$ و $b = 5 - 3\sqrt{3} < 0$ . إذن $a$ و $\frac{1}{b}$ عددان سالبان.

نقارن القيمة المطلقة: $|a| = 4\sqrt{2} - 5$ و $\left|\frac{1}{b}\right| = \frac{3\sqrt{3} + 5}{2}$ .

بما أن $|a| < \left|\frac{1}{b}\right|$ (كما بيّنّا في التحليل الداخلي)، وبما أن العددين سالبان، فإن ترتيبهما ينعكس:

a > \frac{1}{b}

النتيجة: $a > \frac{1}{b}$