مقارنة عددين حقيقيين

دفواراتي
مقارنة أعداد حقيقية
تمرين 1

قارن العددين a و b في كل حالة:

  • الحالة 1: \(a = 5\sqrt{2}\) و \(b = 4\sqrt{3}\)
  • الحالة 2: \(a = \pi^2 + \sqrt{3}\) و \(b = 3\pi + 2\)
  • الحالة 3: \(a = \sqrt{2} + \sqrt{27}\) و \(b = \sqrt{8} + \sqrt{12}\)
  • الحالة 4: \(a = 20 + \sqrt{75}\) و \(b = \sqrt{45} + \sqrt{48}\)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هناك عدة طرق للمقارنة:

  • مقارنة المربعات: لمقارنة عددين موجبين، يمكنك مقارنة مربعيهما. إذا كان \(a^2 > b^2\) فإن \(a > b\).
  • دراسة إشارة الفرق: احسب \(a-b\). إذا كان الفرق موجباً فإن \(a>b\).
  • تبسيط الجذور: بسّط الجذور التربيعية لجعل المقارنة أسهل (مثال: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)).

📝 الطريقة

للحالة 1 (\(a = 5\sqrt{2}\) و \(b = 4\sqrt{3}\)):

العددان موجبان، لذا نقارن مربعيهما:

\(a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50\)

\(b^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48\). الآن قارن بين 50 و 48.

للحالة 3 (\(a = \sqrt{2} + \sqrt{27}\) و \(b = \sqrt{8} + \sqrt{12}\)):

أولاً، نبسّط الجذور: \(a = \sqrt{2} + 3\sqrt{3}\) و \(b = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\).

ثانياً، ندرس إشارة الفرق \(a-b\):

\(a-b = (\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) - (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = -\sqrt{2} + \sqrt{3}\). هل هذا الفرق موجب أم سالب؟

✅ الحل الكامل

  • الحالة 1: \(a^2 = 50\) و \(b^2 = 48\). بما أن \(50 > 48\)، فإن \(a > b\).
  • الحالة 2: ندرس إشارة الفرق \(b-a\):
    \(b-a = (3\pi + 2) - (\pi^2 + \sqrt{3}) = 3\pi - \pi^2 + 2 - \sqrt{3}\)
    \(b-a = \pi(3 - \pi) + (2 - \sqrt{3})\)
    نعلم أن \(\pi \approx 3.14 > 3\)، إذن \((3 - \pi)\) هو عدد سالب، وبالتالي \(\pi(3 - \pi)\) سالب.
    ونعلم أن \(4 > 3\)، إذن \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\) أي \(2 > \sqrt{3}\)، وبالتالي \((2 - \sqrt{3})\) هو عدد موجب.
    بمقارنة القيمتين، نجد أن القيمة المطلقة للحد السالب أكبر من قيمة الحد الموجب \((|\pi(3-\pi)| > |2-\sqrt{3}|)\).
    إذن المجموع سالب، أي \(b-a < 0\)، وبالتالي \(a > b\).
  • الحالة 3: نبسّط أولاً: \(a = \sqrt{2} + 3\sqrt{3}\) و \(b = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\).
    ثم نحسب الفرق \(a-b\): \((\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) - (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2}\).
    بما أن \(3 > 2\)، فإن \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\)، وبالتالي الفرق موجب. إذن \(a > b\).
  • الحالة 4: نبسّط: \(a = 20 + 5\sqrt{3}\) و \(b = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{3}\).
    \(a-b = 20 + \sqrt{3} - 3\sqrt{5}\). بالتقريب: \(20 + 1.73 - 3(2.23) = 21.73 - 6.69 = 15.04 > 0\). إذن \(a > b\).
المقارنة والعمليات (1)
تمرين 2

ليكن \(a < b\). قارن في كل حالة:

  • \(a + 7\) و \(b + 7\)
  • \(\sqrt{2b} + \sqrt{5}\) و \(\sqrt{2a} + \sqrt{5}\) (بفرض \(a, b\) موجبان)
  • \(-\sqrt{b} + 8\) و \(-\sqrt{a} + 8\) (بفرض \(a, b\) موجبان)
  • \(-\frac{2}{3} a + \frac{1}{3}\) و \(-\frac{2}{3} b + \frac{1}{3}\)
  • \(2a + 3b - \sqrt{11}\) و \(3a + 2b - \sqrt{11}\)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر قواعد الترتيب والعمليات:

  • الجمع والطرح: إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي المتباينة لا يغير اتجاهها.
  • الضرب والقسمة:
    • الضرب في عدد موجب يحافظ على اتجاه المتباينة.
    • الضرب في عدد سالب يقلب اتجاه المتباينة.
  • الدوال: دالة الجذر التربيعي تصاعدية (تحافظ على الترتيب)، بينما دالة المقابل (\(x \to -x\)) تنازلية (تقلب الترتيب).

📝 الطريقة

للمقارنة بين \(-\frac{2}{3} a + \frac{1}{3}\) و \(-\frac{2}{3} b + \frac{1}{3}\):

  1. نبدأ من المعطى: \(a < b\).
  2. نضرب الطرفين في المعامل \(-\frac{2}{3}\). بما أن المعامل سالب، نقلب اتجاه المتباينة: \(-\frac{2}{3}a > -\frac{2}{3}b\).
  3. نضيف \(\frac{1}{3}\) للطرفين (لا يغير الاتجاه): \(-\frac{2}{3} a + \frac{1}{3} > -\frac{2}{3} b + \frac{1}{3}\).

للمقارنة بين \(2a + 3b\) و \(3a + 2b\):

ندرس إشارة الفرق: \((3a + 2b) - (2a + 3b) = 3a + 2b - 2a - 3b = a - b\). بما أن \(a < b\)، فإن إشارة \(a - b\) سالبة. إذن التعبير الأول أكبر من الثاني.

✅ الحل الكامل

  • \(a < b \implies a + 7 < b + 7\) (الجمع يحافظ على الترتيب).
  • \(a < b \implies 2a < 2b \implies \sqrt{2a} < \sqrt{2b} \implies \sqrt{2a} + \sqrt{5} < \sqrt{2b} + \sqrt{5}\) (دالة الجذر تصاعدية).
  • \(a < b \implies \sqrt{a} < \sqrt{b} \implies -\sqrt{a} > -\sqrt{b} \implies -\sqrt{a} + 8 > -\sqrt{b} + 8\) (المقابل يقلب الترتيب).
  • \(a < b \implies -\frac{2}{3}a > -\frac{2}{3}b \implies -\frac{2}{3}a + \frac{1}{3} > -\frac{2}{3}b + \frac{1}{3}\) (الضرب في عدد سالب يقلب الترتيب).
  • الفرق هو \((3a + 2b - \sqrt{11}) - (2a + 3b - \sqrt{11}) = a - b\). بما أن \(a < b\)، فإن \(a - b < 0\). إذن \(3a + 2b - \sqrt{11} < 2a + 3b - \sqrt{11}\).
المقارنة والعمليات (2)
تمرين 3

ليكن \(y < x\). قارن في كل حالة:

  • \(-2x + 3\) و \(-2y + 3\)
  • \(2x + y\) و \(2y + x\)
  • \(-\frac{\sqrt{5}}{2} x + 4\) و \(-\frac{\sqrt{5}}{2} y + 4\)
  • \(7y + 3x\) و \(7x + 3y\)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نفس القواعد السابقة. ركز على إشارة المعامل المضروب في \(x\) و \(y\).

في الحالات التي يظهر فيها \(x\) و \(y\) في كلا التعبيرين، فإن دراسة إشارة الفرق هي الطريقة الأكثر فعالية.

📝 الطريقة

للمقارنة بين \(2x + y\) و \(2y + x\):

ندرس إشارة الفرق: \((2x + y) - (2y + x) = 2x + y - 2y - x = x - y\).

بما أن المعطى هو \(y < x\)، فإن \(x - y\) هو عدد موجب.

إذن، الفرق موجب، مما يعني أن التعبير الأول أكبر من الثاني.

للمقارنة بين \(-2x + 3\) و \(-2y + 3\):

نبدأ من \(y < x\). نضرب في \(-2\) (معامل سالب)، فيتغير اتجاه المتباينة: \(-2y > -2x\). ثم نضيف 3 للطرفين: \(-2y + 3 > -2x + 3\).

✅ الحل الكامل

المعطى: \(y < x\). هذا يعني أن \(x - y > 0\).

  • \(-2x + 3\) و \(-2y + 3\): بما أن \(y < x\) والضرب في \(-2\) يقلب الترتيب، فإن \(-2y > -2x\). إذن \(-2y + 3 > -2x + 3\).
  • \(2x + y\) و \(2y + x\): الفرق هو \((2x + y) - (2y + x) = x - y\). بما أن \(x - y > 0\)، فإن \(2x + y > 2y + x\).
  • \(-\frac{\sqrt{5}}{2} x + 4\) و \(-\frac{\sqrt{5}}{2} y + 4\): الضرب في عدد سالب \((-\frac{\sqrt{5}}{2})\) يقلب الترتيب. بما أن \(y < x\)، فإن \(-\frac{\sqrt{5}}{2}y > -\frac{\sqrt{5}}{2}x\). إذن \(-\frac{\sqrt{5}}{2} y + 4 > -\frac{\sqrt{5}}{2} x + 4\).
  • \(7y + 3x\) و \(7x + 3y\): الفرق هو \((7x + 3y) - (7y + 3x) = 4x - 4y = 4(x - y)\). بما أن \(x - y > 0\)، فإن الفرق موجب. إذن \(7x + 3y > 7y + 3x\).