أ) احسب: \((\sqrt{3}-1)^2\)، \( (2\sqrt{2}+3)^2 \)، \( (3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3}) \).
ب) استنتج أن \(3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}\).
استخدم المتطابقات الهامة: \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)، \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)، و \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\). لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
أ) طبّق المتطابقات الهامة مباشرة على كل تعبير.
ب) لمقارنة \(3\sqrt{5}\) و \(4\sqrt{3}\)، احسب مربع كل منهما وقارن النتيجتين.
أ) الحساب:
\((\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\).
\((2\sqrt{2}+3)^2 = 8 + 12\sqrt{2} + 9 = 17 + 12\sqrt{2}\).
\((3\sqrt{5}-4\sqrt{3})(3\sqrt{5}+4\sqrt{3}) = (3\sqrt{5})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 45 - 48 = -3\).
ب) الاستنتاج:
نقارن \(3\sqrt{5}\) و \(4\sqrt{3}\). لدينا \((3\sqrt{5})^2 = 45\) و \((4\sqrt{3})^2 = 48\). بما أن \(45 < 48\)، فإن \(3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}\).
أ) أكتب كلا من العددين التاليين في صيغة مربع عدد حقيقي: \(7-4\sqrt{3}\) ؛ \(4+2\sqrt{3}\).
ب) أثبت أن \(\sqrt{4\sqrt{3}-7 + \sqrt{2\sqrt{3}+4}} = 3\).
أ) حاول كتابة كل تعبير على شكل \(a^2 \pm 2ab + b^2\). بالنسبة لـ \(7-4\sqrt{3}\), لاحظ أن \(4\sqrt{3} = 2 \times 2 \times \sqrt{3}\).
ب) استخدم نتائج السؤال (أ) لتبسيط الجذور الداخلية أولاً.
أ) \(7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2\). وبالمثل \(4+2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2\).
ب) عوض بالنتائج السابقة داخل الجذر الكبير وقم بالتبسيط خطوة بخطوة.
أ) الكتابة في صيغة مربع:
\(7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2-\sqrt{3})^2\).
\(4+2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3}+1)^2\).
ب) الإثبات:
\[\sqrt{4\sqrt{3}-7 + \sqrt{2\sqrt{3}+4}} = \sqrt{-(7-4\sqrt{3}) + \sqrt{4+2\sqrt{3}}}\] \[\text{خطأ في التمرين الأصلي، يجب أن تكون } \sqrt{7-4\sqrt{3}} \text{ أو ما شابه. بافتراض أن السؤال هو } \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} + \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |2-\sqrt{3}| + |\sqrt{3}+1| = 2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1=3\]. يبدو أن هناك خطأ في صياغة التمرين الأصلي.
نعتبر العددين \(a = 7-4\sqrt{3}\) و \(b=7+4\sqrt{3}\).
أ) أثبت أن a مقلوب b.
ب) احسب \(a^2\) ثم \(b^2\).
ج) بيّن أن \(\frac{a}{b} = 97 - 56\sqrt{3}\).
د) استنتج مقارنة لـ 97 و \(56\sqrt{3}\).
لإثبات أن a مقلوب b، احسب جداءهما. لحساب \(\frac{a}{b}\)، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام، والذي هو a. علامة \(\frac{a}{b}\) ستحدد نتيجة المقارنة.
أ) احسب \(a \times b\) باستخدام \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\).
ب) احسب \(a^2\) و \(b^2\) باستخدام \((x-y)^2\) و \((x+y)^2\).
ج) \(\frac{a}{b} = \frac{a \times a}{b \times a} = \frac{a^2}{1}\). استخدم نتيجة \(a^2\).
د) ادرس إشارة \(\frac{a}{b}\). بما أن a و b موجبان، فإن \(\frac{a}{b}\) موجب. إذن \(97 - 56\sqrt{3} > 0\).
أ) المقلوب: \(a \times b = (7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3}) = 7^2-(4\sqrt{3})^2 = 49-48=1\). إذن a مقلوب b.
ب) حساب المربعات: \(a^2 = (7-4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}\).
\(b^2 = (7+4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}\).
ج) حساب الكسر: \(\frac{a}{b} = \frac{a^2}{ab} = \frac{97-56\sqrt{3}}{1} = 97-56\sqrt{3}\).
د) المقارنة: بما أن \(a,b\) موجبان (لأن \(7 > 4\sqrt{3}\)), فإن \(\frac{a}{b}\) موجب. إذن \(97-56\sqrt{3} > 0\), مما يعني \(97 > 56\sqrt{3}\).