1) قارن العددين \(2\sqrt{2}\) و \(\frac{1}{3}\).
2) قارن العددين \(-2\sqrt{2}\) و \(-3\sqrt{3}\).
1) لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
2) لمقارنة عددين سالبين، قارن أولاً قيمتيهما الموجبتين (\(2\sqrt{2}\) و \(3\sqrt{3}\)) ثم اعكس اتجاه المتباينة.
1) نحسب \((2\sqrt{2})^2 = 8\) و \((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\). بما أن \(8 > \frac{1}{9}\)، نستنتج المقارنة.
2) نقارن أولاً \(2\sqrt{2}\) و \(3\sqrt{3}\). لدينا \((2\sqrt{2})^2=8\) و \((3\sqrt{3})^2=27\). إذن \(2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\). عند ضرب الطرفين في -1، نعكس اتجاه المتباينة.
1) لدينا \((2\sqrt{2})^2 = 8\) و \((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\). بما أن \(8 > \frac{1}{9}\) والعددان موجبان، فإن \(2\sqrt{2} > \frac{1}{3}\).
2) لدينا \((2\sqrt{2})^2=8\) و \((3\sqrt{3})^2=27\). بما أن \(8 < 27\)، فإن \(2\sqrt{2} < 3\sqrt{3}\). بضرب الطرفين في -1، نعكس اتجاه المتباينة: \(-2\sqrt{2} > -3\sqrt{3}\).
نعتبر العددين: \(a = \frac{1}{3} - 2\sqrt{2}\) و \(b = -5-3\sqrt{3}\).
أ) بين أن \(a > b\).
ب) بين أن a سالب قطعا.
ج) قارن \(a^2\) و \(b^2\).
أ) ادرس إشارة الفرق \(a-b\).
ب) استخدم نتيجة المقارنة من التمرين 1 لتحديد إشارة a.
ج) بما أن a و b سالبان و \(a > b\), فإن ترتيب مربعيهما سيكون معكوسًا.
أ) \(a-b = (\frac{1}{3}-2\sqrt{2}) - (-5-3\sqrt{3}) = \frac{16}{3} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\). هذا الفرق موجب.
ب) من تمرين 1، \(2\sqrt{2} > \frac{1}{3}\) إذن \(a = \frac{1}{3} - 2\sqrt{2}\) سالب.
ج) \(a > b\) وكلاهما سالب، إذن \(a^2 < b^2\).
أ) \(a-b = \frac{1}{3}-2\sqrt{2}+5+3\sqrt{3} = \frac{16}{3} + 3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\). لدينا \(3\sqrt{3} > 2\sqrt{2}\) (لأن 27>8). إذن \(3\sqrt{3}-2\sqrt{2} > 0\). وبالتالي \(a-b\) موجب، إذن \(a > b\).
ب) من تمرين 1، \(2\sqrt{2} > \frac{1}{3}\)، إذن \( \frac{1}{3} - 2\sqrt{2} < 0\). وبالتالي a سالب قطعا.
ج) b سالب بوضوح. بما أن a و b سالبان و \(a > b\), فإن ترتيب مربعيهما ينعكس: \(a^2 < b^2\).
د) بين أن \(a^3 > b^3\).
دالة التكعيب \(x \mapsto x^3\) هي دالة متزايدة على \(\mathbb{R}\). هذا يعني أنها تحافظ على اتجاه الترتيب دائمًا، بغض النظر عن إشارة العددين.
بما أن \(a > b\) ودالة التكعيب متزايدة تمامًا، فإنها تحافظ على الترتيب. نطبق التكعيب على طرفي المتباينة مباشرة.
لدينا \(a > b\). بما أن الدالة \(f(x)=x^3\) متزايدة تمامًا على مجموعة الأعداد الحقيقية، فإنها تحافظ على الترتيب. إذن، من \(a > b\) نستنتج مباشرة أن \(a^3 > b^3\).
4) بين أن \(\frac{\sqrt{3}}{b^2+5} < \frac{5}{a^2+\sqrt{3}}\).
لا يمكن المقارنة مباشرة. حاول أولاً مقارنة كل كسر بعدد بسيط، مثل 1. ادرس إشارة كل من البسط والمقام.
1. دراسة الكسر الأول: البسط \(\sqrt{3} > 0\). المقام \(b^2+5\) موجب لأن \(b^2\) موجب. إذن الكسر الأول موجب.
2. دراسة الكسر الثاني: البسط \(5 > 0\). المقام \(a^2+\sqrt{3}\) موجب لأن \(a^2\) موجب. إذن الكسر الثاني موجب.
3. مقارنة المقامين: لدينا \(a^2 < b^2\). نضيف 5 للطرفين: \(a^2+5 < b^2+5\). نقارن الآن \(b^2+5\) بـ \(a^2+\sqrt{3}\). الفرق بينهما هو \(b^2-a^2+5-\sqrt{3}\) وهو موجب. إذن \(b^2+5 > a^2+\sqrt{3}\).
لدينا \(a^2 < b^2\) (من تمرين 2).
نريد مقارنة المقامين: \(b^2+5\) و \(a^2+\sqrt{3}\).
لنحسب فرقهما: \((b^2+5) - (a^2+\sqrt{3}) = (b^2-a^2) + (5-\sqrt{3})\).
بما أن \(a^2 < b^2\), فإن \(b^2-a^2\) موجب.
بما أن \(5^2=25 > (\sqrt{3})^2=3\), فإن \(5-\sqrt{3}\) موجب.
إذن الفرق \((b^2-a^2) + (5-\sqrt{3})\) هو مجموع عددين موجبين, فهو موجب.
نستنتج أن \(b^2+5 > a^2+\sqrt{3}\).
بما أن \(\sqrt{3} < 5\) والمقامات موجبة و \(a^2+\sqrt{3} < b^2+5\), فإننا لا نستطيع تطبيق قاعدة المقلوب مباشرة. لكن بما أن \(a, b\) سالبان, فإن \(a^2\) و \(b^2\) كبيران جدا. الكسر \(\frac{\sqrt{3}}{b^2+5}\) سيكون أصغر بكثير من \(\frac{5}{a^2+\sqrt{3}}\) لأن بسطه أصغر ومقامه أكبر. (مقارنة دقيقة تتطلب حساب القيم). بما أن \(\sqrt{3}<5\) و \(b^2>a^2\), فإن \(\frac{\sqrt{3}}{b^2+5} < \frac{5}{a^2+\sqrt{3}}\) صحيح.