أ) قارن \(2\sqrt{5}\) و 10 ثم \(7-3\sqrt{5}\) و 0.
ب) احسب: \(E = |2\sqrt{5}-10| + |7-3\sqrt{5}|\).
لمقارنة أعداد موجبة، قارن مربعاتها. لحساب القيمة المطلقة، حدد إشارة التعبير بداخلها. إذا كان موجباً، نتركه كما هو. إذا كان سالباً، نأخذ معاكسه.
أ) قارن \((2\sqrt{5})^2\) بـ \(10^2\). ثم قارن \(7^2\) بـ \((3\sqrt{5})^2\) لاستنتاج إشارة \(7-3\sqrt{5}\).
ب) استخدم نتائج المقارنات السابقة لإزالة علامات القيمة المطلقة ثم بسّط.
أ) المقارنة:
\((2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\) و \(10^2 = 100\). بما أن \(20 < 100\)، فإن \(2\sqrt{5} < 10\).
\(7^2 = 49\) و \((3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45\). بما أن \(49 > 45\)، فإن \(7 > 3\sqrt{5}\)، إذن \(7-3\sqrt{5} > 0\).
ب) حساب E:
بما أن \(2\sqrt{5} < 10\)، فإن \(2\sqrt{5}-10 < 0\). إذن \(|2\sqrt{5}-10| = -(2\sqrt{5}-10) = 10-2\sqrt{5}\).
بما أن \(7-3\sqrt{5} > 0\)، فإن \(|7-3\sqrt{5}| = 7-3\sqrt{5}\).
\[E = (10-2\sqrt{5}) + (7-3\sqrt{5}) = 17-5\sqrt{5}\]
نعتبر العددين: \(a = 2(5-\sqrt{5})\) و \(b = 7-\sqrt{5}\).
أ) بين أن العدد b موجب.
ب) بين أن \(a > b\).
ج) بين أن \(a^2 > b^2\).
لإثبات أن b موجب، قارن 7 و \(\sqrt{5}\). لمقارنة a و b، ادرس إشارة فرقهما. بما أن a و b موجبان، فإن مقارنة مربعيهما تتبع نفس ترتيبهما.
أ) قارن \(7^2\) بـ \((\sqrt{5})^2\).
ب) احسب الفرق \(a-b = (10-2\sqrt{5}) - (7-\sqrt{5})\). بسّط الفرق وقارن العدد الصحيح بالجذر لتحديد الإشارة.
ج) بما أن a و b موجبان (تأكد من إشارة a أولاً) و \(a>b\)، فإن \(a^2 > b^2\).
أ) إشارة b: \(7^2=49\), \((\sqrt{5})^2=5\). بما أن \(49>5\), فإن \(7>\sqrt{5}\), إذن \(b=7-\sqrt{5}\) موجب.
ب) مقارنة a و b: \(a-b = (10-2\sqrt{5}) - (7-\sqrt{5}) = 3-\sqrt{5}\). بما أن \(3^2=9 > (\sqrt{5})^2=5\), فإن \(3>\sqrt{5}\), إذن \(a-b\) موجب, وبالتالي \(a>b\).
ج) مقارنة المربعات: \(a = 10-2\sqrt{5}\). بما أن \(10^2=100 > (2\sqrt{5})^2=20\), فإن a موجب. بما أن a و b موجبان و \(a>b\), فإن \(a^2 > b^2\).
أثبت أن \(-3a^2+2\sqrt{5} < -3b^2+10\).
ابدأ من المتباينة التي أثبتها في السؤال السابق: \(a^2 > b^2\). حاول الوصول إلى المتباينة المطلوبة بتطبيق العمليات المناسبة (الضرب، الإضافة) على طرفيها.
1. لدينا \(a^2 > b^2\).
2. نضرب الطرفين في -3 (تذكر عكس اتجاه المتباينة): \(-3a^2 < -3b^2\).
3. نقارن الحدين المضافين: \(2\sqrt{5}\) و 10. لقد قمنا بذلك في التمرين الأول ووجدنا \(2\sqrt{5} < 10\).
4. نجمع المتباينتين \(-3a^2 < -3b^2\) و \(2\sqrt{5} < 10\) طرفًا بطرف.
من السؤال 2، لدينا \(a^2 > b^2\).
بضرب الطرفين في -3، نعكس اتجاه المتباينة: \(-3a^2 < -3b^2\). (المتباينة 1)
من السؤال 1، لدينا \(2\sqrt{5} < 10\). (المتباينة 2)
بجمع المتباينتين (1) و (2) طرفًا بطرف (لأنهما في نفس الاتجاه):
\[-3a^2 + 2\sqrt{5} < -3b^2 + 10\]
قارن \(\frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\) و \(\frac{-3}{a\sqrt{2}+1}\).
لمقارنة كسرين لهما نفس البسط السالب، يكفي مقارنة مقاميهما. ابدأ من \(a > b\) وحاول بناء المقامين. تذكر أن المقلوب يعكس الترتيب، والضرب في عدد سالب يعكسه مرة أخرى.
1. لدينا \(a > b\).
2. نضرب في \(\sqrt{2}\): \(a\sqrt{2} > b\sqrt{2}\).
3. نضيف 1: \(a\sqrt{2}+1 > b\sqrt{2}+1\).
4. نأخذ المقلوب (نعكس الاتجاه): \(\frac{1}{a\sqrt{2}+1} < \frac{1}{b\sqrt{2}+1}\).
5. نضرب في -3 (نعكس الاتجاه مرة أخرى): \(\frac{-3}{a\sqrt{2}+1} > \frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\).
لدينا من السؤال 2 أن \(a > b\). بما أن a و b موجبان، و \(\sqrt{2}\) موجب، فإن:
\[a > b \implies a\sqrt{2} > b\sqrt{2}\]
\[\implies a\sqrt{2}+1 > b\sqrt{2}+1\]
بما أن المقامين موجبان، فإن أخذ المقلوب يعكس اتجاه المتباينة:
\[\frac{1}{a\sqrt{2}+1} < \frac{1}{b\sqrt{2}+1}\]
بضرب الطرفين في -3 (عدد سالب)، نعكس اتجاه المتباينة مرة أخرى:
\[\frac{-3}{a\sqrt{2}+1} > \frac{-3}{b\sqrt{2}+1}\]