ليكن a و b عددان حقيقيان موجبان قطعا حيث: \(a \le b\).
أ) قارن \(2a-1\) و \(2b-1\).
ب) قارن \(2\sqrt{5}\) و \(3\sqrt{2}\).
أ) ابدأ من المعطى \(a \le b\) وطبق العمليات (الضرب في 2 ثم الطرح 1) على طرفي المتباينة.
ب) لمقارنة عددين موجبين يحتويان على جذور، قارن مربعيهما.
أ) لدينا \(a \le b\). نضرب الطرفين في 2 (عدد موجب) فتصبح \(2a \le 2b\). نطرح 1 من الطرفين فتصبح \(2a-1 \le 2b-1\).
ب) نحسب مربع كل عدد: \((2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20\) و \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\).
أ) بما أن \(a \le b\) والضرب في عدد موجب لا يغير اتجاه المتباينة، فإن \(2a \le 2b\). وبإضافة (-1) للطرفين، نحصل على \(2a-1 \le 2b-1\).
ب) بما أن \(20 > 18\) والعددان موجبان، فإن \(2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}\).
ج) استنتج مقارنة لـ \(\frac{1}{a^2+3\sqrt{2}}\) و \(\frac{1}{b^2+2\sqrt{5}}\).
استخدم نتائج المقارنات السابقة. ابدأ من \(a \le b\) لتصل إلى مقارنة \(a^2\) و \(b^2\). ثم استخدم مقارنة \(2\sqrt{5}\) و \(3\sqrt{2}\) لتصل إلى مقارنة المقامين. أخيرًا، طبق قاعدة المقلوب.
1. لدينا \(a, b\) موجبان و \(a \le b \implies a^2 \le b^2\).
2. لدينا \(3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}\).
3. بجمع المتباينتين طرفًا بطرف: \(a^2+3\sqrt{2} < b^2+2\sqrt{5}\).
4. بما أن المقامين موجبان، فإن أخذ المقلوب يعكس اتجاه المتباينة.
بما أن \(a, b\) موجبان و \(a \le b\)، فإن \(a^2 \le b^2\).
من السؤال السابق، نعلم أن \(3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}\).
بجمع المتباينتين (لأنهما في نفس الاتجاه)، نحصل على: \(a^2 + 3\sqrt{2} < b^2 + 2\sqrt{5}\).
بما أن الطرفين موجبان، فإن مقلوبيهما يحققان عكس الترتيب:
\[\frac{1}{a^2+3\sqrt{2}} > \frac{1}{b^2+2\sqrt{5}}\]
أ) أكتب دون علامة القيمة المطلقة: \(E = |a-b-\sqrt{2}| - |2b-2a+\sqrt{2}|\).
لتحديد إشارة ما بداخل كل قيمة مطلقة، استخدم المعطى \(a \le b\).
1. إشارة \(a-b-\sqrt{2}\): بما أن \(a \le b \implies a-b \le 0\). بإضافة عدد سالب (\(-\sqrt{2}\))، يبقى المقدار سالبًا.
2. إشارة \(2b-2a+\sqrt{2}\): لدينا \(a \le b \implies 2a \le 2b \implies 2b-2a \ge 0\). بإضافة عدد موجب، يبقى المقدار موجبًا.
الحد الأول: \(a-b-\sqrt{2}\) سالب، إذن \(|a-b-\sqrt{2}| = -(a-b-\sqrt{2}) = -a+b+\sqrt{2}\).
الحد الثاني: \(2b-2a+\sqrt{2}\) موجب، إذن \(|2b-2a+\sqrt{2}| = 2b-2a+\sqrt{2}\).
العبارة E: اطرح النتيجة الثانية من الأولى وقم بالتبسيط.
لدينا \(a \le b\), إذن \(a-b \le 0\). وبالتالي \(a-b-\sqrt{2}\) هو عدد سالب قطعا. إذن:
\[|a-b-\sqrt{2}| = -(a-b-\sqrt{2}) = -a+b+\sqrt{2}\]
ولدينا \(a \le b \implies 2a \le 2b \implies 2b-2a \ge 0\). وبالتالي \(2b-2a+\sqrt{2}\) هو عدد موجب قطعا. إذن:
\[|2b-2a+\sqrt{2}| = 2b-2a+\sqrt{2}\]
نعوض في E:
\[E = (-a+b+\sqrt{2}) - (2b-2a+\sqrt{2}) = -a+b+\sqrt{2}-2b+2a-\sqrt{2} = a-b\]
ب) استنتج مقارنة لـ \( |a-b-\sqrt{2}| \) و \( |2b-2a+\sqrt{2}| \).
لمقارنة عددين، ندرس إشارة فرقهما. ادرس إشارة \(|a-b-\sqrt{2}| - |2b-2a+\sqrt{2}|\). لقد حسبت هذا الفرق في السؤال السابق، إنه يساوي \(E\).
الفرق بين العددين هو \(E\). من السؤال السابق، وجدنا أن \(E = a-b\). بما أن المعطى هو \(a \le b\)، فإن الفرق \(a-b \le 0\). هذا يعني أن العدد الأول أصغر من أو يساوي العدد الثاني.
لدينا \(|a-b-\sqrt{2}| - |2b-2a+\sqrt{2}| = E = a-b\).
بما أن \(a \le b\), فإن \(a-b \le 0\).
إذن، \(|a-b-\sqrt{2}| - |2b-2a+\sqrt{2}| \le 0\).
وبالتالي: \[|a-b-\sqrt{2}| \le |2b-2a+\sqrt{2}|\]