أ) احسب العبارتين \( X = (4+2\sqrt{3})^2 \) و \( Y = (5-3\sqrt{3})^2 \).
استخدم المتطابقات الهامة: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) و \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\).
لحساب X: طبّق \( (a+b)^2 \) مع \(a=4\) و \(b=2\sqrt{3}\).
لحساب Y: طبّق \( (a-b)^2 \) مع \(a=5\) و \(b=3\sqrt{3}\).
X = 4^2 + 2(4)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 16\sqrt{3} + 12 = 28 + 16\sqrt{3}
Y = 5^2 - 2(5)(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 25 - 30\sqrt{3} + 27 = 52 - 30\sqrt{3}
ب) قارن العددين \( 3\sqrt{3} \) و \( 5 \).
ج) استنتج \( \sqrt{Y} \).
لمقارنة العددين الموجبين، قارن مربعيهما. لاستنتاج \( \sqrt{Y} \)، تذكر أن \( \sqrt{k^2} = |k| \) وأن إشارة ما بداخل القيمة المطلقة تعتمد على المقارنة التي قمت بها.
ب) المقارنة: احسب \( (3\sqrt{3})^2 \) و \( 5^2 \) وقارن النتيجتين.
ج) الاستنتاج: \( \sqrt{Y} = \sqrt{(5-3\sqrt{3})^2} = |5-3\sqrt{3}| \). استخدم نتيجة المقارنة لتحديد إشارة \(5-3\sqrt{3}\) وإزالة القيمة المطلقة.
ب) المقارنة: \((3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27\). \(5^2 = 25\). بما أن \(27 > 25\)، فإن \(3\sqrt{3} > 5\).
ج) الاستنتاج: \( \sqrt{Y} = |5-3\sqrt{3}| \). بما أن \(3\sqrt{3} > 5\)، فإن \(5-3\sqrt{3}\) عدد سالب. إذن، \(|5-3\sqrt{3}| = -(5-3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-5\).
نعتبر العددين \( a = 8-3\sqrt{7} \) و \( b = 8+3\sqrt{7} \).
أ) بين أن a مقلوب b.
لإثبات أن عددين مقلوبان، يجب أن تبين أن جداءهما يساوي 1. لاحظ أن a و b على شكل متطابقة هامة.
احسب الجداء \(a \times b\). استخدم المتطابقة الهامة \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\) مع \(x=8\) و \(y=3\sqrt{7}\).
a \times b = (8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - (9 \times 7) = 64 - 63 = 1
بما أن \(a \times b = 1\)، فإن a و b مقلوبان.
ب) حدد، معللا جوابك، علامة العدد a.
ج) قارن العددين a و b.
لتحديد إشارة \(a = 8-3\sqrt{7}\)، قارن 8 و \(3\sqrt{7}\) عن طريق تربيع الطرفين. لمقارنة a و b، لاحظ أن أحدهما هو طرح والآخر جمع لنفس العددين.
ب) علامة a: قارن \(8^2\) بـ \((3\sqrt{7})^2\). إذا كان \(8^2 > (3\sqrt{7})^2\)، فإن \(8 > 3\sqrt{7}\) و a موجب.
ج) مقارنة a و b: بما أن \(3\sqrt{7}\) عدد موجب، فإن \(8 - 3\sqrt{7} < 8 + 3\sqrt{7}\).
ب) علامة a: \(8^2=64\) و \((3\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63\). بما أن \(64 > 63\)، فإن \(8 > 3\sqrt{7}\)، وبالتالي \(a=8-3\sqrt{7}\) هو عدد موجب.
ج) مقارنة a و b: لدينا \(a=8-3\sqrt{7}\) و \(b=8+3\sqrt{7}\). بما أننا نطرح كمية موجبة في a ونضيفها في b, فمن الواضح أن \(a < b\).
د) استنتج مقارنة لـ \( -3a+4 \) و \( -3b+4 \) ثم لـ \( 3a^2+2 \) و \( 3b^2+4 \).
ابدأ من المتباينة \(a < b\). للمقارنة الأولى، اضرب في -3 (تذكر عكس الاتجاه) ثم أضف 4. للمقارنة الثانية، ادرس الفرق بين التعبيرين.
المقارنة الأولى: ابدأ من \(a < b\). اضرب الطرفين في -3، ثم أضف 4 للطرفين.
المقارنة الثانية: احسب الفرق \((3b^2+4) - (3a^2+2)\). بسّط الفرق إلى \(3(b^2-a^2)+2\). بما أن \(b>a>0\), فإن \(b^2-a^2\) موجب, وبالتالي الفرق كله موجب.
المقارنة الأولى:
لدينا \(a < b\).
\(\Rightarrow -3a > -3b\) (الضرب في عدد سالب يعكس الاتجاه).
\(\Rightarrow -3a+4 > -3b+4\) (إضافة 4 لا تغير الاتجاه).
المقارنة الثانية:
لدينا \(a < b\) و هما موجبان، إذن \(a^2 < b^2\).
\(\Rightarrow 3a^2 < 3b^2\).
لدينا \(3a^2+2\) و \(3b^2+4\). الفرق بينهما هو \((3b^2+4)-(3a^2+2) = 3b^2-3a^2+2 = 3(b^2-a^2)+2\).
بما أن \(b^2 > a^2\), فإن \(b^2-a^2\) موجب. إذن \(3(b^2-a^2)+2\) هو عدد موجب. وبالتالي \(3a^2+2 < 3b^2+4\).