تحليل ومقارنة الأعداد الحقيقية

دفواراتي
تحليل إشارة العدد الحقيقي a
تمرين 1

ليكن العدد الحقيقي \( a = 3\sqrt{2} - \frac{35}{4} \).

  1. بيّن أن \( a = 3\left(\sqrt{2} - \frac{35}{12}\right) \).
  2. استنتج أن العدد \(a\) سالب.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد إشارة العدد \(a\), علينا تحديد إشارة القوس \( \left(\sqrt{2} - \frac{35}{12}\right) \). للقيام بذلك، قارن بين العددين \( \sqrt{2} \) و \( \frac{35}{12} \). بما أن كلاهما موجب، فإن أسهل طريقة هي مقارنة مربعيهما.

📝 الطريقة

أ) إخراج العامل المشترك:

\( a = 3\sqrt{2} - \frac{35}{4} = 3 \cdot \sqrt{2} - 3 \cdot \frac{35}{12} = 3\left(\sqrt{2} - \frac{35}{12}\right) \)

ب) استنتاج الإشارة:

  1. نقارن \( \sqrt{2} \) و \( \frac{35}{12} \).
  2. نحسب مربع كل عدد: \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) و \( \left(\frac{35}{12}\right)^2 = \frac{1225}{144} \).
  3. نقارن النتيجتين: \( 2 \) مقابل \( \frac{1225}{144} \). بما أن \( \frac{1225}{144} \approx 8.5 \), فمن الواضح أن \( 2 < \frac{1225}{144} \).
  4. نستنتج أن \( \sqrt{2} < \frac{35}{12} \), وبالتالي فإن الفرق \( \sqrt{2} - \frac{35}{12} \) سالب.

✅ الحل الكامل

أ) لدينا \( a = 3\sqrt{2} - \frac{35}{4} \). بإخراج 3 كعامل مشترك، نحصل على:

\( a = 3\left(\frac{3\sqrt{2}}{3} - \frac{35}{4 \times 3}\right) = 3\left(\sqrt{2} - \frac{35}{12}\right) \)

ب) لدراسة إشارة \(a\), ندرس إشارة \( \sqrt{2} - \frac{35}{12} \). نقارن \( \sqrt{2} \) و \( \frac{35}{12} \):

\( (\sqrt{2})^2 = 2 \)

\( \left(\frac{35}{12}\right)^2 = \frac{1225}{144} \)

بما أن \( 2 = \frac{288}{144} \), و \( \frac{288}{144} < \frac{1225}{144} \), فإن \( 2 < \left(\frac{35}{12}\right)^2 \).

وبما أن العددين موجبين، فإن \( \sqrt{2} < \frac{35}{12} \). إذن \( \sqrt{2} - \frac{35}{12} < 0 \).

وبالتالي، \( a = 3 \times (\text{عدد سالب}) \), فالعدد \(a\) سالب.

تبسيط ومقارنة b و c
تمرين 2

نعتبر العددين \( b = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\right)^2 - 9 \) و \( c = \frac{6 \cdot \sqrt{5^3} \cdot \sqrt{10^{-3}}}{\sqrt{6^{-1}}} \).

  1. بيّن أن \( b = 3\sqrt{2} + \frac{1}{2} \) و \( c = 3\sqrt{3} \).
  2. بيّن أن \( b^2 - c^2 = a \).
  3. استنتج مقارنة بين \(b\) و \(c\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لتبسيط \(b\), استخدم المتطابقة الهامة \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
  • لتبسيط \(c\), استخدم خصائص القوى والجذور: \( \sqrt{x^n} = x^{n/2} \) و \( \sqrt{x^{-n}} = 1/\sqrt{x^n} \).
  • للمقارنة، استخدم نتيجة السؤال (ب). ما الذي تخبرنا به إشارة \(a\) (التي وجدناها في التمرين 1) عن العلاقة بين \(b^2\) و \(c^2\)?

📝 الطريقة

أ) تبسيط b و c:

\( b = \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 + 3^2\right) - 9 = \left(\frac{2}{4} + 3\sqrt{2} + 9\right) - 9 = \frac{1}{2} + 3\sqrt{2} \)

\( c = \frac{6 \cdot 5^{3/2} \cdot 10^{-3/2}}{6^{-1/2}} = 6^{1} \cdot 6^{1/2} \cdot 5^{3/2} \cdot (2 \cdot 5)^{-3/2} = 6^{3/2} \cdot 5^{3/2} \cdot 2^{-3/2} \cdot 5^{-3/2} = (2 \cdot 3)^{3/2} \cdot 2^{-3/2} = 2^{3/2} \cdot 3^{3/2} \cdot 2^{-3/2} = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3} \)

ب) حساب \(b^2 - c^2\):

أولاً نحسب \(b^2\) و \(c^2\) ثم نحسب الفرق بينهما ونقارنه بـ \(a\).

\( b^2 = \left(3\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2(3\sqrt{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^2 = 18 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{4} \)

\( c^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27 \)

\( b^2 - c^2 = (18 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{4}) - 27 = 3\sqrt{2} - 9 + \frac{1}{4} = 3\sqrt{2} - \frac{35}{4} \), وهذا هو تعريف \(a\).

ج) المقارنة:

بما أن \( b^2 - c^2 = a \) ووجدنا في التمرين 1 أن \( a < 0 \), فإن \( b^2 - c^2 < 0 \). هذا يعني \( b^2 < c^2 \). وبما أن \(b\) و \(c\) عددان موجبان، يمكننا استنتاج أن \( b < c \).

✅ الحل الكامل

أ) تبسيط \(b\) و \(c\):

\( b = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\right)^2 - 9 = \frac{2}{4} + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(3) + 9 - 9 = \frac{1}{2} + 3\sqrt{2} \)

\( c = \frac{6 \cdot \sqrt{5^3} \cdot \sqrt{10^{-3}}}{\sqrt{6^{-1}}} = 6 \cdot \sqrt{125 \cdot 10^{-3}} \cdot \sqrt{6} = 6 \sqrt{0.125 \cdot 6} = 6 \sqrt{0.75} = 6 \sqrt{\frac{3}{4}} = 6 \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \)

ب) إثبات أن \( b^2 - c^2 = a \):

\( b^2 = (3\sqrt{2} + \frac{1}{2})^2 = 18 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{4} \)

\( c^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27 \)

\( b^2 - c^2 = 18 + 3\sqrt{2} + \frac{1}{4} - 27 = 3\sqrt{2} - 9 + \frac{1}{4} = 3\sqrt{2} - \frac{36-1}{4} = 3\sqrt{2} - \frac{35}{4} = a \)

ج) استنتاج المقارنة:

لدينا \( b^2 - c^2 = a \). من التمرين 1، نعلم أن \( a < 0 \).

إذن، \( b^2 - c^2 < 0 \), مما يعني أن \( b^2 < c^2 \).

بما أن \( b = 3\sqrt{2} + \frac{1}{2} > 0 \) و \( c = 3\sqrt{3} > 0 \), يمكننا أن نستنتج أن \( \mathbf{b < c} \).

مقارنة выражений جذرية
تمرين 3

استنتج مقارنة بين \( 3\sqrt{3} + 1 \) و \( 3\sqrt{2} + 4 \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمقارنة عددين \(A\) و \(B\), الطريقة الأكثر شيوعًا هي دراسة إشارة فرقهما \(A - B\). إذا كان الفرق موجبًا، فإن \(A > B\). إذا كان سالبًا، فإن \(A < B\).

📝 الطريقة

  1. نطرح العددين: \( (3\sqrt{3} + 1) - (3\sqrt{2} + 4) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 3 \).
  2. نخرج 3 كعامل مشترك: \( 3(\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1) \).
  3. لدراسة إشارة هذا التعبير، علينا مقارنة \( \sqrt{3} \) بـ \( \sqrt{2} + 1 \).
  4. بما أن كلا الطرفين موجب، نقارن مربعيهما: \( (\sqrt{3})^2 \) و \( (\sqrt{2} + 1)^2 \).
  5. نحسب المربعين: \( (\sqrt{3})^2 = 3 \) و \( (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} \).
  6. نقارن النتيجتين ونستنتج إشارة الفرق الأصلي.

✅ الحل الكامل

لمقارنة \( A = 3\sqrt{3} + 1 \) و \( B = 3\sqrt{2} + 4 \), ندرس إشارة الفرق \(A - B\):

\( A - B = (3\sqrt{3} + 1) - (3\sqrt{2} + 4) = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 3 = 3(\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1) \)

الآن، نقارن \( \sqrt{3} \) بـ \( \sqrt{2} + 1 \). بما أن كلا العددين موجب، نقارن مربعيهما:

\( (\sqrt{3})^2 = 3 \)

\( (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} \)

بما أن \( 3 < 3 + 2\sqrt{2} \), فإن \( (\sqrt{3})^2 < (\sqrt{2} + 1)^2 \).

إذن، \( \sqrt{3} < \sqrt{2} + 1 \), مما يعني أن \( \sqrt{3} - \sqrt{2} - 1 < 0 \).

وبالتالي، الفرق \( A - B = 3 \times (\text{عدد سالب}) \) هو عدد سالب.

بما أن \( A - B < 0 \), فإن \( A < B \).

النتيجة: \( 3\sqrt{3} + 1 < 3\sqrt{2} + 4 \).

`),t.document.close(),t.print()}}const mathSystem=new MathExerciseSystem;function showStep(e,t,s){return mathSystem.showStep(e,t,s)}function resetExercise(e){return mathSystem.resetExercise(e)}function toggleSolution(e){return mathSystem.toggleSolution(e)}function toggleCorrection(e){return mathSystem.toggleCorrection(e)}document.addEventListener("DOMContentLoaded",function(){console.log("🎯 Page chargée - Système d'exercices prêt!"),setTimeout(()=>{const e=mathSystem.getAllStats();console.log("📊 Statistiques initiales:",e),console.log(` 🔥 RACCOURCIS CLAVIER DISPONIBLES: • Alt + 1: Afficher le prochain indice • Alt + 2: Afficher la prochaine méthode • Alt + 3: Afficher la prochaine solution • Alt + R: Réinitialiser tous les exercices `)},1e3)}),window.addEventListener("beforeunload",function(){mathSystem.config.autoSave&&mathSystem.saveProgress()}),window.MathExerciseAPI={system:mathSystem,showAllHints:()=>mathSystem.showNextHint(),showAllMethods:()=>mathSystem.showNextMethod(),showAllSolutions:()=>mathSystem.showNextSolution(),resetAll:()=>mathSystem.resetAllExercises(),getStats:()=>mathSystem.displayStats(),exportStats:()=>mathSystem.exportStats(),clearProgress:()=>mathSystem.clearSavedProgress(),enableSound:e=>{mathSystem.config.enableSound=e},enableAnimation:e=>{mathSystem.config.enableAnimation=e}},console.log("🔧 API disponible via window.MathExerciseAPI");