1) بسّط العبارة التالية:
\( A = \left(\frac{\sqrt{2}^3 \cdot a^{-3} \cdot b^{-1}}{(2^{-2} \cdot b \cdot a^{-2})^2}\right)^{-2} \)
2) احسب قيمة \( A \) إذا كان \( a = \sqrt{2} \).
تذكر قواعد القوى الأساسية:
1. بسّط المقام داخل القوس:
\( (2^{-2} \cdot b \cdot a^{-2})^2 = (2^{-2})^2 \cdot b^2 \cdot (a^{-2})^2 = 2^{-4} \cdot b^2 \cdot a^{-4} \)
2. بسّط الكسر داخل القوس:
\( \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-3} \cdot b^{-1}}{2^{-4} \cdot b^2 \cdot a^{-4}} = 2^{\frac{3}{2} - (-4)} \cdot a^{-3 - (-4)} \cdot b^{-1 - 2} = 2^{\frac{11}{2}} \cdot a^{1} \cdot b^{-3} \)
3. طبّق القوة الخارجية \( -2 \):
\( \left(2^{\frac{11}{2}} \cdot a \cdot b^{-3}\right)^{-2} = \dots \)
4. للتعويض: بعد التبسيط، عوض \( a = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \).
1) تبسيط \(A\):
\( A = \left(\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-3} \cdot b^{-1}}{2^{-4} \cdot b^2 \cdot a^{-4}}\right)^{-2} = \left(2^{\frac{3}{2}+4} \cdot a^{-3+4} \cdot b^{-1-2}\right)^{-2} \)
\( A = \left(2^{\frac{11}{2}} \cdot a \cdot b^{-3}\right)^{-2} = (2^{\frac{11}{2}})^{-2} \cdot a^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2} \)
\( A = 2^{-11} \cdot a^{-2} \cdot b^{6} \)
2) حساب \(A\) عندما \( a = \sqrt{2} \):
نعوض \( a = \sqrt{2} \)، إذن \( a^{-2} = (\sqrt{2})^{-2} = (2^{\frac{1}{2}})^{-2} = 2^{-1} \).
\( A = 2^{-11} \cdot (2^{-1}) \cdot b^{6} = 2^{-11-1} \cdot b^{6} = 2^{-12} \cdot b^{6} \)
ليكن \( a = 1 - \sqrt{2} \) و \( b = \sqrt{2} + 1 \).
1) استخدم المتطابقة الهامة \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).
2) حاول أن تظهر الجداء \(ab\) في العبارة \(E\). لاحظ أن \( a^{23} = a \cdot a^{22} \).
1. حساب \(ab\):
\( ab = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = \dots \)
2. تبسيط \(E\):
\( E = a^{23} \cdot b^{22} = a \cdot a^{22} \cdot b^{22} = a \cdot (ab)^{22} \).
الآن، عوض قيمة \(ab\) التي وجدتها في الخطوة الأولى.
1) \( ab = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \).
2) \( E = a^{23} \cdot b^{22} = a \cdot a^{22} \cdot b^{22} = a \cdot (ab)^{22} \).
بما أن \( ab = -1 \)، فإن \( E = a \cdot (-1)^{22} \).
بما أن 22 عدد زوجي، فإن \( (-1)^{22} = 1 \).
إذن، \( E = a \cdot 1 = a = 1 - \sqrt{2} \).
أثبت أن: \( \frac{2^7 + 3^7}{8^7 + 12^7} = 4^{-7} \)
حاول تحليل المقام. اكتب 8 و 12 كجداء عوامل أولية: \( 8 = 2^3 \) و \( 12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3 \). ثم ابحث عن عامل مشترك في المقام.
1. حلل المقام:
\( 8^7 + 12^7 = (2^3)^7 + (2^2 \cdot 3)^7 = 2^{21} + 2^{14} \cdot 3^7 \).
2. استخرج العامل المشترك:
العامل المشترك في المقام هو \( 2^{14} \).
\( 2^{14} (2^{21-14} + 3^7) = 2^{14} (2^7 + 3^7) \).
3. بسّط الكسر:
\( \frac{2^7 + 3^7}{2^{14} (2^7 + 3^7)} = \dots \)
لنعمل على المقام:
\( 8^7 + 12^7 = (2^3)^7 + (2^2 \cdot 3)^7 = 2^{21} + (2^2)^7 \cdot 3^7 = 2^{21} + 2^{14} \cdot 3^7 \)
نستخرج \( 2^{14} \) كعامل مشترك:
\( 2^{14} (2^{21-14} + 3^7) = 2^{14} (2^7 + 3^7) \)
الآن نعوض في الكسر الأصلي:
\( \frac{2^7 + 3^7}{8^7 + 12^7} = \frac{2^7 + 3^7}{2^{14}(2^7 + 3^7)} = \frac{1}{2^{14}} \)
وأخيراً، نعلم أن \( \frac{1}{2^{14}} = (2^{14})^{-1} = (2^2)^{-7} = 4^{-7} \).
الطريقة الأكثر فعالية للمقارنة هي دراسة إشارة الفرق بين التعبيرين.
تذكر: إذا كان \(X - Y \leq 0\)، فإن \(X \leq Y\).
1) احسب الفرق \( (1 + 3\sqrt{5}) - 4\sqrt{5} = 1 - \sqrt{5} \). هل \(1 - \sqrt{5}\) موجب أم سالب؟ (قارن بين 1 و \(\sqrt{5}\) عن طريق تربيعيهما).
2) احسب الفرق \( (5a + 3b) - (3a + 5b) \). بسّط الناتج ثم استخدم الفرضية \( a \leq b \) لتحديد إشارته.
1) ندرس إشارة الفرق:
\( (1 + 3\sqrt{5}) - 4\sqrt{5} = 1 - \sqrt{5} \).
بما أن \( 1^2 = 1 \) و \( (\sqrt{5})^2 = 5 \)، فإن \( 1 < \sqrt{5} \). إذن \( 1 - \sqrt{5} < 0 \).
وبالتالي، \( 1 + 3\sqrt{5} < 4\sqrt{5} \).
2) ندرس إشارة الفرق:
\( (5a + 3b) - (3a + 5b) = 5a + 3b - 3a - 5b = 2a - 2b = 2(a - b) \).
بما أن \( a \leq b \)، فإن \( a - b \leq 0 \).
إذن \( 2(a - b) \leq 0 \).
وبالتالي، \( 5a + 3b \leq 3a + 5b \).