1)
أ) احسب العبارتين: \( X = (4 + 2\sqrt{3})^2 \) و \( Y = (5 - 3\sqrt{3})^2 \).
ب) قارن العددين \( 3\sqrt{3} \) و \( 5 \).
ج) استنتج قيمة \( \sqrt{Y} \).
أ) حساب X و Y:
\[ X = (4 + 2\sqrt{3})^2 = 4^2 + 2(4)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 16\sqrt{3} + 12 = 28 + 16\sqrt{3} \] \[ Y = (5 - 3\sqrt{3})^2 = 5^2 - 2(5)(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 25 - 30\sqrt{3} + 27 = 52 - 30\sqrt{3} \]ب) مقارنة \( 3\sqrt{3} \) و \( 5 \):
نربع العددين: \( (3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27 \) و \( 5^2 = 25 \).
بما أن \( 27 > 25 \)، فإن \( 3\sqrt{3} > 5 \).
ج) استنتاج \( \sqrt{Y} \):
\[ \sqrt{Y} = \sqrt{(5 - 3\sqrt{3})^2} = |5 - 3\sqrt{3}| \]من السؤال السابق، نعلم أن \( 3\sqrt{3} > 5 \)، إذن \( 5 - 3\sqrt{3} \) هو عدد سالب.
وبالتالي: \( |5 - 3\sqrt{3}| = -(5 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 5 \).
2) نعتبر العددين \( a = 8 - 3\sqrt{7} \) و \( b = 8 + 3\sqrt{7} \).
أ) بين أن \( a \) هو مقلوب \( b \).
ب) حدد إشارة العدد \( a \).
ج) قارن العددين \( a \) و \( b \).
د) استنتج مقارنة لـ \( -3a + 4 \) و \( -3b + 4 \).
أ) \( a \) مقلوب \( b \):
\[ a \times b = (8 - 3\sqrt{7})(8 + 3\sqrt{7}) = 8^2 - (3\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1 \]بما أن جداءهما يساوي 1، فإن أحدهما هو مقلوب الآخر.
ب) إشارة \( a \):
لمعرفة إشارة \( a = 8 - 3\sqrt{7} \)، نقارن 8 و \(3\sqrt{7}\).
نربع العددين: \( 8^2 = 64 \) و \( (3\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63 \).
بما أن \( 64 > 63 \)، فإن \( 8 > 3\sqrt{7} \)، وبالتالي \( 8 - 3\sqrt{7} > 0 \). إذن العدد \(a\) موجب.
ج) مقارنة \( a \) و \( b \):
الطريقة 1: نحسب الفرق \( b - a = (8 + 3\sqrt{7}) - (8 - 3\sqrt{7}) = 6\sqrt{7} \). بما أن \( 6\sqrt{7} > 0 \)، فإن \( b > a \).
الطريقة 2: بما أن \(a\) و \(b\) موجبان و \(a = 1/b\)، و \(b = 8+3\sqrt{7} > 1\)، فإن مقلوبه \(a\) سيكون أصغر من 1. إذن \( a < b \).
د) مقارنة \( -3a + 4 \) و \( -3b + 4 \):
نبدأ من \( a < b \).
نضرب في عدد سالب (-3)، فنغير اتجاه المتباينة: \( -3a > -3b \).
نضيف 4 للطرفين: \( -3a + 4 > -3b + 4 \).