1) قارن العددين \(3\sqrt{6}\) و \(2\sqrt{11}\).
2) استنتج مقارنة للعددين \(\frac{-1}{7+3\sqrt{6}}\) و \(\frac{-1}{7+2\sqrt{11}}\).
1) لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
2) ابدأ من نتيجة المقارنة السابقة. أضف 7 للطرفين، ثم خذ المقلوب (اعكس الاتجاه)، ثم اضرب في -1 (اعكس الاتجاه مرة أخرى).
1) احسب \((3\sqrt{6})^2\) و \((2\sqrt{11})^2\) وقارن.
2) انطلاقاً من \(3\sqrt{6} > 2\sqrt{11}\):
\(\implies 7+3\sqrt{6} > 7+2\sqrt{11}\)
\(\implies \frac{1}{7+3\sqrt{6}} < \frac{1}{7+2\sqrt{11}}\)
\(\implies \frac{-1}{7+3\sqrt{6}} > \frac{-1}{7+2\sqrt{11}}\)
1) \((3\sqrt{6})^2=54\) و \((2\sqrt{11})^2=44\). بما أن \(54>44\), فإن \(3\sqrt{6}>2\sqrt{11}\).
2) بما أن \(3\sqrt{6}>2\sqrt{11}\), فإن \(7+3\sqrt{6}>7+2\sqrt{11}\). بأخذ المقلوب نعكس الترتيب: \(\frac{1}{7+3\sqrt{6}} < \frac{1}{7+2\sqrt{11}}\). بضرب الطرفين في -1 نعكس الترتيب مرة أخرى: \[\frac{-1}{7+3\sqrt{6}} > \frac{-1}{7+2\sqrt{11}}\]
ليكن a و b عددين حقيقيين حيث \(a \le b\).
أ) قارن بين \(-\frac{2}{3}a\) و \(-\frac{2}{3}b\).
ب) استنتج مقارنة \(-\frac{2}{3}a+3\sqrt{6}\) و \(-\frac{2}{3}b+2\sqrt{11}\).
أ) اضرب المتباينة \(a \le b\) في \(-\frac{2}{3}\) وتذكر قاعدة الضرب في عدد سالب.
ب) استخدم نتيجة (أ) ونتيجة مقارنة \(3\sqrt{6}\) و \(2\sqrt{11}\) من التمرين السابق، ثم اجمع المتباينتين.
أ) \(a \le b \implies -\frac{2}{3}a \ge -\frac{2}{3}b\).
ب) لدينا \(-\frac{2}{3}a \ge -\frac{2}{3}b\) (متباينة 1) و \(3\sqrt{6} > 2\sqrt{11}\) (متباينة 2). بجمع المتباينتين (لهما نفس الاتجاه \(\ge\) و \(>\)): \(-\frac{2}{3}a+3\sqrt{6} > -\frac{2}{3}b+2\sqrt{11}\).
أ) بما أننا نضرب طرفي المتباينة \(a \le b\) في عدد سالب (\(-\frac{2}{3}\)), فإننا نعكس اتجاه الترتيب: \(-\frac{2}{3}a \ge -\frac{2}{3}b\).
ب) لدينا من التمرين السابق أن \(3\sqrt{6} > 2\sqrt{11}\). الآن نجمع المتباينتين: \((-\frac{2}{3}a) + (3\sqrt{6}) > (-\frac{2}{3}b) + (2\sqrt{11})\). إذن \[-\frac{2}{3}a+3\sqrt{6} > -\frac{2}{3}b+2\sqrt{11}\]
نعتبر العددين \(a=2\sqrt{7}-5\) و \(b=3\sqrt{5}-4\).
أ) قارن العددين \(2\sqrt{7}\) و \(3\sqrt{5}\).
ب) استنتج مقارنة للعددين a و b.
أ) قارن مربعيهما.
ب) ادرس إشارة الفرق \(a-b\). ستستخدم نتيجة المقارنة من (أ).
أ) قارن \((2\sqrt{7})^2\) بـ \((3\sqrt{5})^2\).
ب) \(a-b = (2\sqrt{7}-5)-(3\sqrt{5}-4) = 2\sqrt{7}-3\sqrt{5}-1\). بما أن \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\), فإن \(2\sqrt{7}-3\sqrt{5}\) سالب, وبإضافة -1 يبقى سالبًا.
أ) \((2\sqrt{7})^2 = 28\) و \((3\sqrt{5})^2 = 45\). بما أن \(28 < 45\), فإن \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\).
ب) \(a-b = 2\sqrt{7}-5-3\sqrt{5}+4 = (2\sqrt{7}-3\sqrt{5})-1\). بما أن \(2\sqrt{7} < 3\sqrt{5}\), فإن \(2\sqrt{7}-3\sqrt{5}\) عدد سالب. وبطرح 1 منه، يبقى الفرق سالبًا قطعًا. إذن \(a-b<0\), وبالتالي \(a<b\).
ليكن c و d بحيث: \(c=a-b\) و \(d=-a-b\). قارن c و d.
ادرس إشارة الفرق \(c-d\). ستجد أنه يعتمد على العدد a. حدد إشارة a أولاً.
\(c-d = (a-b)-(-a-b) = a-b+a+b = 2a\). إذن, إشارة \(c-d\) هي نفس إشارة a. قارن \(2\sqrt{7}\) بـ 5 لتحديد إشارة a.
نحسب الفرق \(c-d\): \[c-d = (a-b)-(-a-b) = 2a = 2(2\sqrt{7}-5)\]
لتحديد إشارة \(c-d\), ندرس إشارة a. نقارن \(2\sqrt{7}\) و 5. لدينا \((2\sqrt{7})^2=28\) و \(5^2=25\). بما أن \(28>25\), فإن \(2\sqrt{7}>5\), إذن \(a>0\).
وبالتالي \(c-d=2a\) هو عدد موجب, إذن \(c > d\).