أ) قارن 5 و \(2\sqrt{5}\).
ب) استنتج مقارنة لـ: \(7\) و \(2\sqrt{5}+2\) ؛ \(\frac{1}{7}\) و \(\frac{1}{2\sqrt{5}+2}\) ؛ \(49\) و \(24+8\sqrt{5}\).
أ) لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
ب) ابدأ من نتيجة المقارنة في (أ) وطبق قواعد الترتيب: الإضافة، المقلوب، والتربيع.
أ) قارن \(5^2\) بـ \((2\sqrt{5})^2\).
ب) انطلاقاً من \(5 > 2\sqrt{5}\): أضف 2 للطرفين، ثم خذ المقلوب (اعكس الاتجاه)، ثم ربع الطرفين.
أ) \(5^2=25\) و \((2\sqrt{5})^2=20\). بما أن \(25>20\), فإن \(5 > 2\sqrt{5}\).
ب)
• \(5 > 2\sqrt{5} \implies 5+2 > 2\sqrt{5}+2 \implies 7 > 2\sqrt{5}+2\).
• بما أن الطرفين موجبان, المقلوب يعكس الترتيب: \(\frac{1}{7} < \frac{1}{2\sqrt{5}+2}\).
• بتربيع طرفي \(7 > 2\sqrt{5}+2\), نحصل على \(7^2 > (2\sqrt{5}+2)^2 \implies 49 > 20+8\sqrt{5}+4 \implies 49 > 24+8\sqrt{5}\).
ليكن a و b عددين حقيقيين بحيث \(a=1-\sqrt{6}\) و \(b=\sqrt{2}-\sqrt{3}\).
أ) بين أن a و b عددان سالبان.
ب) قارن \(a^2\) و \(b^2\).
ج) استنتج مقارنة a و b.
أ) قارن مربعات الأعداد لتحديد إشارة كل فرق.
ب) احسب \(a^2\) و \(b^2\) باستخدام المتطابقات الهامة ثم قارنهما.
ج) بما أن a و b سالبان, فإن ترتيبهما يكون عكس ترتيب مربعيهما.
أ) \(1<6 \implies 1<\sqrt{6} \implies a<0\). \(2<3 \implies \sqrt{2}<\sqrt{3} \implies b<0\).
ب) \(a^2=1-2\sqrt{6}+6=7-2\sqrt{6}\). \(b^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}\). بما أن 7>5, فإن \(a^2>b^2\).
ج) بما أن a, b سالبان و \(a^2>b^2\), فإن \(a<b\).
أ) \(1^2=1 < (\sqrt{6})^2=6 \implies 1<\sqrt{6} \implies a<0\).
\((\sqrt{2})^2=2 < (\sqrt{3})^2=3 \implies \sqrt{2}<\sqrt{3} \implies b<0\).
ب) \(a^2=7-2\sqrt{6}\). \(b^2=5-2\sqrt{6}\). بما أن \(7>5\), فإن \(7-2\sqrt{6} > 5-2\sqrt{6}\), إذن \(a^2>b^2\).
ج) بما أن a و b سالبان و \(a^2>b^2\), فإن ترتيبهما ينعكس, إذن \(a<b\).
نعتبر العددين \(a=2\sqrt{5}+4\) و \(b=5\sqrt{2}+7\).
أ) قارن العددين \(2\sqrt{5}\) و \(5\sqrt{2}\).
ب) قارن العددين \(\frac{-3}{5+2\sqrt{5}}\) و \(\frac{-3}{5+5\sqrt{2}}\).
ج) قارن العددين a و b.
أ) قارن مربعيهما.
ب) انطلق من نتيجة (أ), أضف 5, خذ المقلوب, ثم اضرب في -3.
ج) ادرس إشارة الفرق \(b-a\).
أ) \((2\sqrt{5})^2=20\) و \((5\sqrt{2})^2=50\). إذن \(2\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
ب) \(5+2\sqrt{5} < 5+5\sqrt{2} \implies \frac{1}{5+2\sqrt{5}} > \frac{1}{5+5\sqrt{2}} \implies \frac{-3}{5+2\sqrt{5}} < \frac{-3}{5+5\sqrt{2}}\).
ج) \(b-a = (5\sqrt{2}+7)-(2\sqrt{5}+4) = 5\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3\). بما أن \(5\sqrt{2}>2\sqrt{5}\), فإن الفرق موجب, إذن \(b>a\).
أ) \((2\sqrt{5})^2=20 < (5\sqrt{2})^2=50\), إذن \(2\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
ب) \(5+2\sqrt{5} < 5+5\sqrt{2} \implies \frac{1}{5+2\sqrt{5}} > \frac{1}{5+5\sqrt{2}} \implies \frac{-3}{5+2\sqrt{5}} < \frac{-3}{5+5\sqrt{2}}\).
ج) \(b-a = 5\sqrt{2}-2\sqrt{5}+3\). بما أن \(5\sqrt{2} > 2\sqrt{5}\), فإن \(5\sqrt{2}-2\sqrt{5} > 0\). إذن \(b-a\) موجب, وبالتالي \(b>a\).
د) ليكن c و d بحيث: \(c=2b-a\) و \(d=2a-b\). قارن c و d.
ادرس إشارة الفرق \(c-d\). ستجد أنه يعتمد على الفرق \(b-a\) الذي تعرف إشارته من السؤال السابق.
\(c-d = (2b-a) - (2a-b) = 2b-a-2a+b = 3b-3a = 3(b-a)\). بما أن \(b>a\), فإن \(b-a\) موجب. إذن \(c-d\) موجب.
نحسب الفرق \(c-d\):
\[c-d = (2b-a) - (2a-b) = 3b-3a = 3(b-a)\]
من السؤال السابق (ج), نعلم أن \(b > a\), أي أن \(b-a\) هو عدد موجب.
إذن \(c-d = 3 \times (\text{عدد موجب})\), فهو موجب. وبالتالي \(c > d\).
ليكن العدد الحقيقي \(p=5\sqrt{2}-7\).
أ) بين أن p هو مقلوب b.
ب) استنتج مقارنة للعددين \(5\sqrt{2}\) و 7.
أ) احسب الجداء \(p \times b\) باستخدام المتطابقة الهامة.
ب) بما أن b موجب (مجموع عددين موجبين), فإن مقلوبه p يجب أن يكون موجبًا أيضًا. هذا يخبرك عن إشارة \(5\sqrt{2}-7\).
أ) \(p \times b = (5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2\).
ب) بما أن p موجب, فإن \(5\sqrt{2}-7>0\).
أ) \(p \times b = (5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 50-49=1\). إذن p مقلوب b.
ب) بما أن \(b=5\sqrt{2}+7\) هو عدد موجب, فإن مقلوبه p يجب أن يكون موجبًا أيضًا. إذن \(p > 0 \implies 5\sqrt{2}-7 > 0 \implies 5\sqrt{2} > 7\).