نعتبر العددين الحقيقيين: \(a=2-\sqrt{3}\) و \(b=2+\sqrt{3}\).
1) بين أن a مقلوب b.
2) قارن a و 1 ثم قارن b و \(2\sqrt{3}\).
3) بين أن \(a^2=7-4\sqrt{3}\) و \(b^2=7+4\sqrt{3}\).
4) قارن \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{b}{a}\).
1) لإثبات أن a مقلوب b، احسب جداءهما \(a \times b\).
2) لمقارنة عددين، ادرس إشارة فرقهما أو قارن مربعيهما إذا كانا موجبين.
3) استخدم المتطابقات الهامة.
4) استخدم نتيجة مقارنة a و b من السؤال (2).
1) \(a \times b = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 1\).
2) قارن 2 بـ \(\sqrt{3}\) لتحديد علامة a. ثم قارن مربعي b و \(2\sqrt{3}\).
3) انشر المربعات باستخدام \((x \pm y)^2\).
4) بما أن a و b موجبان، إذا كان \(a<b\) فإن \(a/b < 1\) و \(b/a > 1\).
1) \(a \times b = 4 - 3 = 1\), إذن a مقلوب b.
2) \(2^2=4 > (\sqrt{3})^2=3 \implies 2>\sqrt{3} \implies a>0\). \(a-1 = 1-\sqrt{3} < 0\), إذن \(a<1\).
\(b^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}\). \((2\sqrt{3})^2 = 12\). المقارنة ليست مباشرة.
3) \(a^2 = 4-4\sqrt{3}+3 = 7-4\sqrt{3}\). \(b^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}\).
4) بما أن \(a<1\) و \(b=1/a\), فإن \(b>1\). إذن \(a<b\). وبالتالي \(\frac{a}{b} < 1 < \frac{b}{a}\).
نعتبر العددين \(a=(2+\sqrt{3})^2\) و \(b=7+3\sqrt{5}\).
1) بين أن \(a=7+4\sqrt{3}\).
2) قارن العددين \(4\sqrt{3}\) و \(3\sqrt{5}\) ثم استنتج أن \(b<a\).
1) انشر المربع باستخدام المتطابقة الهامة.
2) لمقارنة الجذور، قارن مربعاتها. لمقارنة a و b، استخدم نتيجة مقارنة الجذور.
1) \(a = 2^2+2(2)\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3\).
2) قارن \((4\sqrt{3})^2\) بـ \((3\sqrt{5})^2\). بما أن \(a=7+4\sqrt{3}\) و \(b=7+3\sqrt{5}\), فالمقارنة تعتمد على مقارنة \(4\sqrt{3}\) و \(3\sqrt{5}\).
1) \(a = (2+\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}\).
2) \((4\sqrt{3})^2=48\) و \((3\sqrt{5})^2=45\). بما أن \(48 > 45\), فإن \(4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}\).
إذن \(7+4\sqrt{3} > 7+3\sqrt{5}\), مما يعني أن \(a>b\).
3) قارن العددين \(-\pi a + \frac{4}{7}\) و \(-\pi b + \frac{5}{2}\).
ابدأ من المتباينة \(a > b\). اضرب في \(-\pi\) (عدد سالب). ثم قارن الحدين المضافين \(\frac{4}{7}\) و \(\frac{5}{2}\). اجمع المتباينتين.
1. لدينا \(a>b \implies -\pi a < -\pi b\).
2. لدينا \(\frac{4}{7} < \frac{5}{2}\) (لأن \(8 < 35\)).
3. بجمع المتباينتين (لهما نفس الاتجاه): \(-\pi a + \frac{4}{7} < -\pi b + \frac{5}{2}\).
لدينا \(a > b\). بضرب الطرفين في \(-\pi\) (عدد سالب)، نعكس اتجاه المتباينة: \(-\pi a < -\pi b\).
ولدينا \(\frac{4}{7} = \frac{8}{14}\) و \(\frac{5}{2} = \frac{35}{14}\). بما أن \(8 < 35\)، فإن \(\frac{4}{7} < \frac{5}{2}\).
بجمع المتباينتين طرفًا بطرف: \[-\pi a + \frac{4}{7} < -\pi b + \frac{5}{2}\]
4) نعتبر العدد \(c=7-4\sqrt{3}\).
أ) بين أن c عدد موجب.
ب) بين أن a و c مقلوبان.
ج) استنتج أن \(bc < 1\).
أ) قارن \(7^2\) بـ \((4\sqrt{3})^2\).
ب) احسب الجداء \(a \times c\).
ج) استخدم نتيجة أن \(b<a\) و \(c=1/a\).
أ) \(7^2=49\), \((4\sqrt{3})^2=48\). بما أن \(49>48\), c موجب.
ب) \(a \times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})=49-48=1\).
ج) لدينا \(b<a\). نضرب الطرفين في c (موجب): \(bc < ac\). بما أن \(ac=1\), فإن \(bc < 1\).
أ) \(7^2=49 > (4\sqrt{3})^2=48\), إذن c موجب.
ب) \(a \times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})=1\), إذن a مقلوب c.
ج) لدينا \(b<a\). بضرب الطرفين في c (وهو موجب), نحافظ على الترتيب: \(bc < ac\). بما أن \(ac=1\), فإن \(bc < 1\).
5) بين أن \(\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+2}\) عدد صحيح طبيعي.
استخدم حقيقة أن a و c مقلوبان. ما الذي يساوي \(\frac{1}{a}\)؟ وما الذي يساوي \(\frac{1}{c}\)؟ عوض داخل الجذر وبسّط.
بما أن a و c مقلوبان, فإن \(\frac{1}{a}=c\) و \(\frac{1}{c}=a\).
إذن التعبير يصبح \(\sqrt{c+a+2}\).
احسب \(a+c\) ثم أضف 2 واحسب الجذر.
لدينا \(\frac{1}{a}=c\) و \(\frac{1}{c}=a\).
\[\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+2} = \sqrt{c+a+2}\]
نحسب \(a+c = (7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) = 14\).
\[\sqrt{14+2} = \sqrt{16} = 4\]
والعدد 4 هو عدد صحيح طبيعي.