نعتبر العدد الحقيقي: \(a=\sqrt{50}-\sqrt{8}(\sqrt{2}+1)\).
1) أثبت أن \(a=3\sqrt{2}-4\).
2) أثبت أن a عدد موجب.
1) بسّط الجذور \(\sqrt{50}\) و \(\sqrt{8}\) ثم انشر القوس.
2) لتحديد إشارة a، قارن \(3\sqrt{2}\) و 4 عن طريق تربيع الطرفين.
1) \(a = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 5\sqrt{2} - (2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot1) = 5\sqrt{2} - (4+2\sqrt{2})\).
2) قارن \((3\sqrt{2})^2\) بـ \(4^2\).
1) \(a = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 5\sqrt{2} - 4 - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}-4\).
2) لدينا \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\) و \(4^2 = 16\). بما أن \(18 > 16\)، فإن \(3\sqrt{2} > 4\). إذن \(a=3\sqrt{2}-4\) هو عدد موجب.
نعتبر العددين \(X=\frac{7}{\sqrt{2}+1}\) و \(Y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\).
أ) بين أن \(X-Y=2a\).
ب) قارن \(X^{-2}\) و \(Y^{-2}\).
أ) لتبسيط X و Y، اضرب كل منهما في مرافق مقامه (Rationalize). ثم احسب الفرق.
ب) \(X^{-2}\) هو \(\frac{1}{X^2}\). قارن X و Y أولاً، ثم استنتج مقارنة مربعيهما، ثم مقلوبيهما.
أ) \(X = \frac{7(\sqrt{2}-1)}{1} = 7\sqrt{2}-7\). \(Y = \frac{1(\sqrt{2}+1)}{1} = \sqrt{2}+1\).
\(X-Y = (7\sqrt{2}-7) - (\sqrt{2}+1) = 6\sqrt{2}-8 = 2(3\sqrt{2}-4) = 2a\).
ب) لمقارنة X و Y، ندرس إشارة فرقهما \(X-Y=2a\). بما أن a موجب، فإن X>Y. بما أن X و Y موجبان و X>Y، فإن \(X^2 > Y^2\)، وبالتالي \(\frac{1}{X^2} < \frac{1}{Y^2}\).
أ) \(X = \frac{7(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 7\sqrt{2}-7\). \(Y = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1\).
\(X-Y = (7\sqrt{2}-7) - (\sqrt{2}+1) = 6\sqrt{2}-8 = 2(3\sqrt{2}-4) = 2a\).
ب) بما أن a موجب، فإن \(X-Y=2a\) موجب، إذن \(X > Y\). بما أن X و Y موجبان، فإن \(X^2 > Y^2\). بأخذ المقلوب، نعكس الترتيب: \(\frac{1}{X^2} < \frac{1}{Y^2}\)، أي \(X^{-2} < Y^{-2}\).
نعتبر العدد الحقيقي: \(a=2\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)-4\).
أ) بين أن \(a=6-2\sqrt{5}\).
ب) قارن العددين 6 و \(2\sqrt{5}\).
ج) استنتج علامة a.
أ) انشر العبارة.
ب) قارن مربعيهما.
ج) استخدم نتيجة المقارنة السابقة لتحديد إشارة الفرق.
أ) \(a = 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} - 2\sqrt{5}\cdot1 - 4 = 10 - 2\sqrt{5} - 4\).
ب) قارن \(6^2\) بـ \((2\sqrt{5})^2\).
ج) إذا كان \(6 > 2\sqrt{5}\), فإن \(6-2\sqrt{5}\) موجب.
أ) \(a = 2(5) - 2\sqrt{5} - 4 = 10 - 2\sqrt{5} - 4 = 6-2\sqrt{5}\).
ب) \(6^2=36\) و \((2\sqrt{5})^2=20\). بما أن \(36>20\), فإن \(6 > 2\sqrt{5}\).
ج) بما أن \(6 > 2\sqrt{5}\), فإن \(a=6-2\sqrt{5}\) هو عدد موجب.
ليكن العدد الحقيقي \(b=\sqrt{245}-\sqrt{45}\).
أ) بين أن \(b=4\sqrt{5}\).
بسّط كل جذر على حدة. لاحظ أن 245 و 45 كلاهما من مضاعفات 5. ابحث عن أكبر مربع كامل يقسمهما.
\(\sqrt{245}=\sqrt{49 \times 5}=7\sqrt{5}\).
\(\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}=3\sqrt{5}\).
احسب الفرق بينهما.
b = \sqrt{49 \times 5} - \sqrt{9 \times 5} = 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}
ب) بين أن \(\frac{b-a}{\sqrt{5}-1}\) عدد صحيح طبيعي.
أولاً، احسب الفرق \(b-a\). ثم، لتبسيط الكسر، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام \((\sqrt{5}+1)\).
1. \(b-a = 4\sqrt{5} - (6-2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}-6 = 6(\sqrt{5}-1)\).
2. \(\frac{b-a}{\sqrt{5}-1} = \frac{6(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1}\).
3. اختزل بالعامل المشترك.
نحسب البسط أولاً:
\[b-a = 4\sqrt{5} - (6-2\sqrt{5}) = 4\sqrt{5}-6+2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}-6 = 6(\sqrt{5}-1)\]
الآن نعوض في الكسر:
\[\frac{b-a}{\sqrt{5}-1} = \frac{6(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1} = 6\]
بما أن 6 عدد صحيح طبيعي، فقد تم إثبات المطلوب.