نعتبر العددين الحقيقيين: \(a=3+\sqrt{162}-10\sqrt{2}\) و \(b=\sqrt{3}\).
أ) بين أن \(a=3-\sqrt{2}\).
ب) ما هي علامة العدد a؟ علل جوابك.
أ) بسّط الجذر \(\sqrt{162}\) بالبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 162 (تلميح: 162 = 81 × 2).
ب) لتحديد علامة \(3-\sqrt{2}\)، قارن 3 و \(\sqrt{2}\) عن طريق تربيع الطرفين.
أ) \(\sqrt{162}=\sqrt{81 \times 2}=9\sqrt{2}\). عوض في عبارة a واجمع الحدود المتشابهة.
ب) قارن \(3^2\) بـ \((\sqrt{2})^2\). إذا كانت \(3^2 > (\sqrt{2})^2\)، فإن \(3 > \sqrt{2}\) و a موجب.
أ) \(a=3+\sqrt{81 \times 2}-10\sqrt{2} = 3+9\sqrt{2}-10\sqrt{2} = 3-\sqrt{2}\).
ب) نقارن 3 و \(\sqrt{2}\). لدينا \(3^2=9\) و \((\sqrt{2})^2=2\). بما أن \(9 > 2\)، فإن \(3 > \sqrt{2}\). إذن \(a=3-\sqrt{2}\) هو عدد موجب.
أ) بين أن \(a^2-b^2=2(4-3\sqrt{2})\).
ب) قارن العددين 4 و \(3\sqrt{2}\).
ج) استنتج أن \(a < b\).
أ) احسب \(a^2\) و \(b^2\) ثم احسب فرقهما.
ب) قارن مربعيهما.
ج) استنتج إشارة \(a^2-b^2\) من السؤال (ب). بما أن a و b موجبان، فإن ترتيبهما يتبع ترتيب مربعيهما.
أ) \(a^2=(3-\sqrt{2})^2=9-6\sqrt{2}+2=11-6\sqrt{2}\). \(b^2=(\sqrt{3})^2=3\).
\(a^2-b^2 = 11-6\sqrt{2}-3 = 8-6\sqrt{2} = 2(4-3\sqrt{2})\).
ب) قارن \(4^2\) بـ \((3\sqrt{2})^2\).
ج) إذا كان \(4 < 3\sqrt{2}\), فإن \(4-3\sqrt{2}\) سالب, وبالتالي \(a^2-b^2\) سالب, أي \(a^2 < b^2\).
أ) \(a^2=(3-\sqrt{2})^2=11-6\sqrt{2}\). \(b^2=3\).
\(a^2-b^2 = 11-6\sqrt{2}-3 = 8-6\sqrt{2} = 2(4-3\sqrt{2})\).
ب) \(4^2=16\) و \((3\sqrt{2})^2=18\). بما أن \(16 < 18\), فإن \(4 < 3\sqrt{2}\).
ج) بما أن \(4 < 3\sqrt{2}\), فإن \(4-3\sqrt{2}\) سالب. إذن \(a^2-b^2\) سالب, مما يعني \(a^2 < b^2\). بما أن a و b موجبان, فإن \(a < b\).
3) رتب تصاعديا 1 و \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{b}{a}\).
استخدم نتيجة المقارنة من السؤال السابق (\(a < b\)). بما أن a و b موجبان, ماذا يمكنك أن تقول عن مقارنة \(\frac{a}{b}\) بالعدد 1؟ وماذا عن مقلوبه \(\frac{b}{a}\)؟
1. لدينا \(a < b\) و هما موجبان.
2. بقسمة الطرفين على b (موجب), نحصل على \(\frac{a}{b} < 1\).
3. بما أن \(\frac{a}{b} < 1\), فإن مقلوبه \(\frac{b}{a} > 1\).
4. نجمع النتائج لترتيب الأعداد الثلاثة.
لدينا من السؤال السابق أن \(a < b\) و أن a و b موجبان.
بقسمة طرفي المتباينة على b (وهو موجب), نحافظ على الترتيب: \(\frac{a}{b} < \frac{b}{b} \implies \frac{a}{b} < 1\).
بما أن \(\frac{a}{b}\) عدد موجب أصغر من 1, فإن مقلوبه \(\frac{b}{a}\) سيكون أكبر من 1. أي \(\frac{b}{a} > 1\).
إذن، الترتيب التصاعدي (من الأصغر إلى الأكبر) هو: \[\frac{a}{b} < 1 < \frac{b}{a}\]