نعتبر الأعداد التالية: \(a=\sqrt{50}+\sqrt{18}\) ؛ \(b=\sqrt{27}+\sqrt{48}\) ؛ \(c=5\sqrt{5}\) ؛ \(d=2\sqrt{31}\).
1) بين أن \(a=8\sqrt{2}\) وأن \(b=7\sqrt{3}\).
لبسط الجذور، ابحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد تحت الجذر. مثال: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2}\).
لتبسيط a: \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) و \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). اجمع الحدين.
لتبسيط b: \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) و \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). اجمع الحدين.
a = \sqrt{25 \times 2} + \sqrt{9 \times 2} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
b = \sqrt{9 \times 3} + \sqrt{16 \times 3} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
2) رتب تنازليا الأعداد: a و b و c و d.
3) اختصر العبارة \(E = |d+a|-2d\).
2) لمقارنة الأعداد الموجبة، قارن مربعاتها. \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(d^2\).
3) بما أن a و d موجبان، فإن \(d+a\) موجب، وبالتالي قيمته المطلقة هي نفسه.
2) احسب \(a^2=(8\sqrt{2})^2=128\), \(b^2=(7\sqrt{3})^2=147\), \(c^2=(5\sqrt{5})^2=125\), \(d^2=(2\sqrt{31})^2=124\). رتب المربعات تنازليًا ثم استنتج ترتيب الأعداد.
3) \(E = |d+a|-2d = d+a-2d = a-d\).
2) الترتيب التنازلي:
\(a^2=128\), \(b^2=147\), \(c^2=125\), \(d^2=124\).
بما أن \(147 > 128 > 125 > 124\), فإن \(b^2 > a^2 > c^2 > d^2\).
وبما أن الأعداد موجبة، فإن الترتيب هو: \(b > a > c > d\).
3) اختصار E:
\(E = |d+a|-2d\). بما أن a و d موجبان، فإن \(d+a > 0\).
إذن \(E = (d+a) - 2d = a-d = 8\sqrt{2} - 2\sqrt{31}\).
4) ليكن x و y عددين حقيقيين حيث \(x \ge y\).
أ) قارن: \(-\frac{3}{2}x+7\sqrt{3}\) و \(-\frac{3}{2}y+8\sqrt{2}\).
ابدأ من \(x \ge y\). اضرب الطرفين في \(-\frac{3}{2}\) (تذكر عكس الاتجاه). ثم قارن الحدين المضافين \(7\sqrt{3}\) و \(8\sqrt{2}\). أخيرًا، اجمع المتباينتين.
1. لدينا \(x \ge y \implies -\frac{3}{2}x \le -\frac{3}{2}y\). (متباينة 1)
2. لدينا \(7\sqrt{3} < 8\sqrt{2}\) (لأن \(b < a\)). (متباينة 2)
3. لا يمكن جمع المتباينتين لأنهما في اتجاهين مختلفين. لا يمكن الاستنتاج مباشرة.
لدينا \(x \ge y\). بضرب الطرفين في \(-\frac{3}{2}\) (عدد سالب)، نعكس اتجاه المتباينة:
\[-\frac{3}{2}x \le -\frac{3}{2}y\]
من جهة أخرى، لدينا من السؤال 2 أن \(a > b\), أي \(8\sqrt{2} > 7\sqrt{3}\).
لدينا متباينتان باتجاهين مختلفين (\(\le\) و \(>\)). لذلك، لا يمكننا جمعهما لاستنتاج مقارنة مؤكدة بين \((-\frac{3}{2}x+7\sqrt{3})\) و \((-\frac{3}{2}y+8\sqrt{2})\) دون معلومات إضافية عن x و y.
ب) قارن: \((\sqrt{5}-3)x-\pi\) و \((\sqrt{5}-3)y-\pi\).
ابدأ من \(x \ge y\). اضرب الطرفين في العامل \((\sqrt{5}-3)\). لتحديد ما إذا كنت ستعكس اتجاه المتباينة، يجب أن تعرف إشارة هذا العامل.
1. حدد إشارة العامل \((\sqrt{5}-3)\) بمقارنة \(\sqrt{5}\) و 3.
2. اضرب طرفي المتباينة \(x \ge y\) في هذا العامل.
3. أضف \(-\pi\) إلى الطرفين.
لدينا \(x \ge y\).
لندرس إشارة العامل \((\sqrt{5}-3)\). نقارن \(\sqrt{5}\) و 3. لدينا \((\sqrt{5})^2=5\) و \(3^2=9\). بما أن \(5 < 9\)، فإن \(\sqrt{5} < 3\). إذن، \((\sqrt{5}-3)\) هو عدد سالب.
عند ضرب طرفي المتباينة \(x \ge y\) في عدد سالب، نعكس اتجاهها:
\[(\sqrt{5}-3)x \le (\sqrt{5}-3)y\]
بإضافة \(-\pi\) للطرفين (لا يغير الاتجاه):
\[(\sqrt{5}-3)x-\pi \le (\sqrt{5}-3)y-\pi\]