أ) قارن العددين \(2\sqrt{3}\) و \(\sqrt{10}\).
ب) استنتج مقارنة للعددين \(-5\sqrt{3}\) و \(\sqrt{3}-3\sqrt{10}\).
أ) لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
ب) حاول بناء المقارنة المطلوبة انطلاقاً من نتيجة السؤال (أ).
أ) احسب \((2\sqrt{3})^2\) و \((\sqrt{10})^2\) وقارن.
ب) ابدأ من \(2\sqrt{3} > \sqrt{10}\). اضرب الطرفين في -3 (تذكر عكس الاتجاه). ثم أضف \(\sqrt{3}\) للطرفين. أخيرًا، قارن \(\sqrt{3}-5\sqrt{3}\) بـ \(\sqrt{3}-3\sqrt{10}\).
أ) \((2\sqrt{3})^2=12\) و \((\sqrt{10})^2=10\). بما أن \(12>10\)، فإن \(2\sqrt{3} > \sqrt{10}\).
ب) لدينا \(2\sqrt{3} > \sqrt{10}\). نضرب في -3 (سالب) فنعكس الترتيب: \(-6\sqrt{3} < -3\sqrt{10}\). نضيف \(\sqrt{3}\) للطرفين: \(\sqrt{3}-6\sqrt{3} < \sqrt{3}-3\sqrt{10}\). إذن \(-5\sqrt{3} < \sqrt{3}-3\sqrt{10}\).
نعتبر العددين \(a = \frac{\sqrt{36}+\sqrt{8}}{2}\) و \(b = \frac{3}{\sqrt{2}-1}-\frac{2}{\sqrt{2}+1}\).
أ) بين أن \(a=3+\sqrt{2}\) و \(b=5+\sqrt{2}\).
ب) قارن a و b.
أ) لتبسيط a، بسّط الجذور ثم اقسم. لتبسيط b، وحد المقامات بضرب كل كسر في مرافق مقام الآخر.
ب) لمقارنة a و b، ادرس إشارة فرقهما.
أ) \(a = \frac{6+2\sqrt{2}}{2} = 3+\sqrt{2}\).
\(b = \frac{3(\sqrt{2}+1)-2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{3\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}+2}{2-1} = \sqrt{2}+5\).
ب) \(b-a = (5+\sqrt{2})-(3+\sqrt{2}) = 2\). بما أن الفرق موجب، فإن \(b>a\).
أ) \(a = \frac{6+2\sqrt{2}}{2} = 3+\sqrt{2}\).
\(b = \frac{3(\sqrt{2}+1)-2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+5}{1} = 5+\sqrt{2}\).
ب) \(b-a = (5+\sqrt{2}) - (3+\sqrt{2}) = 2\). بما أن \(b-a = 2 > 0\), فإن \(b > a\).
ج) استنتج مقارنة لـ \(-\frac{3}{2}a+\sqrt{5}\) و \(-\frac{3}{2}b+\sqrt{3}\).
ابدأ من المتباينة \(a < b\). اضرب الطرفين في \(-\frac{3}{2}\) (تذكر عكس الاتجاه). ثم قارن الحدين المضافين \(\sqrt{5}\) و \(\sqrt{3}\). أخيرًا، اجمع المتباينتين.
1. لدينا \(a < b \implies -\frac{3}{2}a > -\frac{3}{2}b\). (متباينة 1)
2. لدينا \(\sqrt{5} > \sqrt{3}\) (لأن 5>3). (متباينة 2)
3. بجمع المتباينتين (1) و (2) طرفًا بطرف (لأنهما بنفس الاتجاه): \(-\frac{3}{2}a+\sqrt{5} > -\frac{3}{2}b+\sqrt{3}\).
لدينا \(a < b\). نضرب في \(-\frac{3}{2}\), فنعكس الترتيب: \(-\frac{3}{2}a > -\frac{3}{2}b\).
ولدينا \(\sqrt{5} > \sqrt{3}\).
بجمع المتباينتين طرفًا بطرف: \[-\frac{3}{2}a+\sqrt{5} > -\frac{3}{2}b+\sqrt{3}\]
د) استنتج مقارنة لـ \(-\frac{1}{a}+\sqrt{2}\) و \(-\frac{1}{b}+\sqrt{2}\).
ابدأ من المتباينة \(a < b\). بما أن a و b موجبان، طبق قاعدة المقلوب (عكس الاتجاه). ثم اضرب في -1 (عكس الاتجاه مرة أخرى). أخيرًا أضف \(\sqrt{2}\).
1. \(a < b\).
2. \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\) (المقلوب يعكس الترتيب).
3. \(-\frac{1}{a} < -\frac{1}{b}\) (الضرب في -1 يعكس الترتيب).
4. \(-\frac{1}{a}+\sqrt{2} < -\frac{1}{b}+\sqrt{2}\) (إضافة \(\sqrt{2}\) لا تغير الترتيب).
لدينا \(a < b\) وهما موجبان قطعا. إذن:
\[\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\]
نضرب في -1 ونعكس الترتيب:
\[-\frac{1}{a} < -\frac{1}{b}\]
نضيف \(\sqrt{2}\) للطرفين:
\[-\frac{1}{a}+\sqrt{2} < -\frac{1}{b}+\sqrt{2}\]