نعتبر العددين الحقيقيين \(a = 4 - 3\sqrt{12} + \sqrt{48}\) و \(b = (1 + \sqrt{3})^2\).
بين أن \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) و \(b = 4 + 2\sqrt{3}\).
لتبسيط \(a\)، ابدأ بتبسيط الجذور \( \sqrt{12} \) و \( \sqrt{48} \). لتبسيط \(b\)، استخدم المتطابقة الهامة \((x+y)^2\).
تبسيط a: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) و \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). عوض في التعبير.
تبسيط b: انشر \((1+\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2\).
a = 4 - 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 4 - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}
b = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}
قارن بين \(2\sqrt{3}\) و \(4\)، ثم استنتج علامة العدد \(a\).
لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما. علامة \(a\) تعتمد على نتيجة هذه المقارنة.
احسب \( (2\sqrt{3})^2 \) و \( 4^2 \). قارن النتيجتين لتحديد أي العددين أكبر، ثم استنتج إشارة الفرق \(4 - 2\sqrt{3}\).
\((2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12\). و \(4^2 = 16\). بما أن \(12 < 16\)، فإن \(2\sqrt{3} < 4\).
وبالتالي، \(4 - 2\sqrt{3}\) هو عدد موجب. إذن، علامة \(a\) موجبة.
أ) بين أن \(a \times b = 4\).
ب) استنتج أن \(\sqrt{\frac{a}{b}} = 2-\sqrt{3}\).
أ) استخدم المتطابقة الهامة \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\).
ب) بسّط الكسر \(\frac{a}{b}\) بضربه في \(\frac{a}{a}\). استخدم نتيجة الجداء \(ab\).
أ) \(a \times b = (4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2\).
ب) \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^2}{ab}} = \frac{|a|}{\sqrt{ab}}\). بما أن a موجب و ab=4، بسّط التعبير.
أ) \(a \times b = (4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3}) = 16 - 12 = 4\).
ب) \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{|a|}{2}\). بما أن \(a>0\), فإن \(|a|=a\). إذن \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{a}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}\).
ليكن العدد الحقيقي \(c=\sqrt{a}-\sqrt{b}\).
أ) بين أن العدد c سالب.
ب) احسب \(c^2\) ثم استنتج c.
لمعرفة علامة c، قارن a و b. لحساب \(c^2\)، استخدم \((x-y)^2\). ستحتاج إلى قيم \(a+b\) و \(ab\).
أ) بما أن \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(b=4+2\sqrt{3}\), من الواضح أن \(a < b\). بما أنهما موجبان، فإن \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\), وبالتالي c سالب.
ب) احسب \(c^2 = a-2\sqrt{ab}+b = (a+b)-2\sqrt{ab}\). احسب \(a+b\) و \(ab\) ثم عوض. بما أن c سالب، اختر الجذر السالب لـ \(c^2\).
أ) لدينا \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(b=4+2\sqrt{3}\), إذن \(a < b\). بما أن a و b موجبان, فإن \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\). وبالتالي \(c=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) هو عدد سالب.
ب) \(c^2 = a+b-2\sqrt{ab}\).
\(a+b = (4-2\sqrt{3}) + (4+2\sqrt{3}) = 8\).
\(ab=4\).
إذن \(c^2 = 8 - 2\sqrt{4} = 8 - 4 = 4\).
بما أن c سالب و \(c^2=4\), فإن \(c = -2\).