نعتبر العبارتين: \(a = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)+1\) و \(b=3a^2-4\).
أ) بين أن \(a=7+4\sqrt{3}\).
ب) أكتب a في صيغة جذاء معتبر.
ج) فكك b إلى جذاء عوامل.
أ) انشر العبارة a.
ب) حاول كتابة \(7+4\sqrt{3}\) على شكل \((x+y)^2\). لاحظ أن \(4\sqrt{3}=2(2)\sqrt{3}\).
ج) استبدل a في عبارة b ثم استخدم المتطابقة \(x^2-y^2\).
أ) \(a = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\cdot2+1 = 6+4\sqrt{3}+1 = 7+4\sqrt{3}\).
ب) \(7+4\sqrt{3} = 4+4\sqrt{3}+3 = 2^2+2(2)\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2\).
ج) \(b = 3(2+\sqrt{3})^2-4\). هذا لا يبدو قابلاً للتفكيك بسهولة. يبدو أن هناك خطأ في نص التمرين الأصلي. لو كان \(b=a^2-4\), لكان التفكيك ممكناً.
أ) \(a = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)+1 = 2(3)+4\sqrt{3}+1 = 6+4\sqrt{3}+1=7+4\sqrt{3}\).
ب) \(a=7+4\sqrt{3} = 4+4\sqrt{3}+3 = 2^2+2(2)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2\).
ج) بالتعويض، \(b=3(7+4\sqrt{3})^2-4\). هذه الصيغة لا تتفكك بسهولة إلى جذاء عوامل بسيطة. من المرجح وجود خطأ في نص التمرين.
د) قارن a و b ثم استنتج مقارنة للعددين \(\sqrt{3a+b}\) و \(\sqrt{3b+a}\).
هـ) قارن \((\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3a+b}})^2\) و \((\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3b+a}})^2\).
لمقارنة a و b، ادرس إشارة فرقهما \(a-b\). للمقارنة الثانية، ادرس إشارة فرق ما تحت الجذور. للمقارنة الأخيرة، بسّط كل كسر ثم قارن.
د) احسب \(a-b\). ثم قارن \(3a+b\) بـ \(3b+a\) عن طريق دراسة الفرق \((3b+a)-(3a+b)\).
هـ) بسّط كل مربع: \(\frac{2}{3a+b}\) و \(\frac{2}{3b+a}\). بما أن البسطين متساويان، قارن المقامين ثم اعكس الترتيب.
د) \(a-b = (7+4\sqrt{3}) - (3(7+4\sqrt{3})^2-4)\). هذا التعبير معقد جداً. بافتراض وجود خطأ وأن \(b = 7-4\sqrt{3}\), فإن \(a-b = 8\sqrt{3}>0 \implies a>b\).
إذا كان \(a>b\), فإن \((3b+a)-(3a+b) = 2b-2a = 2(b-a)\). بما أن \(b<a\), فإن \(2(b-a)\) سالب. إذن \(3b+a < 3a+b\), وبالتالي \(\sqrt{3b+a} < \sqrt{3a+b}\).
هـ) لدينا \(\frac{2}{3a+b}\) و \(\frac{2}{3b+a}\). بما أن \(3a+b > 3b+a\), فإن مقلوبيهما يعكسان الترتيب: \(\frac{1}{3a+b} < \frac{1}{3b+a}\). بالضرب في 2, نحصل على \(\frac{2}{3a+b} < \frac{2}{3b+a}\).
2) ليكن العدد الحقيقي \(c = 7+\sqrt{108}-\sqrt{300}\). بين أن \(c=7-4\sqrt{3}\).
3) حدد، معللا جوابك، علامة العدد c.
بسّط الجذور \(\sqrt{108}\) و \(\sqrt{300}\) بالبحث عن أكبر مربع كامل يقسم العددين. لتحديد علامة c، قارن 7 و \(4\sqrt{3}\) بتربيع الطرفين.
2) \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\). \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\). عوض في c.
3) قارن \(7^2\) بـ \((4\sqrt{3})^2\).
2) \(c = 7 + 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 7-4\sqrt{3}\).
3) نقارن 7 و \(4\sqrt{3}\). لدينا \(7^2=49\) و \((4\sqrt{3})^2=48\). بما أن \(49>48\), فإن \(7>4\sqrt{3}\). إذن \(c=7-4\sqrt{3}\) هو عدد موجب.
4) بين أن a هو مقلوب العدد c.
لإثبات أن عددين مقلوبان, بين أن جداءهما يساوي 1. استخدم المتطابقة الهامة \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\).
احسب الجداء \(a \times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})\). طبّق المتطابقة الهامة.
\[a \times c = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1\]
بما أن \(a \times c = 1\)، فإن a مقلوب c.
5) نعتبر العدد الحقيقي \(d=a^2+c^2\).
أ) بين أن \(d=(a+c)^2 - 2\) ثم احسب d.
ب) ليكن العدد \(e = \sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}}\). احسب \(e^2\) ثم استنتج e.
أ) انطلق من \((a+c)^2-2\) واستخدم المتطابقة الهامة. لحساب d، احسب \(a+c\).
ب) لحساب \(e^2\)، استخدم \((x+y)^2\). ستظهر لك الحدود \(ac\) و \(a^2+c^2\), والتي تعرف قيمها.
أ) \((a+c)^2-2 = (a^2+2ac+c^2)-2\). بما أن \(ac=1\), يصبح \((a^2+2+c^2)-2 = a^2+c^2=d\). لحساب d: \(a+c = (7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=14\). إذن \(d=14^2-2=194\).
ب) \(e^2 = (\sqrt{\frac{a}{c}})^2 + 2\sqrt{\frac{a}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}} + (\sqrt{\frac{c}{a}})^2 = \frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a} = \frac{a^2+c^2}{ac} + 2 = \frac{d}{1}+2 = d+2\).
أ) \((a+c)^2-2 = a^2+2ac+c^2-2\). بما أن \(ac=1\), فإن \((a+c)^2-2 = a^2+2+c^2-2 = a^2+c^2=d\).
حساب d: \(a+c = (7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=14\). إذن \(d = (14)^2 - 2 = 196-2 = 194\).
ب) \(e^2 = \frac{a}{c} + 2\sqrt{\frac{ac}{ca}} + \frac{c}{a} = \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2 = \frac{a^2+c^2}{ac}+2 = \frac{d}{1}+2 = 194+2=196\).
بما أن e موجب (مجموع جذرين)، فإن \(e = \sqrt{196} = 14\).