نعتبر العددين الحقيقيين \(a = 2+\sqrt{3}\) و \(b=1+\sqrt{6}\).
1) بين أن \(a^2=7+4\sqrt{3}\) و \(b^2=7+2\sqrt{6}\).
استخدم المتطابقة الهامة \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\) لحساب كل من \(a^2\) و \(b^2\).
لحساب \(a^2\): طبّق المتطابقة الهامة مع \(x=2\) و \(y=\sqrt{3}\).
لحساب \(b^2\): طبّق المتطابقة الهامة مع \(x=1\) و \(y=\sqrt{6}\).
a^2 = (2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3}
b^2 = (1+\sqrt{6})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7+2\sqrt{6}
أ) قارن \(4\sqrt{3}\) و \(2\sqrt{6}\).
ب) استنتج مقارنة لـ \(a^2\) و \(b^2\).
ج) بين أن \(a>b\).
لمقارنة الجذور، قارن مربعاتها. لمقارنة \(a^2\) و \(b^2\)، استخدم نتيجة مقارنة الجذور. بما أن a و b موجبان، فإن مقارنتهما تتبع نفس ترتيب مقارنة مربعيهما.
أ) قارن \((4\sqrt{3})^2\) و \((2\sqrt{6})^2\).
ب) بما أن \(a^2=7+4\sqrt{3}\) و \(b^2=7+2\sqrt{6}\)، فإن مقارنتهما تعتمد على مقارنة \(4\sqrt{3}\) و \(2\sqrt{6}\).
ج) بما أن \(a^2 > b^2\) و a, b موجبان، فإن \(a>b\).
أ) \((4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48\). \((2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24\). بما أن \(48 > 24\)، فإن \(4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}\).
ب) لدينا \(a^2=7+4\sqrt{3}\) و \(b^2=7+2\sqrt{6}\). بما أن \(4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}\)، فإن \(7+4\sqrt{3} > 7+2\sqrt{6}\)، إذن \(a^2 > b^2\).
ج) بما أن a و b موجبان و \(a^2 > b^2\)، فإن \(a > b\).
نعتبر مربعا \((C_1)\) قيس ضلعه \(2+\sqrt{3}\) و مربعا \((C_2)\) قيس قطره \(\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). قارن مساحتي المربعين \((C_1)\) و \((C_2)\).
مساحة المربع = الضلع². إذا كان القطر (d) معلوماً، فإن مساحة المربع هي \(d^2/2\). احسب مساحة كل مربع ثم قارن.
مساحة \((C_1)\) هي \((2+\sqrt{3})^2 = a^2 = 7+4\sqrt{3}\).
مساحة \((C_2)\) هي \(\frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2+4\sqrt{6}+12}{2} = \frac{14+4\sqrt{6}}{2} = 7+2\sqrt{6} = b^2\).
إذن المقارنة هي بين \(a^2\) و \(b^2\), والتي تمت في التمرين السابق.
مساحة \((C_1)\) = \((2+\sqrt{3})^2 = a^2 = 7+4\sqrt{3}\).
مساحة \((C_2)\) = \(\frac{(\sqrt{2}+2\sqrt{3})^2}{2} = \frac{14+4\sqrt{6}}{2} = 7+2\sqrt{6} = b^2\).
من التمرين السابق، نعلم أن \(a^2 > b^2\). إذن، مساحة المربع \((C_1)\) أكبر من مساحة المربع \((C_2)\).
نعتبر العدد \(c=2-\sqrt{3}\).
أ) بين أن c مقلوب a.
ب) استنتج مقارنة لـ c و \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\).
لإثبات أن c مقلوب a، احسب جداءهما. للمقارنة، لاحظ أن \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\) قد يكون مرتبطًا بالعدد b. حاول تبسيط \(\frac{b}{5}\).
أ) احسب \(a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\).
ب) لدينا \(a > b\). بما أن c مقلوب a و \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\) ليس له علاقة واضحة بـb، نقارن مباشرة c و \(\frac{\sqrt{6}-1}{5}\). يمكن مقارنة \(5c\) و \(\sqrt{6}-1\).
أ) المقلوب: \(a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1\). إذن c مقلوب a.
ب) المقارنة: لدينا \(a>b \implies \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \implies c < \frac{1}{1+\sqrt{6}}\). تبسيط \(\frac{\sqrt{6}-1}{5} = \frac{\sqrt{6}-1}{(\sqrt{6})^2-1^2} = \frac{1}{\sqrt{6}+1}\). إذن المطلوب هو مقارنة c بـ \(1/b\). بما أن \(a>b>0\), فإن مقلوبيهما يعكس الترتيب: \(1/a < 1/b\), أي \(c < 1/b\). إذن \(c < \frac{\sqrt{6}-1}{5}\).