ليكن \( a \) و \( b \) عددين حقيقيين بحيث \( a \leq b \).
أ) قارن \( 7a - 3b \) و \( 9a - 5b \).
ب) بيّن أن \( a \leq \frac{a + b}{2} \).
للمقارنة بين تعبيرين، فإن الطريقة الأكثر شيوعًا هي دراسة إشارة الفرق بينهما.
تذكر: إذا كان \( X - Y \geq 0 \)، فإن \( X \geq Y \).
أ) احسب الفرق \( (7a - 3b) - (9a - 5b) \). بسّط العبارة، ثم استخدم الفرضية \( a \leq b \) لتحديد إشارة الفرق.
ب) احسب الفرق \( \frac{a + b}{2} - a \). وحّد المقامات وبسّط البسط، ثم استخدم الفرضية \( a \leq b \) لتحديد إشارة الفرق.
أ) مقارنة \( 7a - 3b \) و \( 9a - 5b \):
الفرق هو \( (7a - 3b) - (9a - 5b) = 7a - 3b - 9a + 5b = -2a + 2b = 2(b - a) \).
بما أن \( a \leq b \)، فإن \( b - a \geq 0 \). إذن \( 2(b - a) \geq 0 \).
وبالتالي، \( 7a - 3b \geq 9a - 5b \).
ب) لنبين أن \( a \leq \frac{a + b}{2} \):
الفرق هو \( \frac{a + b}{2} - a = \frac{a + b - 2a}{2} = \frac{b - a}{2} \).
بما أن \( a \leq b \)، فإن \( b - a \geq 0 \)، وبالتالي \( \frac{b - a}{2} \geq 0 \).
إذن، \( a \leq \frac{a + b}{2} \).
أ) قارن \( 3\sqrt{2} \) و \( 2\sqrt{3} \).
ب) بسّط العبارة: \( A = \sqrt{(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2} - \left|3 - 2\sqrt{3}\right| \)
أ) لمقارنة عددين موجبين، قارن مربعيهما.
ب) تذكر القواعدتين: \( \sqrt{X^2} = |X| \) و \( |X| = X \) إذا كان \(X \geq 0\) و \( |X| = -X \) إذا كان \(X < 0 \).
أ) احسب \( (3\sqrt{2})^2 \) و \( (2\sqrt{3})^2 \) وقارن النتائج.
ب)
أ) مقارنة \( 3\sqrt{2} \) و \( 2\sqrt{3} \):
\( (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \).
\( (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 \).
بما أن \( 18 > 12 \)، فإن \( 3\sqrt{2} > 2\sqrt{3} \).
ب) تبسيط A:
الحد الأول: \( \sqrt{(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})^2} = |2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}| \). بما أن \( 2\sqrt{3} < 3\sqrt{2} \)، فإن الفرق سالب، إذن \( |2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}| = -(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \).
الحد الثاني: \( |3 - 2\sqrt{3}| \). نقارن \(3^2=9\) و \((2\sqrt{3})^2=12\). بما أن \( 9 < 12 \)، فإن \( 3 < 2\sqrt{3} \)، إذن الفرق سالب. \( |3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 \).
نعوض في A: \( A = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{3} - 3) = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3 = 3\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 3 \).
نعتبر العبارة \( E = \frac{2x - 9}{2 - x} \) حيث \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
أ) بيّن أن \( E = -2 - \frac{5}{2 - x} \).
ب) بيّن أنه إذا كان \( 2 < x \leq 3 \)، فإن \( E \geq 3 \).
أ) لإثبات المساواة، يمكنك الانطلاق من الطرف الثاني (\( -2 - \frac{5}{2 - x} \)) وتوحيد المقامات للوصول إلى الطرف الأول.
ب) ابدأ من الحصر المعطى \( 2 < x \leq 3 \) وقم ببناء العبارة \(E\) خطوة بخطوة، مع الانتباه لكيفية تأثير كل عملية (طرح، قلب، ضرب) على اتجاه المتباينة.
أ) نوحد المقامات: \( -2 - \frac{5}{2 - x} = \frac{-2(2-x)}{2-x} - \frac{5}{2-x} = \frac{-4 + 2x - 5}{2-x} = \dots \)
ب)
أ) تبسيط E:
\( -2 - \frac{5}{2 - x} = \frac{-2(2 - x) - 5}{2 - x} = \frac{-4 + 2x - 5}{2 - x} = \frac{2x - 9}{2 - x} \). إذن العبارتان متساويتان.
ب) إثبات أن \( E \geq 3 \):
نبدأ من الحصر: \( 2 < x \leq 3 \).
نطرح 2: \( 0 < x - 2 \leq 1 \).
نضرب في -1 (ونقلب المتباينة): \( -1 \leq -(x - 2) < 0 \)، أي \( -1 \leq 2 - x < 0 \).
بما أن \(2-x\) سالب، فإن دالة المقلوب تقلب المتباينة: \( \frac{1}{2-x} \leq -1 \).
نضرب في 5 (عدد موجب، لا يتغير الاتجاه): \( \frac{5}{2-x} \leq -5 \).
نضرب في -1 (ونقلب المتباينة): \( -\frac{5}{2-x} \geq 5 \).
نطرح 2 من الطرفين: \( -2 -\frac{5}{2-x} \geq 5 - 2 \)، مما يعطي \( E \geq 3 \).