تمارين الأعداد الجذرية - دورة 2014

تبسيط العددين a و b

تمرين 1

ليكن العددان \(a = 4 - 3\sqrt{12} + \sqrt{48}\) و \(b = (1 + \sqrt{3})^2\).

بيّن أن \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) و \(b = 4 + 2\sqrt{3}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتبسيط \(a\), ابدأ بتبسيط الجذور \( \sqrt{12} \) و \( \sqrt{48} \) على شكل \( x\sqrt{3} \).
لتبسيط \(b\), استخدم المتطابقة الهامة \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

📝 الطريقة

تبسيط a:

نبسط الجذور: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) و \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \).
نعوض في التعبير: \( a = 4 - 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} \).
نجمع الحدود المتشابهة.

تبسيط b:

نطبق المتطابقة الهامة: \( b = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \).
نحسب المربعات ونجمع الحدود.

✅ الحل الكامل

تبسيط a:

a = 4 - 3\sqrt{12} + \sqrt{48} = 4 - 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3}

a = 4 - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}

تبسيط b:

b = (1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2

b = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}

مقارنة وتحديد علامة a

تمرين 2

قارن بين \(2\sqrt{3}\) و \(4\)، ثم استنتج علامة العدد \(a = 4 - 2\sqrt{3}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمقارنة عددين موجبين يحتويان على جذور، الطريقة الأسهل هي مقارنة مربعيهما. علامة \(a\) تعتمد على نتيجة هذه المقارنة.

📝 الطريقة

لمقارنة \(4\) و \(2\sqrt{3}\), نحسب مربع كل منهما.
4^2 = 16
(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12
نقارن النتيجتين \(16\) و \(12\).
نستنتج المقارنة بين \(4\) و \(2\sqrt{3}\).
بناءً على ذلك، نحدد ما إذا كان الفرق \(4 - 2\sqrt{3}\) موجبًا أم سالبًا.

✅ الحل الكامل

لمقارنة \(4\) و \(2\sqrt{3}\), نقوم بتربيع العددين:

4^2 = 16

(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12

بما أن \(16 > 12\), فإن \(4^2 > (2\sqrt{3})^2\). وبما أن العددين موجبان، فإن \(4 > 2\sqrt{3}\).

إذن، الفرق \(4 - 2\sqrt{3}\) هو عدد موجب. وبالتالي، علامة العدد \(a\) هي موجبة (\(a > 0\)).

حساب الجداء واستنتاج النسبة

تمرين 3

بيّن أن \(a \times b = 4\) واستنتج قيمة \( \sqrt{\frac{a}{b}} \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب الجداء \(a \times b\), لاحظ أن التعبيرين على شكل متطابقة هامة: \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).

لإيجاد \( \sqrt{\frac{a}{b}} \), حاول تبسيط الكسر \( \frac{a}{b} \) أولاً بضربه في \( \frac{a}{a} \). استخدم نتيجة الجداء \(a \times b\).

📝 الطريقة

حساب \(a \times b\):

a \times b = (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})

نطبق المتطابقة الهامة \( (x-y)(x+y) \):

= 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4

حساب \( \sqrt{\frac{a}{b}} \):

\frac{a}{b} = \frac{a \times a}{b \times a} = \frac{a^2}{ab}
بما أن \(ab=4\), فإن \( \frac{a}{b} = \frac{a^2}{4} \).
\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{4}} = \frac{|a|}{2}
من التمرين 2، نعلم أن \(a > 0\), إذن \(|a| = a\).
النتيجة هي \( \frac{a}{2} \). نعوض بقيمة \(a\) ونبسط.

✅ الحل الكامل

حساب \(a \times b\):

a \times b = (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4

حساب \( \sqrt{\frac{a}{b}} \):

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \times \sqrt{a}}{\sqrt{b} \times \sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{ab}}

بما أن \(ab=4\), فإن:

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{a}{\sqrt{4}} = \frac{a}{2}

نعوض بقيمة \(a\) التي وجدناها:

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

دراسة العدد c

تمرين 4

ليكن \(c = \sqrt{a} - \sqrt{b}\).

أ) بيّن أن \(c\) سالب.
ب) احسب \(c^2\) واستنتج قيمة \(c\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أ) لمقارنة \( \sqrt{a} \) و \( \sqrt{b} \), يكفي مقارنة \(a\) و \(b\) (لأنهما موجبان).
ب) لحساب \(c^2\), استخدم المتطابقة الهامة \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \). ستحتاج إلى قيم \(a+b\) و \(ab\). تذكر أن \(c\) سالب عند أخذ الجذر التربيعي لـ \(c^2\).

📝 الطريقة

أ) علامة c:

نقارن \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) و \(b = 4 + 2\sqrt{3}\). من الواضح أن \(a < b\).
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، فإن \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).
إذن، الفرق \( c = \sqrt{a} - \sqrt{b} \) هو عدد سالب.

ب) حساب c:

c^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b
نحسب \(a+b\) و \(ab\):
- a+b = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8
- ab = 4 (من التمرين 3)
نعوض في تعبير \(c^2\): \( c^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} = 8 - 2\sqrt{4} = 8 - 4 = 4 \).
بما أن \(c^2 = 4\), فإن \(c = 2\) أو \(c = -2\).
بما أننا أثبتنا أن \(c\) سالب, فإن \(c = -2\).

✅ الحل الكامل

أ) تبيين أن \(c\) سالب:

لدينا \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) و \(b = 4 + 2\sqrt{3}\). من الواضح أن \( -2\sqrt{3} < 2\sqrt{3} \), إذن \( 4 - 2\sqrt{3} < 4 + 2\sqrt{3} \), مما يعني أن \(a < b\).

بما أن \(a\) و \(b\) موجبان و \(a < b\), فإن \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \).

إذن، \( c = \sqrt{a} - \sqrt{b} \) هو فرق بين عدد أصغر وعدد أكبر, وبالتالي \(c\) هو عدد سالب.

ب) حساب \(c^2\) واستنتاج قيمة \(c\):

c^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b = (a+b) - 2\sqrt{ab}

نحسب \(a+b\) و \(ab\):

a+b = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8

ab = 4 \quad \text{(من التمرين 3)}

نعوض في تعبير \(c^2\):

c^2 = 8 - 2\sqrt{4} = 8 - 2(2) = 8 - 4 = 4

بما أن \(c^2 = 4\), فإن \(c\) يمكن أن يكون \(2\) أو \(-2\). ولكن بما أننا أثبتنا أن \(c\) سالب، فإن الحل الوحيد هو:

\mathbf{c = -2}