نعتبر العبارة: \( a = 7 + 4\sqrt{3} \)
أ) اكتب \( a \) على شكل مربع كامل.
ب) نعتبر \( b = 3a^2 - 4 \). فكك \( b \) إلى جداء عوامل.
ج) قارن بين \( a \) و \( b \).
أ) تذكر المتطابقة الهامة \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \). حاول تفكيك \( a \) ليطابق هذا الشكل.
ب) تذكر المتطابقة الهامة \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).
ج) بما أن \( a \) موجب، فمن الواضح أن \( a^2 > a \). استنتج المقارنة.
أ) اكتب \( a = 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} \). هل يمكنك الآن رؤية المربع الكامل؟
ب) لاحظ أن \( b = 3a^2 - 4 = (\sqrt{3}a)^2 - 2^2 \). الآن طبق صيغة فرق المربعين.
ج) \( a = 7 + 4\sqrt{3} \approx 7 + 4(1.73) = 13.92 \). بما أن \( a > 1 \), فإن \( a^2 > a \). وبالتالي \( 3a^2 > 3a \), مما يعني أن \( 3a^2 - 4 \) أكبر بكثير من \( a \).
أ) \( a = 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = (2)^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 \)
ب) \( b = 3a^2 - 4 = (\sqrt{3}a)^2 - 2^2 = (\sqrt{3}a - 2)(\sqrt{3}a + 2) \)
ج) بما أن \( a = (2+\sqrt{3})^2 \approx 13.9 > 1 \), فإن \( a^2 > a \). وبالتأكيد \( 3a^2 - 4 > a \). إذن, \( b > a \).
ليكن العدد الحقيقي \( c = 7 + \sqrt{108} - \sqrt{300} \).
أ) لتبسيط الجذور، ابحث عن أكبر عامل مربع كامل. (مثال: \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} \)).
ب) لإثبات أن عددين هما مقلوب بعضهما، أثبت أن حاصل ضربهما يساوي 1.
أ) \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \). وبالمثل، \( \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3} \). الآن عوض هذه القيم في عبارة \(c\).
ب) احسب الجداء \( a \times c \) باستخدام المتطابقة الهامة \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \).
أ) \( c = 7 + \sqrt{36 \times 3} - \sqrt{100 \times 3} = 7 + 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} \).
ب) \( a \times c = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1 \). إذن، \(a\) هو مقلوب \(c\).
أحسب العدد الحقيقي \( d = a^2 + c^2 \).
تلميح: يمكنك التحقق من إجابتك بحساب \( (a+c)^2 - 2ac \).
الطريقة 1 (مباشرة): احسب \(a^2\) و \(c^2\) كل على حدة ثم اجمع النتائج.
الطريقة 2 (أذكى): استخدم المتطابقة الهامة \( x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \). لقد حسبت \(xy = ac\) و \(x+y = a+c\) في التمارين السابقة أو يمكنك حسابها بسهولة.
الطريقة 1:
\( a^2 = (7 + 4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = \dots \)
\( c^2 = (7 - 4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = \dots \)
ثم اجمع \(a^2 + c^2\).
الطريقة 2:
\( a + c = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14 \).
\( ac = 1 \) (من التمرين 2).
إذن \( a^2+c^2 = (a+c)^2 - 2ac = (14)^2 - 2(1) = \dots \)
الطريقة 1 (مباشرة):
\( a^2 = (7 + 4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3} \)
\( c^2 = (7 - 4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3} \)
\( d = a^2 + c^2 = (97 + 56\sqrt{3}) + (97 - 56\sqrt{3}) = 194 \)
الطريقة 2 (باستخدام المتطابقة):
\( d = a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac \)
\( a+c = (7+4\sqrt{3}) + (7-4\sqrt{3}) = 14 \)
\( ac = 1 \)
\( d = (14)^2 - 2(1) = 196 - 2 = 194 \)
ليكن العدد \( e = \sqrt{\frac{a}{c}} + \sqrt{\frac{c}{a}} \). أحسب \( e^2 \) ثم استنتج قيمة \(e\).
استخدم حقيقة أن \(c\) هو مقلوب \(a\) (أي \( c = 1/a \)) لتبسيط العبارة داخل الجذور.
تذكر أن \( \sqrt{x^2} = |x| \). بما أن \(a\) و \(c\) موجبان، فإن \( \sqrt{a^2} = a \).
1. تبسيط \(e\):
\( \frac{a}{c} = a \times \frac{1}{c} = a \times a = a^2 \).
\( \frac{c}{a} = c \times \frac{1}{a} = c \times c = c^2 \).
إذن \( e = \sqrt{a^2} + \sqrt{c^2} \). بما أن \(a\) و \(c\) موجبان، فإن \( e = a+c \).
2. حساب \(e\) و \(e^2\):
لقد حسبت قيمة \(a+c\) في التمرين السابق. استخدم هذه القيمة لحساب \(e\) ثم \(e^2\).
بما أن \(a\) هو مقلوب \(c\), فإن \( c = 1/a \). نعوض في عبارة \(e\):
\( \frac{a}{c} = \frac{a}{1/a} = a^2 \)
\( \frac{c}{a} = \frac{1/a}{a} = \frac{1}{a^2} \)
إذن \( e = \sqrt{a^2} + \sqrt{\frac{1}{a^2}} \).
بما أن \( a = 7+4\sqrt{3} > 0 \), فإن \( \sqrt{a^2} = a \) و \( \sqrt{1/a^2} = 1/a = c \).
إذن \( e = a + c \).
من التمرين السابق، نعلم أن \( a+c = 14 \). إذن \( e = 14 \).
وعليه، \( e^2 = 14^2 = 196 \).