الفرضية: \(a < b\)
القاعدة الأساسية: إضافة (أو طرح) نفس العدد إلى طرفي متباينة لا يغير اتجاهها.
للمقارنات المعقدة، ادرس إشارة الفرق بين التعبيرين.
للسؤال 2:
لنحسب الفرق \( (2a + 3b - \sqrt{11}) - (3a + 2b - \sqrt{11}) \).
أزل الأقواس: \( 2a + 3b - \sqrt{11} - 3a - 2b + \sqrt{11} \).
جمّع الحدود المتشابهة: \( (2a - 3a) + (3b - 2b) \).
استنتج إشارة الناتج بناءً على الفرضية \(a < b\).
1. بما أن \(a < b\)، فإن \(a + 7 < b + 7\).
2. الفرق هو \( (2a + 3b - \sqrt{11}) - (3a + 2b - \sqrt{11}) = -a + b = b - a \). بما أن \(a < b\)، فإن \(b - a\) هو عدد موجب. إذن، \( 2a + 3b - \sqrt{11} > 3a + 2b - \sqrt{11} \).
الفرضية: \(x < y\)
تذكر قواعد الضرب:
للسؤال 1: نبدأ بـ \(x < y\). نضرب في 2 (موجب)، ثم نضيف 1.
للسؤال 2: نبدأ بـ \(x < y\). نضرب في \(-\sqrt{5}\) (سالب). ماذا يحدث لاتجاه المتباينة؟
1. بما أن \(x < y\) والضرب في 2 (موجب) يحافظ على الترتيب، فإن \(2x < 2y\). ثم بإضافة 1، نحصل على \(2x + 1 < 2y + 1\).
2. بما أن \(x < y\) والضرب في \(-\sqrt{5}\) (سالب) يقلب الترتيب، فإن \(-x\sqrt{5} > -y\sqrt{5}\).
الفرضية: \(x < y\)
للسؤال 1: دالة التربيع \(t \to t^2\) هي دالة تصاعدية على الأعداد الموجبة. هذا يعني أنها تحافظ على الترتيب.
للسؤال 2: ادرس إشارة الفرق بين التعبيرين.
للسؤال 1: بما أن \(x < y\)، قارن أولاً \(x+5\) و \(y+5\). بما أنهما موجبان، ماذا يحدث عند تربيعهما؟
للسؤال 2: احسب الفرق \( (7y + 3x) - (7x + 3y) \)، ثم جمّع الحدود وحلل الناتج إلى عوامل لتحديد إشارته.
1. بما أن \(x < y\)، فإن \(x + 5 < y + 5\). وبما أن \(x, y\) موجبان، فإن \(x+5\) و \(y+5\) موجبان أيضاً. التربيع يحافظ على الترتيب للأعداد الموجبة، إذن \( (x + 5)^2 < (y + 5)^2 \).
2. الفرق هو \( (7y + 3x) - (7x + 3y) = 4y - 4x = 4(y - x) \). بما أن \(x < y\)، فإن \(y - x\) موجب، وبالتالي الفرق موجب. إذن \( 7y + 3x > 7x + 3y \).
الفرضية: \(x < y\)
للسؤال 1: دالة المقلوب \(t \to 1/t\) هي دالة تنازلية على الأعداد الموجبة. هذا يعني أنها تقلب اتجاه المتباينة.
للسؤال 2: ادرس إشارة الفرق بين التعبيرين.
للسؤال 1: بما أن \(x < y\) وكلاهما موجب، ماذا تفعل دالة المقلوب لاتجاه المتباينة؟
للسؤال 2: احسب الفرق \( (-3y + 2x) - (-3x + 2y) \)، ثم جمّع الحدود وحلل الناتج إلى عوامل لتحديد إشارته.
1. بما أن \(x < y\) وكلاهما موجب، فإن دالة المقلوب تقلب الترتيب. إذن \(\frac{1}{x} > \frac{1}{y}\).
2. الفرق هو \( (-3y + 2x) - (-3x + 2y) = 5x - 5y = 5(x - y) \). بما أن \(x < y\)، فإن \(x-y\) سالب، وبالتالي الفرق سالب. إذن \(-3y + 2x < -3x + 2y\).