بسّط العددين:
a = \left( \sqrt{3} + 2 \right)^2 - \sqrt{49}
b = \left( \sqrt{5} - 1 \right) \left( 2 - \sqrt{5} \right)
حساب \(a\):
1. قم بنشر القوس \((\sqrt{3} + 2)^2\).
2. احسب قيمة \( \sqrt{49} \).
3. اطرح النتيجة الثانية من الأولى.
حساب \(b\):
1. وزع حدود القوس الأول على حدود القوس الثاني.
2. قم بتبسيط الجداءات (\( \sqrt{5} \times -\sqrt{5} \)).
3. اجمع الحدود المتشابهة.
حساب \(a\):
a = (\sqrt{3}^2 + 2(\sqrt{3})(2) + 2^2) - 7
a = (3 + 4\sqrt{3} + 4) - 7
a = 7 + 4\sqrt{3} - 7
\mathbf{a = 4\sqrt{3}}
حساب \(b\):
b = \sqrt{5}(2) - \sqrt{5}(\sqrt{5}) - 1(2) + 1(\sqrt{5})
b = 2\sqrt{5} - 5 - 2 + \sqrt{5}
\mathbf{b = 3\sqrt{5} - 7}
قارن بين العددين \(a = 4\sqrt{3}\) و \(b = 3\sqrt{5} - 7\).
قبل مقارنة عددين، من المفيد دائمًا تحديد إشارة كل منهما. هل يمكنك تحديد ما إذا كان \(a\) و \(b\) موجبين أم سالبين؟ هذا قد يبسط المقارنة بشكل كبير.
1. تحديد إشارة \(a\): العدد \(a = 4\sqrt{3}\) هو جداء عددين موجبين، إذن هو موجب.
2. تحديد إشارة \(b\): لتحديد إشارة \(b = 3\sqrt{5} - 7\), يجب مقارنة \(3\sqrt{5}\) بالعدد \(7\). نقوم بتربيع العددين لأنهما موجبان:
(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45
7^2 = 49
بما أن \(45 < 49\), فإن \(3\sqrt{5} < 7\). وبالتالي، \(3\sqrt{5} - 7\) هو عدد سالب.
3. الاستنتاج: بما أن \(a\) عدد موجب و \(b\) عدد سالب، فإن \(a\) أكبر من \(b\).
لمقارنة \( a = 4\sqrt{3} \) و \( b = 3\sqrt{5} - 7 \), نبدأ بتحديد إشارة كل عدد.
إشارة \(a\):
العدد \( a = 4\sqrt{3} \) هو عدد موجب بوضوح لأن \(4 > 0\) و \(\sqrt{3} > 0\). إذن \( a > 0 \).
إشارة \(b\):
لدراسة إشارة \( b = 3\sqrt{5} - 7 \), نقارن \(3\sqrt{5}\) و \(7\).
نقوم بتربيع العددين:
(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45
7^2 = 49
بما أن \( 45 < 49 \), فإن \( (3\sqrt{5})^2 < 7^2 \). وبما أن العددين موجبان، فإن \( 3\sqrt{5} < 7 \).
إذن، الفرق \( 3\sqrt{5} - 7 \) هو عدد سالب. أي \( b < 0 \).
المقارنة النهائية:
لدينا \( a > 0 \) و \( b < 0 \). أي عدد موجب هو دائمًا أكبر من أي عدد سالب.
إذن، \( \mathbf{a > b} \).