مقارنة وتبسيط الجذور

دفواراتي
تبسيط العددين a و b
تمرين 1

نعتبر العددين: \( a = \left( \sqrt{3} + 2 \right)^2 - \sqrt{49} \) و \( b = \left( \sqrt{5} - 1 \right) \left( 2 - \sqrt{5} \right) \).

بيّن أن \( a = 4\sqrt{3} \) و أن \( b = 3\sqrt{5} - 7 \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لتبسيط \(a\), استخدم المتطابقة الهامة \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) وتذكر أن \( \sqrt{49} = 7 \).
  • لتبسيط \(b\), استخدم خاصية التوزيع (النشر) بعناية، مع الانتباه للإشارات.

📝 الطريقة

حساب \(a\):

أولاً، نقوم بنشر القوس \((\sqrt{3} + 2)^2\):

(\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(2) + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}

ثم نطرح \( \sqrt{49} \):

a = (7 + 4\sqrt{3}) - 7 = 4\sqrt{3}

حساب \(b\):

نقوم بتوزيع القوس الأول على الثاني:

b = \sqrt{5}(2) + \sqrt{5}(-\sqrt{5}) - 1(2) - 1(-\sqrt{5})

b = 2\sqrt{5} - 5 - 2 + \sqrt{5}

أخيرًا، نجمع الحدود المتشابهة:

b = (2\sqrt{5} + \sqrt{5}) + (-5 - 2) = 3\sqrt{5} - 7

✅ الحل الكامل

تبسيط \(a\):

a = (\sqrt{3} + 2)^2 - \sqrt{49} = (3 + 4\sqrt{3} + 4) - 7 = 7 + 4\sqrt{3} - 7 = 4\sqrt{3}

تبسيط \(b\):

b = (\sqrt{5} - 1)(2 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 - 2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5 - 2 + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 7

مقارنة العددين a و b
تمرين 2

قارن العددين: \( 4\sqrt{3} \) و \( 3\sqrt{5} \).

ملاحظة: لأغراض هذا السؤال والأسئلة التالية، سنعتبر أن \( b = 3\sqrt{5} \) كما هو مقترح في منطق التمرين الأصلي، وليس \( 3\sqrt{5} - 7 \).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمقارنة عددين موجبين يحتويان على جذور تربيعية، فإن أسهل طريقة هي مقارنة مربعيهما. إذا كان \(x^2 > y^2\) (و \(x,y\) موجبان)، فإن \(x > y\).

📝 الطريقة

  1. بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، يمكننا مقارنة مربعيهما.
  2. نحسب \(a^2\): \( (4\sqrt{3})^2 = 4^2 \times (\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 \).
  3. نحسب \(b^2\): \( (3\sqrt{5})^2 = 3^2 \times (\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 \).
  4. نقارن النتيجتين العدديتين.
  5. نستنتج المقارنة بين \(a\) و \(b\).

✅ الحل الكامل

لمقارنة \( a = 4\sqrt{3} \) و \( b = 3\sqrt{5} \), وبما أنهما موجبان، نقارن مربعيهما:

a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48

b^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45

بما أن \( 48 > 45 \), فإن \( a^2 > b^2 \).

وبما أن \(a\) و \(b\) موجبان، نستنتج أن \( \mathbf{a > b} \), أي \( \mathbf{4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}} \).

استنتاج متباينة
تمرين 3

استنتج أن: \( 3\sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\sqrt{3} \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

حاول تبسيط المتباينة المطلوبة. انقل الحدود التي تحتوي على \( \sqrt{3} \) إلى نفس الطرف. هل تصل إلى نتيجة معروفة من السؤال السابق؟

📝 الطريقة

نبدأ من المتباينة التي أثبتناها في التمرين 2: \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).

المطلوب هو إثبات أن \( 3\sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\sqrt{3} \). لنعمل على هذه المتباينة:

3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} - \sqrt{3}

نقوم بتبسيط الطرف الأيمن:

3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}

هذه هي بالضبط النتيجة التي توصلنا إليها في التمرين 2. إذن، الاستنتاج صحيح.

✅ الحل الكامل

في التمرين 2، أثبتنا أن \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).

لننظر إلى المتباينة المطلوبة: \( 3\sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\sqrt{3} \).

بطرح \( \sqrt{3} \) من كلا الطرفين، تصبح المتباينة مكافئة لـ:

3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} - \sqrt{3}

3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}

وهذه هي المتباينة التي أثبتنا صحتها في التمرين السابق. إذن، الاستنتاج صحيح.

تبسيط القيمة المطلقة B
تمرين 4

ليكن \( B = \left| \left( 3\sqrt{5} + \sqrt{3} \right) - 5\sqrt{3} \right| \). بسّط B.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أولاً، بسّط التعبير داخل القيمة المطلقة. ثم استخدم نتيجة المقارنة من التمرين 2 لتحديد إشارة هذا التعبير. تذكر أن \( |x| = x \) إذا كان \( x \geq 0 \), و \( |x| = -x \) إذا كان \( x < 0 \).

📝 الطريقة

  1. نبسّط ما بداخل القيمة المطلقة: \( (3\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3} \).
  2. إذن، \( B = |3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}| \).
  3. من التمرين 2، نعلم أن \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \).
  4. هذا يعني أن الفرق \( 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3} \) هو عدد سالب.
  5. بتطبيق تعريف القيمة المطلقة لعدد سالب، \( |x| = -x \), نحصل على: \( B = -(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) \).
  6. نقوم بتوزيع الإشارة السالبة للحصول على النتيجة النهائية.

✅ الحل الكامل

لدينا \( B = \left| \left( 3\sqrt{5} + \sqrt{3} \right) - 5\sqrt{3} \right| \).

أولاً، نبسط التعبير داخل القيمة المطلقة:

B = |3\sqrt{5} + \sqrt{3} - 5\sqrt{3}| = |3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}

من التمرين 2، أثبتنا أن \( 4\sqrt{3} > 3\sqrt{5} \). هذا يعني أن \( 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3} < 0 \).

بما أن المقدار داخل القيمة المطلقة سالب، فإننا نأخذ معاكسه:

B = -(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) = -3\sqrt{5} + 4\sqrt{3}

إذن، التبسيط النهائي هو: \( \mathbf{B = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{5}} \).

`),t.document.close(),t.print()}}const mathSystem=new MathExerciseSystem;function showStep(e,t,s){return mathSystem.showStep(e,t,s)}function resetExercise(e){return mathSystem.resetExercise(e)}function toggleSolution(e){return mathSystem.toggleSolution(e)}function toggleCorrection(e){return mathSystem.toggleCorrection(e)}document.addEventListener("DOMContentLoaded",function(){console.log("🎯 Page chargée - Système d'exercices prêt!"),setTimeout(()=>{const e=mathSystem.getAllStats();console.log("📊 Statistiques initiales:",e),console.log(` 🔥 RACCOURCIS CLAVIER DISPONIBLES: • Alt + 1: Afficher le prochain indice • Alt + 2: Afficher la prochaine méthode • Alt + 3: Afficher la prochaine solution • Alt + R: Réinitialiser tous les exercices `)},1e3)}),window.addEventListener("beforeunload",function(){mathSystem.config.autoSave&&mathSystem.saveProgress()}),window.MathExerciseAPI={system:mathSystem,showAllHints:()=>mathSystem.showNextHint(),showAllMethods:()=>mathSystem.showNextMethod(),showAllSolutions:()=>mathSystem.showNextSolution(),resetAll:()=>mathSystem.resetAllExercises(),getStats:()=>mathSystem.displayStats(),exportStats:()=>mathSystem.exportStats(),clearProgress:()=>mathSystem.clearSavedProgress(),enableSound:e=>{mathSystem.config.enableSound=e},enableAnimation:e=>{mathSystem.config.enableAnimation=e}},console.log("🔧 API disponible via window.MathExerciseAPI");