في كل التمارين، نعتبر العددين: \( a = 2 + \sqrt{3} \) و \( b = 1 + \sqrt{6} \)
بيّن أن \( a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \) و \( b^2 = 7 + 2\sqrt{6} \).
استخدم المتطابقة الهامة: \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
لحساب \(a^2\):
طبق المتطابقة الهامة على \( (2 + \sqrt{3})^2 \) حيث \(x=2\) و \(y=\sqrt{3}\).
\(a^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = \dots \)
لحساب \(b^2\):
طبق نفس المتطابقة على \( (1 + \sqrt{6})^2 \) حيث \(x=1\) و \(y=\sqrt{6}\).
\(b^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = \dots \)
\( a^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \)
\( b^2 = (1 + \sqrt{6})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7 + 2\sqrt{6} \)
أ) قارن \( 4\sqrt{3} \) و \( 2\sqrt{6} \).
ب) استنتج مقارنة \( a^2 \) و \( b^2 \).
ج) استنتج مقارنة \( a \) و \( b \).
لمقارنة عددين موجبين يحتويان على جذور، من الأسهل مقارنة مربعيهما.
تذكر: إذا كان \(x\) و \(y\) عددين موجبين و \(x^2 > y^2\)، فإن \(x > y\).
أ) مقارنة \( 4\sqrt{3} \) و \( 2\sqrt{6} \):
احسب \( (4\sqrt{3})^2 \) و \( (2\sqrt{6})^2 \) ثم قارن النتيجتين.
ب) مقارنة \( a^2 \) و \( b^2 \):
استخدم نتيجة السؤال (أ) للمقارنة بين \( 7 + 4\sqrt{3} \) و \( 7 + 2\sqrt{6} \).
ج) مقارنة \( a \) و \( b \):
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، استخدم نتيجة المقارنة بين مربعيهما لاستنتاج المقارنة بينهما.
أ) \( (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 \).
\( (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24 \).
بما أن \( 48 > 24 \)، فإن \( 4\sqrt{3} > 2\sqrt{6} \).
ب) نعلم أن \( a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \) و \( b^2 = 7 + 2\sqrt{6} \). بما أن \( 4\sqrt{3} > 2\sqrt{6} \)، فإن بإضافة 7 إلى الطرفين نحصل على \( 7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6} \). إذن \( a^2 > b^2 \).
ج) بما أن \( a \) و \( b \) عددان موجبان و \( a^2 > b^2 \)، فإننا نستنتج أن \( a > b \).
لدينا مربع \( C_1 \) طول ضلعه \( a \)، ومربع \( C_2 \) طول ضلعه \( b \). قارن مساحتي المربعين.
(ملاحظة: تم تبسيط نص التمرين ليتوافق مباشرة مع \(a\) و \(b\))
مساحة المربع تُحسب بالعلاقة: المساحة = (طول الضلع)2.
مساحة المربع \( C_1 \) هي \( a^2 \) ومساحة المربع \( C_2 \) هي \( b^2 \). هل قمت بمقارنة هذين العددين من قبل؟
مساحة المربع \( C_1 \) هي \( (\text{الضلع})^2 = a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \).
مساحة المربع \( C_2 \) هي \( (\text{الضلع})^2 = b^2 = 7 + 2\sqrt{6} \).
من التمرين 2، وجدنا أن \( a^2 > b^2 \).
إذن، مساحة المربع \( C_1 \) أكبر من مساحة المربع \( C_2 \).
ليكن العدد \( c = 2 - \sqrt{3} \).
أ) بيّن أن \( a \) هو مقلوب \( c \).
ب) استنتج مقارنة \( c \) و \( \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).
للسؤال (أ): لإثبات أن عددين هما مقلوب بعضهما، بيّن أن حاصل ضربهما يساوي 1.
للسؤال (ب): تذكر أن دالة المقلوب (\(x \to 1/x\)) هي دالة تنازلية على الأعداد الموجبة. هذا يعني أنها تقلب اتجاه المتباينة. لاحظ أن \( \frac{\sqrt{6}-1}{5} \) هو مقلوب \(b\).
أ) إثبات المقلوب:
احسب الجداء \( a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \). استخدم المتطابقة الهامة \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \).
ب) استنتاج المقارنة:
أ) نحسب الجداء:
\( a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \).
بما أن جدائهما يساوي 1، فإن \( a \) هو مقلوب \( c \) (و \( c = 1/a \)).
ب) من التمرين 2، نعلم أن \( a > b \).
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، فإن تطبيق دالة المقلوب يقلب اتجاه المتباينة: \( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \).
نعوض \( \frac{1}{a} \) بـ \( c \)، فتصبح المتباينة: \( c < \frac{1}{b} \).
نحسب مقلوب \(b\): \( \frac{1}{b} = \frac{1}{1+\sqrt{6}} = \frac{1 \times (1-\sqrt{6})}{(1+\sqrt{6})(1-\sqrt{6})} = \frac{1-\sqrt{6}}{1-6} = \frac{1-\sqrt{6}}{-5} = \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).
إذن، نستنتج أن \( c < \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).