في كل التمارين، نعتبر العددين: \( a = 2 + \sqrt{3} \) و \( b = 1 + \sqrt{6} \)
بيّن أن \( a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \) و \( b^2 = 7 + 2\sqrt{6} \).
استخدم المتطابقة الهامة: \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
لحساب \(a^2\):
طبق المتطابقة الهامة على \( (2 + \sqrt{3})^2 \) حيث \(x=2\) و \(y=\sqrt{3}\).
\(a^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = \dots \)
لحساب \(b^2\):
طبق نفس المتطابقة على \( (1 + \sqrt{6})^2 \) حيث \(x=1\) و \(y=\sqrt{6}\).
\(b^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = \dots \)
\( a^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \)
\( b^2 = (1 + \sqrt{6})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7 + 2\sqrt{6} \)
أ) قارن \( 4\sqrt{3} \) و \( 2\sqrt{6} \).
ب) استنتج مقارنة \( a^2 \) و \( b^2 \).
ج) استنتج مقارنة \( a \) و \( b \).
لمقارنة عددين موجبين يحتويان على جذور، من الأسهل مقارنة مربعيهما.
تذكر: إذا كان \(x\) و \(y\) عددين موجبين و \(x^2 > y^2\)، فإن \(x > y\).
أ) مقارنة \( 4\sqrt{3} \) و \( 2\sqrt{6} \):
احسب \( (4\sqrt{3})^2 \) و \( (2\sqrt{6})^2 \) ثم قارن النتيجتين.
ب) مقارنة \( a^2 \) و \( b^2 \):
استخدم نتيجة السؤال (أ) للمقارنة بين \( 7 + 4\sqrt{3} \) و \( 7 + 2\sqrt{6} \).
ج) مقارنة \( a \) و \( b \):
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، استخدم نتيجة المقارنة بين مربعيهما لاستنتاج المقارنة بينهما.
أ) \( (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 \).
\( (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24 \).
بما أن \( 48 > 24 \)، فإن \( 4\sqrt{3} > 2\sqrt{6} \).
ب) نعلم أن \( a^2 = 7 + 4\sqrt{3} \) و \( b^2 = 7 + 2\sqrt{6} \). بما أن \( 4\sqrt{3} > 2\sqrt{6} \)، فإن بإضافة 7 إلى الطرفين نحصل على \( 7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6} \). إذن \( a^2 > b^2 \).
ج) بما أن \( a \) و \( b \) عددان موجبان و \( a^2 > b^2 \)، فإننا نستنتج أن \( a > b \).
لدينا مربع \( C_1 \) طول ضلعه \( 2 + \sqrt{3} \)، ومربع \( C_2 \) قطره \( \sqrt{2} + 2\sqrt{3} \). قارن مساحتي المربعين.
تذكر صيغتين:
هل تلاحظ أن ضلع المربع الأول هو \(a\)؟ حاول إيجاد ضلع المربع الثاني.
1. حساب مساحة \(C_1\):
المساحة هي \( (2+\sqrt{3})^2 \). لقد قمت بحساب هذه القيمة في التمرين 1.
2. حساب ضلع المربع \(C_2\):
الضلع \(s_2 = \frac{\text{القطر}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\). بسّط هذا الكسر.
3. حساب مساحة \(C_2\):
المساحة هي \( (s_2)^2 \). هل تتعرف على هذا التعبير؟
4. المقارنة:
قارن بين مساحة \(C_1\) ومساحة \(C_2\) باستخدام نتائج التمارين السابقة.
مساحة المربع \(C_1\):
بما أن ضلعه هو \( 2+\sqrt{3} = a \)، فإن مساحته هي \( a^2 = 7+4\sqrt{3} \).
ضلع المربع \(C_2\):
ضلع المربع \(s_2\) الذي قطره \(d_2 = \sqrt{2} + 2\sqrt{3}\) هو:
\( s_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 1 + 2\sqrt{\frac{3}{2}} = 1 + \sqrt{4 \times \frac{3}{2}} = 1 + \sqrt{6} \).
نلاحظ أن ضلع المربع \(C_2\) هو \( b \).
مساحة المربع \(C_2\):
بما أن ضلعه هو \( b \)، فإن مساحته هي \( b^2 = 7+2\sqrt{6} \).
المقارنة:
نقارن المساحتين \(a^2\) و \(b^2\). من التمرين 2، وجدنا أن \( a^2 > b^2 \). إذن، مساحة \(C_1\) أكبر من مساحة \(C_2\).
ليكن العدد \( c = 2 - \sqrt{3} \).
أ) بيّن أن \( a \) هو مقلوب \( c \).
ب) استنتج مقارنة \( c \) و \( \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).
للسؤال (أ): لإثبات أن عددين هما مقلوب بعضهما، بيّن أن حاصل ضربهما يساوي 1.
للسؤال (ب): تذكر أن دالة المقلوب (\(x \to 1/x\)) هي دالة تنازلية على الأعداد الموجبة. هذا يعني أنها تقلب اتجاه المتباينة. لاحظ أن \( \frac{\sqrt{6}-1}{5} \) هو مقلوب \(b\).
أ) إثبات المقلوب:
احسب الجداء \( a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \). استخدم المتطابقة الهامة \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \).
ب) استنتاج المقارنة:
أ) نحسب الجداء:
\( a \times c = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \).
بما أن جدائهما يساوي 1، فإن \( a \) هو مقلوب \( c \) (و \( c = 1/a \)).
ب) من التمرين 2، نعلم أن \( a > b \).
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان، فإن تطبيق دالة المقلوب يقلب اتجاه المتباينة: \( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} \).
نعوض \( \frac{1}{a} \) بـ \( c \)، فتصبح المتباينة: \( c < \frac{1}{b} \).
نحسب مقلوب \(b\): \( \frac{1}{b} = \frac{1}{1+\sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = \frac{\sqrt{6}-1}{6-1} = \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).
إذن، نستنتج أن \( c < \frac{\sqrt{6}-1}{5} \).