🩺 صفحة العلاج

التعويض والحساب مع الجذور

احسب \(E\) إذا كان \(x = \sqrt{5}-1\)  — أو  احسب \(\left|E\right|\)

1 — ما الذي يجب أن تتقنه قبل هذا الدرس

2 — القاعدة، مشروحة

الحالة 1 — حساب \(E\) مباشرة: عوّض \(x\)، انشر بعناية، بسّط الجذور، اجمع المتشابهات.

الحالة 2 — حساب \(\left|E\right|\): احسب \(E\) أوّلاً، ثمّ حدّد إشارته، ثمّ طبّق القيمة المطلقة.

مثال: \(E = x^2-4\) مع \(x=\sqrt{2}\) ⇒ \(E = 2-4 = -2\) ⇒ \(\left|E\right| = 2\).

الحالة 3 — استعمال المعطى الذكيّ: إذا كان \(6x+6 = \sqrt{20}\) و\(E = \left(3x+3\right)^2\)، لاحظ أنّ \(3x+3 = \dfrac{6x+6}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}\) ⇒ \(E = 5\). لا تحسب \(x\) أبداً.

3 — أين تخطئ بالضبط

كتابة \(\left(\sqrt{5}-1\right)^2 = 5-1 = 4\). خطأ فادح: النتيجة \(6-2\sqrt{5}\).
نسيان القيمة المطلقة: إعطاء \(-2\) بينما المطلوب \(\left|E\right| = 2\).
استخراج \(x\) من المعطى \(6x+6=\sqrt{20}\) بدل استعمال العلاقة مباشرة. عمل طويل بلا فائدة.
عدم تبسيط \(\sqrt{20}\) إلى \(2\sqrt{5}\).

4 — الطريقة الصحيحة، خطوة بخطوة

اقرأ ما هو المطلوب\(E\) أم \(\left|E\right|\) ؟ هذا يغيّر النهاية
ابحث عن الطريق القصيرإذا وُجدت علاقة معطاة، استعملها مباشرة
عوّض وانشراستعمل المتطابقات: \(\left(a-b\right)^2 = a^2-2ab+b^2\)
بسّط الجذور\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
إذا طُلِبت \(\left|E\right|\): حدّد الإشارة\(E \geq 0 \Rightarrow \left|E\right| = E\)  ;  \(E<0 \Rightarrow \left|E\right| = -E\)

5 — مثال محلول بالكامل

احسب \(\left|E\right|\) حيث \(E = x^2-4\) و \(x = \sqrt{2}\)

نعوّض\(E = \left(\sqrt{2}\right)^2 - 4\)
نبسّط\(\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\) إذن \(E = 2-4 = -2\)
نحدّد الإشارة\(E = -2 < 0\)
نطبّق القيمة المطلقة\(\left|E\right| = -\left(-2\right) = 2\)
الجواب : \(\left|E\right| = 2\)

6 — ثلاثة تمارين للعلاج

تمرين 1

احسب \(E = \left(3x+3\right)^2\) إذا كان \(6x+6 = \sqrt{20}\)

▸ اكشف التصحيح
\(3x+3 = \dfrac{6x+6}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2}\)
\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) إذن \(3x+3 = \sqrt{5}\)
\(E = \left(\sqrt{5}\right)^2 = 5\)
\(E = 5\)

تمرين 2

احسب \(\left|E\right|\) حيث \(E = x^2-2\) و \(x=\sqrt{2}\)

▸ اكشف التصحيح
\(E = 2-2 = 0\)
\(\left|E\right| = 0\)

تمرين 3

احسب \(E = x\left(x-1\right)\) إذا كان \(x = \sqrt{5}-1\)

▸ اكشف التصحيح
\(x-1 = \sqrt{5}-2\)
\(E = \left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}-2\right) = 5 - 2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2\)
\(E = 7 - 3\sqrt{5}\)

7 — قائمة التحقّق قبل تسليم أيّ حلّ

◄ العودة إلى التمارين