🩺 صفحة العلاج
جذر مربّع يساوي عبارة خطّية — مع مناقشة
\(\sqrt{\left(x+a\right)^2} = 1 - \sqrt{b}\,x\)
1 — ما الذي يجب أن تتقنه قبل هذا الدرس
- \(\sqrt{u^2} = \left|u\right|\).
- تعريف القيمة المطلقة بالحالات: \(\left|u\right| = u\) إذا \(u \geq 0\)، و\(\left|u\right| = -u\) إذا \(u < 0\).
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى فيها جذر كمُعامل.
- جعل المقام ناطقاً: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1\).
2 — القاعدة، مشروحة
\(\sqrt{\left(x+a\right)^2} = \left|x+a\right|\). ثمّ نفصل حسب إشارة \(x+a\):
الحالة 1 — إذا \(x \geq -a\) : \(x+a = 1-\sqrt{b}\,x\)
الحالة 2 — إذا \(x < -a\) : \(-(x+a) = 1-\sqrt{b}\,x\)
⛔ الخطوة التي ينساها الجميع: بعد إيجاد قيمة \(x\) في حالة ما، يجب التحقّق من أنّها تحقّق شرط تلك الحالة. إذا لم تحقّقه فهي ليست حلاًّ ويجب رفضها.
3 — أين تخطئ بالضبط
الخطأ الأخطر: إيجاد قيمتين وكتابتهما معاً دون التحقّق من الشروط. الحلّ الذي يخالف شرط حالته ليس حلاًّ.
نسيان توزيع الإشارة في الحالة الثانية: \(-(x+a) = -x-a\) وليس \(-x+a\).
ترك المقام على شكل \(\sqrt{b}-1\). يجب جعله ناطقاً بالضرب في \(\sqrt{b}+1\).
عدم التحقّق من أنّ الطرف الأيمن \(1-\sqrt{b}\,x\) موجب أو معدوم عند الحلّ المقبول (لأنّه يساوي قيمة مطلقة).
4 — الطريقة الصحيحة، خطوة بخطوة
حوّل الجذر\(\left|x+a\right| = 1-\sqrt{b}\,x\)
الحالة 1 : \(x \geq -a\)\(x+a = 1-\sqrt{b}\,x \Rightarrow x\left(1+\sqrt{b}\right) = 1-a \Rightarrow x = \dfrac{1-a}{1+\sqrt{b}}\)
تحقّق من الشرطهل \(\dfrac{1-a}{1+\sqrt{b}} \geq -a\) ؟ إذا نعم: حلّ مقبول.
الحالة 2 : \(x < -a\)\(-x-a = 1-\sqrt{b}\,x \Rightarrow x\left(\sqrt{b}-1\right) = 1+a \Rightarrow x = \dfrac{1+a}{\sqrt{b}-1}\)
تحقّق من الشرطهذا العدد موجب (بسط ومقام موجبان)، والشرط يفرض \(x < -a < 0\) : تناقض ⇒ يُرفَض.
الخلاصةحلّ وحيد فقط: \(x = \dfrac{1-a}{1+\sqrt{b}}\)
5 — مثال محلول بالكامل
\(\sqrt{\left(x+4\right)^2} = 1 - \sqrt{2}\,x\)
نحوّل الجذر\(\left|x+4\right| = 1-\sqrt{2}\,x\)
الحالة 1 : \(x \geq -4\)\(x+4 = 1-\sqrt{2}\,x \Rightarrow x\left(1+\sqrt{2}\right) = -3 \Rightarrow x = \dfrac{-3}{1+\sqrt{2}}\)
نجعل المقام ناطقاً\(x = \dfrac{-3\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)} = \dfrac{-3\left(\sqrt{2}-1\right)}{1} = 3-3\sqrt{2}\)
نتحقّق من الشرط\(3-3\sqrt{2} \approx -1{,}24 \geq -4\ \checkmark\) ⇒ مقبول
الحالة 2 : \(x < -4\)\(-x-4 = 1-\sqrt{2}\,x \Rightarrow x\left(\sqrt{2}-1\right) = 5 \Rightarrow x = \dfrac{5}{\sqrt{2}-1} = 5\left(\sqrt{2}+1\right)\)
نتحقّق من الشرط\(5\left(\sqrt{2}+1\right) \approx 12{,}07\) وهو ليس أصغر من \(-4\) ⇒ مرفوض
الجواب : \(x = 3-3\sqrt{2}\) — حلّ وحيد
6 — ثلاثة تمارين للعلاج
تمرين 1
\(\sqrt{\left(x+2\right)^2} = 1 - \sqrt{2}\,x\)
▸ اكشف التصحيح
الحالة \(x \geq -2\) : \(x = \dfrac{-1}{1+\sqrt{2}} = 1-\sqrt{2} \approx -0{,}41 \geq -2\ \checkmark\)
الحالة \(x < -2\) : \(x = \dfrac{3}{\sqrt{2}-1} = 3\left(\sqrt{2}+1\right) \approx 7{,}24\) ليس \(< -2\) ⇒ مرفوض
\(x = 1-\sqrt{2}\)
تمرين 2
\(\sqrt{\left(x+1\right)^2} = 1 - \sqrt{3}\,x\)
▸ اكشف التصحيح
الحالة \(x \geq -1\) : \(x\left(1+\sqrt{3}\right) = 0 \Rightarrow x = 0 \geq -1\ \checkmark\)
الحالة \(x < -1\) : \(x = \dfrac{2}{\sqrt{3}-1} = \sqrt{3}+1 \approx 2{,}73\) ليس \(< -1\) ⇒ مرفوض
\(x = 0\)
تمرين 3
\(\sqrt{\left(x+3\right)^2} = 1 - \sqrt{2}\,x\)
▸ اكشف التصحيح
الحالة \(x \geq -3\) : \(x = \dfrac{-2}{1+\sqrt{2}} = 2-2\sqrt{2} \approx -0{,}83 \geq -3\ \checkmark\)
الحالة \(x < -3\) : تعطي عدداً موجباً ⇒ مرفوض
\(x = 2-2\sqrt{2}\)
7 — قائمة التحقّق قبل تسليم أيّ حلّ
- كتبتُ شرط كلّ حالة قبل الحلّ.
- تحقّقتُ من أنّ كلّ قيمة تحترم شرط حالتها.
- رفضتُ صراحةً القيمة التي لا تحترم شرطها.
- جعلتُ المقام ناطقاً.
- عوّضتُ الحلّ المقبول في المعادلة الأصلية.