🩺 صفحة العلاج

مساواة جذرين

\(\sqrt{x+a} = \sqrt{mx+b}\)

1 — ما الذي يجب أن تتقنه قبل هذا الدرس

2 — القاعدة، مشروحة

القاعدة: \(\sqrt{A} = \sqrt{B} \iff A = B\)  (بشرط \(A \geq 0\)).

الطريقة الكاملة:

1. نساوي ما تحت الجذرين: \(x+a = mx+b\)

2. نحلّ ونجد \(x\)

3. نتحقّق: هل \(x+a \geq 0\) عند هذه القيمة؟ إذا نعم فالحلّ مقبول، وإلاّ يُرفَض.

3 — أين تخطئ بالضبط

نسيان شرط الوجود كلّياً. إذا أعطى الحلّ \(x+a < 0\) فهو مرفوض.
كتابة \(\sqrt{x+a} = \sqrt{mx+b} \Rightarrow x+a = \left(mx+b\right)^2\). لا: نساوي ما تحت الجذرين مباشرة.
الخطأ في نقل الحدود: من \(x+4 = 2x+4\) نستنتج \(x = 0\) وليس \(x = 8\).
عدم التحقّق النهائي بالتعويض.

4 — الطريقة الصحيحة، خطوة بخطوة

ساوِ ما تحت الجذرين\(x+a = mx+b\)
حُلّ المعادلة\(x - mx = b - a \Rightarrow x\left(1-m\right) = b-a\)
استنتج \(x\)\(x = \dfrac{b-a}{1-m}\)
تحقّق من شرط الوجودهل \(x+a \geq 0\) و \(mx+b \geq 0\) ؟
تحقّق بالتعويضهل \(\sqrt{x+a} = \sqrt{mx+b}\) فعلاً ؟

5 — مثال محلول بالكامل

\(\sqrt{x+5} = \sqrt{4x-2}\)

نساوي ما تحت الجذرين\(x+5 = 4x-2\)
ننقل\(5+2 = 4x-x \Rightarrow 7 = 3x\)
نستنتج\(x = \dfrac{7}{3}\)
شرط الوجود\(x+5 = \dfrac{7}{3}+5 = \dfrac{22}{3} \geq 0\ \checkmark\)
تحقّق\(4x-2 = \dfrac{28}{3}-2 = \dfrac{22}{3} \geq 0\ \checkmark\) والجذران متساويان
الجواب : \(x = \dfrac{7}{3}\)

6 — ثلاثة تمارين للعلاج

تمرين 1

\(\sqrt{x+4} = \sqrt{2x+4}\)

▸ اكشف التصحيح
\(x+4 = 2x+4 \Rightarrow x = 0\)
\(0+4 = 4 \geq 0\ \checkmark\)
\(x = 0\)

تمرين 2

\(\sqrt{x+1} = \sqrt{2x+1}\)

▸ اكشف التصحيح
\(x+1 = 2x+1 \Rightarrow x = 0\)
\(1 \geq 0\ \checkmark\)
\(x = 0\)

تمرين 3

\(\sqrt{x+6} = \sqrt{4x+2}\)

▸ اكشف التصحيح
\(x+6 = 4x+2 \Rightarrow 3x = 4\)
\(x = \dfrac{4}{3}\) ; \(x+6 = \dfrac{22}{3} \geq 0\ \checkmark\)
\(x = \dfrac{4}{3}\)

7 — قائمة التحقّق قبل تسليم أيّ حلّ

◄ العودة إلى التمارين