🩺 صفحة العلاج

جذر مجموع يساوي عدداً

\(\sqrt{x^2+c} = k\sqrt{m}\)

1 — ما الذي يجب أن تتقنه قبل هذا الدرس

2 — القاعدة، مشروحة

الطرفان موجبان، إذن نربّع:

\(\left(\sqrt{x^2+c}\right)^2 = \left(k\sqrt{m}\right)^2 \Rightarrow x^2 + c = k^2 m\)

\(\Rightarrow x^2 = k^2 m - c \Rightarrow x = \sqrt{k^2m-c}\ \) أو \(\ x = -\sqrt{k^2m-c}\)

انتبه: \(\left(k\sqrt{m}\right)^2 = k^2 \times m\) وليس \(k\times m\). مثلاً \(\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4\times 5 = 20\).

3 — أين تخطئ بالضبط

الخطأ القاتل: كتابة \(\sqrt{x^2+c} = x + \sqrt{c}\). الجذر لا يوزَّع على الجمع إطلاقاً.
حساب \(\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 2\times 5 = 10\). خطأ: النتيجة \(4\times 5 = 20\).
نسيان الحلّ السالب. \(x^2 = 19\) يعطي \(x = \sqrt{19}\) و \(x = -\sqrt{19}\).
ترك \(3\sqrt{4}\) دون تبسيط. \(\sqrt{4} = 2\) إذن \(3\sqrt{4} = 6\).

4 — الطريقة الصحيحة، خطوة بخطوة

بسّط الطرف الأيمن\(3\sqrt{4} = 6\ ,\quad 2\sqrt{5}\) يبقى كما هو
ربّع الطرفين\(x^2 + c = \left(k\sqrt{m}\right)^2 = k^2 m\)
اعزل \(x^2\)\(x^2 = k^2m - c\)
خُذ الجذر مع العلامتين\(x = \sqrt{k^2m-c}\quad\) أو \(\quad x = -\sqrt{k^2m-c}\)
بسّط النتيجةإن كان \(k^2m-c\) مربّعاً كاملاً ⇒ عدد صحيح

5 — مثال محلول بالكامل

\(\sqrt{x^2+1} = 2\sqrt{5}\)

الطرفان موجبان: نربّع\(x^2 + 1 = \left(2\sqrt{5}\right)^2\)
نحسب المربّع\(\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 2^2 \times 5 = 20\)
نعزل \(x^2\)\(x^2 = 20 - 1 = 19\)
نأخذ الجذر مع العلامتين\(x = \sqrt{19}\quad\) أو \(\quad x = -\sqrt{19}\)
الجواب : \(x = \sqrt{19}\quad\) أو \(\quad x = -\sqrt{19}\)

6 — ثلاثة تمارين للعلاج

تمرين 1

\(\sqrt{x^2+4} = 2\sqrt{5}\)

▸ اكشف التصحيح
\(x^2+4 = 20\)
\(x^2 = 16\)
\(x = 4\) أو \(x = -4\)

تمرين 2

\(\sqrt{x^2+2} = 2\sqrt{6}\)

▸ اكشف التصحيح
\(x^2+2 = 4\times 6 = 24\)
\(x^2 = 22\)
\(x = \sqrt{22}\) أو \(x = -\sqrt{22}\)

تمرين 3

\(\sqrt{x^2+1} = 3\sqrt{4}\)

▸ اكشف التصحيح
\(3\sqrt{4} = 6\)
\(x^2+1 = 36 \Rightarrow x^2 = 35\)
\(x = \sqrt{35}\) أو \(x = -\sqrt{35}\)

7 — قائمة التحقّق قبل تسليم أيّ حلّ

◄ العودة إلى التمارين