التمرين رقم 2

📐 مبرهنة طالس 🔶 شبه المنحرف ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 2
شبه منحرف قائم
المعطيات:

ABCD شبه منحرف قائم في A و D بحيث:

  • AB = 3 cm
  • AD = 4 cm
  • CD = 9 cm
  • E منتصف [AD]
  • المستقيم المار من E و الموازي لـ (AB) يقطع (BC) في F
1) بيّن أن F هي منتصف [BC]
2) أحسب EF
3) (EF) يقطع (BD) في G. أحسب FG ثم استنتج EG
4) المستقيم المار من F و الموازي لـ (AD) يقطع (BD) في H و (CD) في I. أحسب HF بطريقتين مختلفتين
5) أحسب
$$\frac{FG}{DG}$$
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

إذا كان مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسمهما بنفس النسبة

للسؤال 1:

• لاحظ أن (EF) // (AB) و (AB) // (DC) في شبه المنحرف

• إذن (EF) // (DC) أيضاً

• استخدم مبرهنة طالس في المثلث ADC

للسؤال 2:

• في شبه المنحرف، الخط المار من منتصفي الضلعين يوازي القاعدتين

• طول هذا الخط = متوسط طولي القاعدتين

للسؤال 3:

• استخدم مبرهنة طالس في المثلث BDC أو BAD

• (EF) // (AB) // (DC)

للسؤال 4:

• الطريقة الأولى: استخدم مبرهنة طالس في مثلث

• الطريقة الثانية: استخدم مبرهنة طالس في مثلث آخر

للسؤال 5:

• استخدم النتائج السابقة من السؤال 3

📝 منهجية الحل

1) إثبات أن F منتصف [BC]:

في شبه المنحرف ABCD:

  • (AB) // (DC) (قاعدتا شبه المنحرف)
  • (EF) // (AB) (معطى)
  • إذن (EF) // (DC)

نطبق مبرهنة طالس في المثلث ADC:

$$\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{DC}$$

بما أن E منتصف [AD]، فإن AE/AD = 1/2

2) حساب EF:

EF هو القاعدة الوسطى في شبه المنحرف:

$$EF = \frac{AB + DC}{2}$$

3) حساب FG و EG:

نطبق مبرهنة طالس في المثلث BDC مع (EF) // (DC)

4) حساب HF بطريقتين:

الطريقة الأولى: مبرهنة طالس في المثلث BCD

الطريقة الثانية: مبرهنة طالس في مثلث آخر

5) حساب النسبة FG/DG:

نستخدم العلاقات من السؤال 3

✅ الحل النهائي

1) إثبات أن F منتصف [BC]:

في شبه المنحرف ABCD: (AB) // (DC)

المعطى: (EF) // (AB)

إذن: (EF) // (DC)

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس:

$$\frac{AE}{ED} = \frac{AF}{FC}$$

بما أن E منتصف [AD]، فإن AE = ED

إذن: AF = FC

∴ F منتصف [BC] ✓

2) حساب EF:

EF هو القاعدة الوسطى في شبه المنحرف في شبه المنحرف:

$$EF = \frac{AB + DC}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

∴ EF = 6 cm ✓

3) حساب FG و EG:

في المثلث BDC، (EF) // (DC) و F منتصف [BC]

إذن G منتصف [BD]

نطبق مبرهنة طالس:

$$\frac{FG}{DC} = \frac{BF}{BC} = \frac{1}{2}$$
$$FG = \frac{DC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm}$$
$$EG = EF - FG = 6 - 4.5 = 1.5 \text{ cm}$$

∴ FG = 4.5 cm و EG = 1.5 cm ✓

4) حساب HF بطريقتين:

الطريقة الأولى: في المثلث BCD

(FI) // (AD) و F منتصف [BC]

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{FI}{AD} = \frac{CF}{CB} = \frac{1}{2}$$
$$FI = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$$

الطريقة الثانية: في المثلث ABD

(FH) // (AD) و نطبق مبرهنة طالس

نحصل على نفس النتيجة: HF = 2 cm ✓

5) حساب النسبة FG/DG:

من السؤال 3: G منتصف [BD]

إذن: BG = GD

$$\frac{FG}{DG} = \frac{FG}{BG}$$

في المثلث BDC، (EF) // (DC) و F منتصف [BC]:

$$\frac{BG}{BD} = \frac{1}{2}$$

وبما أن:

$$FG = 4.5 \text{ cm و } BG = GD$$

يمكن حساب النسبة باستخدام العلاقات السابقة

∴ FG/DG = 1 ✓ (لأن G منتصف [BD])