مبرهنة طالس 2

دفواراتي
منتصفات وتناسبية
تمرين 1

وحدة قيس الطول هي الصنتمتر.

\(ABC\) مثلث و \(M\) منتصف \([BC]\). المستقيم المار من \(M\) والموازي للمستقيم \((AB)\) يقطع \([AC]\) في النقطة \(N\).

  1. بيّن أن \(N\) منتصف \([AC]\).
  2. أحسب \(\frac{CM}{CB}\) و \(\frac{MN}{AB}\). ماذا تستنتج لـ \(\frac{CM}{CA}\)؟
  3. عين النقطة \(I\) على \([BA)\) بحيث \(AI=3\). المستقيم \((IC)\) يقطع \((MN)\) في \(J\).
    1. ما هي مساقط \(C\) و \(J\) و \(I\) على \((AC)\) وفقا لمنحى \((AB)\)؟
    2. بيّن أن \(\frac{CJ}{CI} = \frac{CM}{CB}\).
    3. أحسب \(NJ\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: تذكر نظرية المستقيم المار من منتصف ضلع في مثلث والموازي لضلع ثان. ماذا يمكن أن نستنتج عن علاقته بالضلع الثالث؟

للسؤال 2: بما أن \(M\) و \(N\) هما منتصفا ضلعين، يمكن تطبيق خاصية أخرى متعلقة بهما. كيف ترتبط القطعة \([MN]\) بالضلع \([AB]\)؟

للسؤال 3: فكرة المساقط مرتبطة بتطبيق مبرهنة طالس. حدد المثلث والمستقيمين المتوازيين الذين يمكن استخدامهم لإثبات النسبة المطلوبة.

📝 الطريقة

1) إثبات أن N منتصف [AC]:

  • في المثلث \(ABC\)، لدينا \(M\) منتصف \([BC]\).
  • لدينا المستقيم \((MN)\) يوازي المستقيم \((AB)\).
  • إذن، حسب النظرية العكسية لمبرهنة المنتصفين (أو خاصية مستقيم المنتصفين)، فإن المستقيم \((MN)\) يقطع الضلع \([AC]\) في منتصفه. وبالتالي \(N\) هي منتصف \([AC]\).

2) حساب النسب:

  • بما أن \(M\) منتصف \([BC]\)، فإن \(CM = \frac{1}{2} CB\)، وبالتالي \(\frac{CM}{CB} = \frac{1}{2}\).
  • بما أن \(M\) منتصف \([BC]\) و \(N\) منتصف \([AC]\)، فإن طول القطعة \([MN]\) يساوي نصف طول الضلع \([AB]\). إذن \(\frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}\).
  • نستنتج أن \(\frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}\). (ملاحظة: السؤال يسأل عن \(\frac{CM}{CA}\) وهذا قد يكون خطأ مطبعيا، والمقصود \(\frac{CN}{CA}\) وهو يساوي \(\frac{1}{2}\)).

3) حساب NJ:

  • لتطبيق طالس، نعتبر المثلث \(CBI\) والمستقيم \((MJ)\) الذي يوازي \((BI)\) (لأن كلاهما يوازي \((AB)\)).
  • نكتب نسبة طالس: \(\frac{CJ}{CI} = \frac{CM}{CB} = \frac{MJ}{BI}\).
  • نعلم أن \(\frac{CM}{CB} = \frac{1}{2}\)، إذن \(\frac{CJ}{CI} = \frac{1}{2}\).
  • لحساب \(NJ\)، يمكننا استخدام طالس في المثلث \(ACI\) مع القاطع \((NJ)\)، أو نطرح \(MJ\) من \(MN\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن N منتصف [AC]:
في المثلث \(ABC\)، لدينا \(M\) منتصف \([BC]\) والمستقيم \((MN)\) موازٍ لـ \((AB)\). حسب خاصية مستقيم المنتصفين، فإن النقطة \(N\) هي بالضرورة منتصف الضلع \([AC]\).

2) حساب النسب:
بما أن \(M\) هي منتصف \([BC]\)، فإن \(\frac{CM}{CB} = \frac{1}{2}\).
بما أن \(M\) و \(N\) هما منتصفا \([BC]\) و \([AC]\) على التوالي، فإن \(MN = \frac{1}{2} AB\)، وبالتالي \(\frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}\).
نستنتج أن النسب متساوية. (ملاحظة: \(\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}\) أيضا).

3) الأسئلة المتعلقة بالنقطة J:

أ. مسقط \(C\) على \((AC)\) هو \(C\). مسقط \(I\) على \((AC)\) وفقا لمنحى \((AB)\) هو \(A\). مسقط \(J\) على \((AC)\) وفقا لمنحى \((AB)\) هو \(N\).

ب. بما أن الإسقاط يحافظ على النسب، فإن \(\frac{CJ}{CI} = \frac{CN}{CA}\). وبما أن \(N\) منتصف \([AC]\)، فإن \(\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}\). ونعلم أن \(\frac{CM}{CB} = \frac{1}{2}\). إذن \(\frac{CJ}{CI} = \frac{CM}{CB}\).

ج. لحساب \(NJ\)، نطبق طالس في المثلث \(ACI\): لدينا \(J \in (CI)\)، \(N \in (AC)\) و \((NJ) // (AI)\). إذن \(\frac{CN}{CA} = \frac{CJ}{CI} = \frac{NJ}{AI}\).
نعلم أن \(\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}\) و \(AI=3\).
\(\frac{NJ}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow NJ = \frac{3}{2} = 1.5\).

علاقات قياسية في مثلث
تمرين 2

\(ABC\) مثلث و \(M\) نقطة من \([BC]\).

  1. الموازي لـ \((AM)\) والمار من \(C\) يقطع \((AB)\) في \(E\). قارن بين \(\frac{AB}{AE}\) و \(\frac{BM}{BC}\).
  2. \(F\) مسقط \(M\) على \((AB)\) وفقا لمنحى \((AC)\). بيّن أن \(\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}\).
  3. استنتج أن \(AB^2 = AE \times BF\).
  4. إذا كان \(AB=6\) و \(BF=4\)، أحسب \(AE\).
  5. \((AM)\) و \((FC)\) يتقاطعان في \(O\). الموازي لـ \((AC)\) والمار من \(O\) يقطع \([AF]\) في \(I\) ويقطع \([MC]\) في \(J\). بيّن أن: \(\frac{AI}{AF} = \frac{CJ}{CM}\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1 و 2: حدد المثلث والمستقيمين المتوازيين في كل حالة لتطبيق مبرهنة طالس بشكل مباشر.

للسؤال 3: لديك علاقتان من السؤالين السابقين. ابحث عن النسبة المشتركة بينهما لتتمكن من ربط النسب الأخرى.

للسؤال 5: ستحتاج إلى تطبيق مبرهنة طالس مرتين في شكلين مختلفين للحصول على نسبتين تساويان نسبة ثالثة مشتركة.

📝 الطريقة

1) مقارنة النسب الأولى:

  • في المثلث \(EBC\)، لدينا \(A \in [EB]\) و \(M \in [BC]\).
  • لدينا المستقيم \((AM)\) يوازي \((EC)\).
  • بتطبيق مبرهنة طالس، نجد: \(\frac{BA}{BE} = \frac{BM}{BC}\).

2) إثبات النسبة الثانية:

  • \(F\) هي مسقط \(M\) على \((AB)\) بمنحى \((AC)\) يعني أن \((FM)\) يوازي \((AC)\).
  • في المثلث \(ABC\)، لدينا \(F \in [AB]\) و \(M \in [BC]\) و \((FM) // (AC)\).
  • بتطبيق مبرهنة طالس، نجد: \(\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}\).

3) الاستنتاج:

  • من (1) و (2) نستنتج أن \(\frac{BA}{BE} = \frac{BF}{BA}\) (لأن كليهما يساوي \(\frac{BM}{BC}\)).
  • باستخدام خاصية الجداء المتقاطع، نحصل على \(BA \times BA = BE \times BF\)، أي \(AB^2 = AE \times BF\).

5) إثبات النسبة الأخيرة:

  • نطبق طالس في المثلث \(AFC\) مع المستقيم \((OI)\) الموازي لـ \((AC)\). نحصل على \(\frac{AI}{AF} = \frac{AO}{AM}\).
  • نطبق طالس في المثلث \(AMC\) مع المستقيم \((OJ)\) الموازي لـ \((AC)\). نحصل على \(\frac{CJ}{CM} = \frac{AO}{AM}\).
  • من العلاقتين، نستنتج أن \(\frac{AI}{AF} = \frac{CJ}{CM}\).

✅ الحل الكامل

1) مقارنة \(\frac{AB}{AE}\) و \(\frac{BM}{BC}\):
في المثلث \(EBC\)، بما أن \((AM) // (EC)\)، فإن تطبيق مبرهنة طالس يعطينا: \(\frac{BA}{BE} = \frac{BM}{BC}\).

2) إثبات أن \(\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}\):
بما أن \(F\) مسقط \(M\) على \((AB)\) بمنحى \((AC)\)، فإن \((FM) // (AC)\). في المثلث \(ABC\)، تطبيق طالس يعطي: \(\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}\).

3) استنتاج أن \(AB^2 = AE \times BF\):
من السؤالين (1) و (2)، لدينا \(\frac{BA}{BE} = \frac{BM}{BC}\) و \(\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}\).
إذن، \(\frac{BA}{BE} = \frac{BF}{BA}\). بالجداء المتقاطع، نحصل على \(BA \times BA = BE \times BF\)، أي \(AB^2 = AE \times BF\).

4) حساب \(AE\):
لدينا \(AB=6\) و \(BF=4\). باستخدام العلاقة السابقة: \(6^2 = AE \times 4 \Rightarrow 36 = 4 \times AE \Rightarrow AE = \frac{36}{4} = 9\).

5) إثبات النسبة الأخيرة:

تصحيح للمنهجية:
الطريقة الصحيحة:
في المثلث \(AMC\)، لدينا \(O \in (FC)\), \(J \in (MC)\) و \((OJ) // (AC)\). بتطبيق طالس (نظرًا لأن \(O\) على القاطع \((AM)\)): \(\frac{AO}{AM} = \frac{CJ}{CM}\).
في المثلث \(AMF\), لدينا \(O \in (AM)\), \(I \in (AF)\) و \((OI)\) // \((FM)\) (لأن كلاهما يوازي \((AC)\)). بتطبيق طالس: \(\frac{AO}{AM} = \frac{AI}{AF}\).
من العلاقتين نستنتج أن: \(\frac{AI}{AF} = \frac{CJ}{CM}\).
تناظر مركزي ومبرهنة المنتصفين
تمرين 3

نعتبر المثلث \(ABC\) حيث \(AB=5\), \(AC=6\) و \(BC=7\).

  1. أبن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(B\) ثم أبن \(F\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(C\). بيّن أن \((BC) // (EF)\) وأحسب \(EF\).
  2. عين على \([AB]\) النقطة \(M\) حيث \(AM=4\). الموازي لـ \((BC)\) والمار من \(M\) يقطع \((AC)\) في \(N\). أوجد \(AN\) ثم \(NF\).
  3. عين النقطة I منتصف [EF]. المستقيم \((AI)\) يقطع \((BC)\) في \(J\). أثبت أن \(J\) منتصف \([BC]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: ما معنى أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(B\)؟ هذا يعني أن \(B\) هي منتصف \([AE]\). استخدم هذه المعلومة مع النقطة \(F\) لتطبيق مبرهنة المنتصفين في مثلث كبير.

للسؤال 2: هذه الحالة هي تطبيق مباشر لمبرهنة طالس في المثلث \(ABC\).

للسؤال 3: السؤال الأصلي كان غامضاً، لقد قمت بتصحيحه وتوضيحه. فكر في استخدام مبرهنة طالس في شكل "الفراشة" (papillon) الذي يتكون من المثلثين \(AI F\) و \(AJB\).

📝 الطريقة

1) إثبات التوازي وحساب EF:

  • بما أن \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(B\)، فإن \(B\) هي منتصف \([AE]\).
  • بما أن \(F\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(C\)، فإن \(C\) هي منتصف \([AF]\).
  • في المثلث \(AEF\)، لدينا \(B\) منتصف \([AE]\) و \(C\) منتصف \([AF]\).
  • حسب مبرهنة المنتصفين، فإن المستقيم \((BC)\) يوازي المستقيم \((EF)\) وطول القطعة \([BC]\) يساوي نصف طول القطعة \([EF]\).
  • إذن \(EF = 2 \times BC\).

2) حساب AN و NF:

  • في المثلث \(ABC\)، لدينا \(M \in [AB]\)، \(N \in [AC]\) و \((MN) // (BC)\).
  • بتطبيق مبرهنة طالس: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\).
  • استخدم النسبة الأولى لحساب \(AN\).
  • بما أن \(C\) منتصف \([AF]\)، فإن \(AC = CF\).
  • يمكن حساب \(NF\) بالعلاقة \(NF = AF - AN = 2AC - AN\).

3) إثبات أن J منتصف [BC]:

  • في المثلث \(AEF\)، لدينا \((BC)//(EF)\).
  • لدينا \(J\) نقطة تقاطع \((AI)\) و \((BC)\).
  • نطبق طالس في المثلث \(AIE\) مع القاطع \((BJ)\). لدينا \((BJ)//(EI)\). إذن: \(\frac{AJ}{AI} = \frac{AB}{AE} = \frac{JB}{IE}\).
  • بما أن \(B\) منتصف \([AE]\)، فإن \(\frac{AB}{AE} = \frac{1}{2}\). إذن \(\frac{JB}{IE} = \frac{1}{2}\).
  • نفعل نفس الشيء في المثلث \(AIF\) مع القاطع \((CJ)\). لدينا \((CJ)//(IF)\). إذن: \(\frac{AJ}{AI} = \frac{AC}{AF} = \frac{JC}{IF}\).
  • بما أن \(C\) منتصف \([AF]\)، فإن \(\frac{AC}{AF} = \frac{1}{2}\). إذن \(\frac{JC}{IF} = \frac{1}{2}\).
  • بما أن \(I\) منتصف \([EF]\)، فإن \(IE=IF\). ومن العلاقتين السابقتين نستنتج أن \(JB=JC\).
  • إذن \(J\) منتصف \([BC]\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات التوازي وحساب EF:
لدينا \(B\) منتصف \([AE]\) و \(C\) منتصف \([AF]\). في المثلث \(AEF\)، حسب مبرهنة المنتصفين، فإن \((BC) // (EF)\).
ولدينا أيضاً \(BC = \frac{1}{2} EF\). بما أن \(BC=7\)، فإن \(EF = 2 \times 7 = 14\).

2) حساب AN و NF:
في المثلث \(ABC\)، بما أن \((MN) // (BC)\)، نطبق طالس:
\(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{4}{5} = \frac{AN}{6}\).
إذن \(AN = \frac{4 \times 6}{5} = \frac{24}{5} = 4.8\).
بما أن \(C\) منتصف \([AF]\)، فإن \(AF = 2 \times AC = 2 \times 6 = 12\).
\(NF = AF - AN = 12 - 4.8 = 7.2\).

3) إثبات أن J منتصف [BC]:

تصحيح وتوضيح السؤال: النص الأصلي كان غير مكتمل. النسخة المصححة هي: "عين النقطة I منتصف [EF]. المستقيم (AI) يقطع (BC) في J. أثبت أن J منتصف [BC]."
البرهان:
نعتبر المثلث \(AIE\). لدينا \(B \in [AE]\) و \(J \in [AI]\). وبما أن \((BC) // (EF)\)، فإن \((BJ) // (EI)\). بتطبيق مبرهنة طالس: \(\frac{AB}{AE} = \frac{AJ}{AI} = \frac{BJ}{EI}\).
بما أن \(B\) منتصف \([AE]\)، فإن \(\frac{AB}{AE} = \frac{1}{2}\). إذن، \(\frac{BJ}{EI} = \frac{1}{2}\) أو \(BJ = \frac{1}{2} EI\). (1)
نعتبر المثلث \(AIF\). لدينا \(C \in [AF]\) و \(J \in [AI]\). وبما أن \((BC) // (EF)\)، فإن \((CJ) // (IF)\). بتطبيق مبرهنة طالس: \(\frac{AC}{AF} = \frac{AJ}{AI} = \frac{CJ}{IF}\).
بما أن \(C\) منتصف \([AF]\)، فإن \(\frac{AC}{AF} = \frac{1}{2}\). إذن، \(\frac{CJ}{IF} = \frac{1}{2}\) أو \(CJ = \frac{1}{2} IF\). (2)
بما أن \(I\) هي منتصف \([EF]\)، فإن \(EI = IF\).
من (1) و (2) نستنتج أن \(BJ = CJ\). وبما أن \(J \in [BC]\)، فإن \(J\) هي منتصف \([BC]\).