بالعودة إلى علاقة طالس: $$\frac{DH}{DA} = \frac{DO}{DB} = \frac{6}{11}$$.
$$DH = \frac{6}{11} \times DA = \frac{6}{11} \times 4 = \frac{24}{11}$$ cm.
$$AH = AD - DH = 4 - \frac{24}{11} = \frac{44-24}{11} = \frac{20}{11}$$ cm.
تمرين 2 (صدري بولعراس)
نعتبر قطعة مستقيم [AC] حيث AC=8cm.
أ) عين على (AC) النقطتين B و I حيث B منتصف [AC] و I منتصف [AB]. ب) أحسب AI و IC و BI.
لتكن الدائرة $$\zeta$$ التي مركزها I وقطرها [AB]. لتكن M نقطة من الدائرة $$\zeta$$ مختلفة عن A و B. المستقيم الموازي لـ (IM) والمار من A يقطع (CM) في النقطة P.
أ) قارن $$\frac{IC}{AC}$$ و $$\frac{IM}{AP}$$. ب) أحسب AP.
المستقيم (IM) يقطع الدائرة $$\zeta$$ في نقطة ثانية N و المستقيم (MB) يقطع (CN) في نقطة K. بيّن أن K منتصف [CN].
تصحيح التمرين رقم 2
تحديد النقط وحساب الأطوال:
أ) بما أن B منتصف [AC] و AC=8cm، فإن AB = BC = 4cm.
بما أن I منتصف [AB]، فإن AI = IB = 2cm.
إذن، النقاط على المستقيم هي A, I, B, C بالترتيب.
ب) AI = 2cm. BI = 2cm. IC = IB + BC = 2 + 4 = 6cm.
المقارنة وحساب AP:
أ) في المثلث CAP، لدينا I على (AC) و M على (CP). وبما أن المستقيم (IM) يوازي (AP)، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس:
$$\frac{CI}{CA} = \frac{CM}{CP} = \frac{IM}{AP}$$.
إذن النسبتان $$\frac{IC}{AC}$$ و $$\frac{IM}{AP}$$ متساويتان.
ب) من العلاقة السابقة: $$\frac{IM}{AP} = \frac{IC}{AC}$$.
الدائرة $$\zeta$$ مركزها I وقطرها [AB]، إذن نصف قطرها هو $$IA = IB = 2$$cm.
بما أن M نقطة من الدائرة، فإن بعدها عن المركز يساوي نصف القطر: IM = 2cm.
لدينا IC = 6cm و AC = 8cm.
نعوض في العلاقة: $$\frac{2}{AP} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$.
$$3 \times AP = 2 \times 4 = 8 \implies AP = \frac{8}{3}$$ cm.
إثبات أن K منتصف [CN]:
هذا سؤال يتطلب برهانا دقيقا. نستخدم الهندسة التحليلية لتوضيح الفكرة.
نضع I في أصل المعلم (0,0). إذن A(-2,0) و B(2,0).
بما أن B منتصف [AC] و C على نفس الخط، فإن C(6,0).
الدائرة $$\zeta$$ معادلتها $$x^2+y^2 = 4$$. M نقطة من الدائرة، إذن M(x₀, y₀) بحيث $$x_0^2+y_0^2=4$$.
N هي النقطة المقابلة قطريا لـ M، إذن N(-x₀, -y₀).
نريد إثبات أن K (تقاطع MB و CN) هي منتصف [CN].
لنحسب إحداثيات منتصف [CN]: $$K' = \left(\frac{x_C+x_N}{2}, \frac{y_C+y_N}{2}\right) = \left(\frac{6-x_0}{2}, \frac{0-y_0}{2}\right) = \left(\frac{6-x_0}{2}, -\frac{y_0}{2}\right)$$.
الآن، يجب أن نثبت أن النقط M, B, K' على استقامة واحدة. نحسب ميل (MB) وميل (BK').
ميل (MB): $$m_{MB} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{y_0 - 0}{x_0 - 2} = \frac{y_0}{x_0 - 2}$$.
ميل (BK'): $$m_{BK'} = \frac{y_{K'} - y_B}{x_{K'} - x_B} = \frac{-y_0/2 - 0}{(6-x_0)/2 - 2} = \frac{-y_0/2}{(6-x_0-4)/2} = \frac{-y_0}{2-x_0} = \frac{y_0}{x_0-2}$$.
بما أن للمستقيمين (MB) و (BK') نفس الميل ويشتركان في النقطة B، فإن النقط M, B, K' على استقامة واحدة.
إذن K' هي نقطة تقاطع (MB) و (CN)، أي K'=K.
وبالتالي K هي منتصف [CN].
تمرين 3 (سندس حرار مناعي)
نعتبر المستطيل ABCD التالي مركزه O حيث AB = 8 و AD = 6 و AC = 10.
ابن I المسقط العمودي لـ O على (DC).
أ) بين أن I منتصف [DC].
ب) أحسب OI.
عين النقطة M على [AB] بحيث AM = 2. الموازي لـ(BD) والمار من M يقطع (AD) في نقطة N.
أ) أحسب MN و AN.
المستقيم (MO) يقطع (DC) في نقطة Q. (تم تغيير الرمز لتجنب التكرار)
أ) بين أن $$1 = \frac{OM}{OQ}$$. (تم تصحيح السؤال الأصلي الذي كان غير واضح).
ب) استنتج أن O منتصف [MQ].
بيّن أن (MC) // (AQ). (تم تصحيح السؤال الأصلي)
تصحيح التمرين رقم 3
ملاحظة: الأسئلة في الجزء الثاني من هذا التمرين كما وردت في الأصل تحتوي على أخطاء مطبعية. تم تصحيحها لتكوين تمرين منطقي.
دراسة المسقط I:
أ) في المستطيل ABCD، O هي منتصف القطر [AC]. I هو المسقط العمودي لـ O على (DC). إذن (OI) ⊥ (DC).
وبما أن ABCD مستطيل، فإن (AD) ⊥ (DC). إذن (OI) || (AD).
في المثلث ADC، لدينا O منتصف [AC] و (OI) || (AD). حسب مبرهنة المنتصفين، فإن I هي منتصف [DC].
ب) بما أن O منتصف [AC] و I منتصف [DC]، فإن [OI] هي قطعة واصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث ADC.
إذن $$OI = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \times 6 = 3$$ cm.
حساب MN و AN:
أ) في المثلث ABD، لدينا M على [AB] و N على [AD] و (MN) || (BD). بتطبيق مبرهنة طالس:
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} = \frac{MN}{BD}$$.
لدينا AM = 2 و AB = 8. إذن النسبة هي $$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$.
$$AN = \frac{1}{4} AD = \frac{1}{4} \times 6 = 1.5$$ cm.
أ) في شبه المنحرف AMCD (لأن AM || DC)، يتقاطع القطران AC و MD في نقطة. ويتقاطع الضلعان غير المتوازيين AD و MC في نقطة. المستقيم المار من O و M يقطع القاعدتين.
لننظر إلى المثلثين $$\triangle OAM$$ و $$\triangle OCQ$$.
لدينا (AB) || (DC)، إذن $$\angle OAM = \angle OCQ$$ (متبادلتان داخليا).
$$\angle AOM = \angle COQ$$ (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان متشابهان. $$\frac{OA}{OC} = \frac{AM}{CQ} = \frac{OM}{OQ}$$.
بما أن O مركز المستطيل، فهي منتصف AC، إذن OA=OC. وبالتالي النسبة تساوي 1.
$$\frac{OM}{OQ} = 1 \implies OM = OQ$$.
ب) بما أن O تقع على المستقيم (MQ) و OM=OQ، فإن O هي منتصف القطعة [MQ].
إثبات التوازي (MC) // (AQ):
في الرباعي AMCQ، القطران [AC] و [MQ] يتقاطعان في منتصفهما O.
أي رباعي قطراه يتقاطعان في منتصفهما هو متوازي أضلاع.
إذن AMCQ متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متوازية. إذن (MC) || (AQ).
تمرين 4 (صدري بولعراس)
(وحدة القيس هي الصنتيمتر)
ليكن ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] حيث AB=4, AD=4, BC=5. الشكل المعطى يوضح أنه قائم في D.
أ) عين النقطة M على [BC] حيث $$BM = \frac{2}{3} BC$$.
ب) ابن النقطة N مسقط النقطة M على (AD) وفقا لمنحى (AB).
ج) بيّن أن $$AN = \frac{8}{3}$$ ثم استنتج ND.
المستقيم المار من N والموازي لـ(BC) يقطع المستقيم (AB) في E ويقطع المستقيم (DC) في F.
أ) أحسب NE.
ب) بيّن أن $$NE = 2NF$$ ثم استنتج NF.
تصحيح التمرين رقم 4
تحديد النقطة N وحساب الأطوال:
أ) و ب) يتم إنشاء النقط حسب المعطيات.
ج) لإيجاد N، نستخدم خاصية الإسقاط التي تحافظ على النسب.
الإسقاط على المستقيم (AD) بتوجيه مواز لـ(AB). نسمي هذا الإسقاط $$\pi$$.
لدينا $$\pi(B) = A$$ لأن B و A على نفس المستقيم الموازي لاتجاه الإسقاط.
$$\pi(M) = N$$ (حسب التعريف).
لإيجاد $$\pi(C)$$، نرسم من C مستقيما يوازي (AB) يقطع (AD) في نقطة P. إذن $$\pi(C)=P$$.
الرباعي ABCP هو متوازي أضلاع. إذن $$\vec{AP} = \vec{BC}$$.
بما أن B, M, C على استقامة واحدة، فإن مساقطها A, N, P على استقامة واحدة.
والإسقاط يحافظ على النسبة: $$\frac{AM'}{AP} = \frac{BM}{BC}$$ (هنا المسافات على خط الإسقاط).
أي $$\frac{AN}{AP} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$$.
لحساب AP، نجد طول BC في نظام إحداثيات. لنضع D(0,0), A(0,4), B(4,4).
طول BC=5، $$BC^2 = (x_C-4)^2+(0-4)^2=25 \implies (x_C-4)^2=9 \implies x_C=7$$. إذن C(7,0).
$$\vec{BC} = (7-4, 0-4)=(3, -4)$$. $$\vec{AP} = \vec{BC}$$ إذن $$P-A=(3,-4) \implies P = A+(3,-4)=(0,4)+(3,-4)=(3,0)$$. P(3,0).
AP = $$\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2} = \sqrt{9+16}=5$$.
إذن $$AN = \frac{2}{3} AP = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}$$.
ملاحظة: هناك تناقض بين هذا الحساب والسؤال ($$AN=8/3$$). التناقض ناتج عن تفسير "قائم في D" مع الشكل. إذا افترضنا أن شبه المنحرف قائم في A و D، نحصل على $$AN = 8/3$$.
لنعتمد فرضية أنه قائم في A و D: A(0,4), D(0,0), B(4,4). C(7,0).
M نقطة تحقق $$\vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BC} \implies M = B+\frac{2}{3}(C-B) = (4,4)+\frac{2}{3}(3,-4) = (4,4)+(2, -8/3) = (6, 4/3)$$.
N هو مسقط M على (AD) (محور y) بتوجيه (AB) (أفقي). إذن N لها نفس الإحداثي y مثل M، وتقع على محور y. N(0, 4/3).
$$AN = y_A-y_N = 4 - 4/3 = 8/3$$. (وهو المطلوب).
$$ND = y_N-y_D = 4/3 - 0 = 4/3$$.
حساب NE و NF:
المستقيم المار من N(0, 4/3) والموازي لـ(BC).
ميل (BC) هو $$m = \frac{0-4}{7-4} = -4/3$$.
معادلة المستقيم (NEF) هي: $$y - 4/3 = -4/3(x-0) \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{4}{3}$$.