التمرين رقم 1 - شبه المنحرف ومبرهنة طالس

🔸 نص التمرين

شبه منحرف بحيث: $$ABCD$$

وحدة $$AB = 5$$
وحدة $$CD = 7.5$$
وحدة $$AC = 6.5$$
وحدة $$BD = 5\sqrt{2}$$
نقطة تقاطع قطرية $$O$$

بحيث: $$\frac{OA}{2} = \frac{OC}{3} = 1.3$$

السؤال الأول: حساب OA و OC

بين أن $$\frac{OA}{2} = \frac{OC}{3} = 1.3$$

ثم احسب $$OA$$ و $$OC$$

🔹 الحل باستخدام مبرهنة طالس:

الخطوة 1: تطبيق خاصية التقاطع في شبه المنحرف

في شبه المنحرف $$ABCD$$ حيث $$AB \parallel CD$$
عندما تتقاطع الأقطار في النقطة $$O$$
تطبق خاصية مبرهنة طالس على الأقطار

الخطوة 2: تطبيق نسب طالس

حسب مبرهنة طالس في شبه المنحرف:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}$$

وكذلك:

$$\frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{3}$$

الخطوة 3: الحساب من المعطى

من المعطى: $$\frac{OA}{2} = \frac{OC}{3} =\frac{OA+OC}{2+3} = \frac{AC}{5}= 1.3$$
إذن: $$OA = 2 \times 1.3 = 2.6$$ وحدة
و: $$OC = 3 \times 1.3 = 3.9$$ وحدة

التحقق:

نتحقق من صحة النسبة:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{2.6}{3.9} = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$$ ✓

وهذا يتطابق مع نسبة الأضلاع المتوازية

النتيجة: $$OA = 2.6$$ وحدة، $$OC = 3.9$$ وحدة

السؤال الثاني: حساب النسبة والمستقيم الموازي

بين أن $$\frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BD}$$

المستقيم المار من $$O$$ والموازي للمستقيم $$(BC)$$ يقطع $$[AB]$$ في $$E$$ و $$[CD]$$ في $$F$$

بين أن $$\frac{AE}{AB} = \frac{AO}{AC}$$

🔹 الحل باستخدام مبرهنة طالس:

الجزء الأول - إثبات النسبة:

في شبه المنحرف، من خواص تقاطع الأقطار:
نطبق مبرهنة طالس على الأقطار المتقاطعة:
بما أن $$AB \parallel CD$$ والمستقيمان $$(AC)$$ و $$(BD)$$ يقطعانهما
حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}$$

ومن هنا نحصل على:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BD}$$ ✓

الجزء الثاني - المستقيم الموازي:

المستقيم المار من $$O$$ والموازي لـ $$(BC)$$ يقطع:
- $$[AB]$$ في النقطة $$E$$
- $$[CD]$$ في النقطة $$F$$

تطبيق مبرهنة طالس:

في المثلث $$ABC$$، المستقيم $$(EO)$$ يوازي $$(BC)$$
حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{AE}{AB} = \frac{AO}{AC}$$ ✓

وهذا مطابق للمطلوب إثباته

النتيجة: كلا النسبتين محققتان بتطبيق مبرهنة طالس المباشرة

السؤال الثالث: النقاط G و H على الأضلاع

المستقيم المار من $$O$$ والموازي للمستقيم $$(AD)$$ يقطع $$[AB]$$ في $$G$$ و $$[CD]$$ في $$H$$

بين أن $$\frac{BG}{BA} = \frac{BO}{BD}$$

استنتج أن $$AE = BG$$

احسب $$AE$$ و $$EG$$

بين أن $$CH = DF$$

بين أن $$CF = 3$$ و $$FH = 1.5$$

🔹 الحل التفصيلي باستخدام مبرهنة طالس:

الجزء الأول - إثبات النسبة الأولى:

في المثلث $$ABD$$، المستقيم $$(GO)$$ يوازي $$(AD)$$
حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{BG}{BA} = \frac{BO}{BD}$$ ✓

الجزء الثاني - استنتاج التساوي:

من النتائج السابقة:
- $$\frac{AE}{AB} = \frac{AO}{AC}$$
- $$\frac{BG}{BA} = \frac{BO}{BD}$$
وبما أن في شبه المنحرف: $$\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BD}$$
إذن: $$\frac{AE}{AB} = \frac{BG}{BA}$$
وهذا يعني: $$AE = BG$$ ✓

الجزء الثالث - حساب AE:

من النسب المحسوبة سابقاً:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{2.6}{6.5} = \frac{2}{5} = 0.4$$

إذن: $$AE = AB \times 0.4 = 5 \times 0.4 = 2$$ وحدة
وبالتالي: $$EG = AB - AE - BG = 5 - 2 - 2 = 1$$ وحدة

الجزء الرابع - إثبات CH = DF:

بتطبيق نفس المنطق على الضلع $$CD$$:
النقطتان $$F$$ و $$H$$ تقسمان $$CD$$ بنفس النسب
حسب خواص التوازي والتناظر في شبه المنحرف
$$CH = DF$$ ✓

الجزء الخامس - حساب CF و FH:

بتطبيق النسب على $$CD = 7.5$$:
$$CF = CD \times \frac{AE}{AB} = 7.5 \times 0.4 = 3$$ وحدة
$$FH = CD \times \frac{EG}{AB} = 7.5 \times \frac{1}{5} = 1.5$$ وحدة ✓

النتائج:

$$AE = BG = 2$$ وحدة
$$EG = 1$$ وحدة
$$CF = 3$$ وحدة
$$FH = 1.5$$ وحدة