ليكن \( ABC \) مثلثاً حيث:
\( AB = 6 \text{ cm} \)، \( \widehat{ABC} = 80^\circ \)، \( \widehat{BAC} = 40^\circ \).
1) ليكن \( [Bx] \) منصف الزاوية \( \widehat{ABC} \) والذي يقطع \( (AC) \) في \( I \).
أ) بيّن أن: \( BI = AI \).
ب) احسب \( \widehat{BIC} \).
2) ليكن \( [Ay] \) منصف الزاوية \( \widehat{BAC} \) والذي يقطع \( [Bx] \) في \( O \) و\( [BC] \) في \( K \).
أ) احسب \( \widehat{COK} \) و\( \widehat{AKB} \).
ب) استنتج البعد \( AK \).
3) ليكن \( E \) الإسقاط العمودي لـ \( A \) على \( (AB) \)، والمستقيم \( (IE) \) يقطع \( (AK) \) في النقطة \( M \).
أ) بيّن أن \( (IE) \) منصف الزاوية \( \widehat{AIB} \).
ب) احسب \( \widehat{BMI} \).
ج) بيّن أن الدائرة \( (𝒞) \) التي مركزها \( M \) تمر من \( E \). ما هي الوضعية النسبية للدائرة \( (𝒞) \) والمستقيم \( (BI) \)؟ علّل جوابك.
• استعمل خاصية منصف الزاوية في المثلث.
• طبق نظرية منصف الزاوية لتحديد العلاقات بين الأضلاع.
• تذكّر أن مجموع زوايا المثلث يساوي \( 180° \).
1️⃣ استعمل الخاصية: منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين.
2️⃣ بما أن \( \widehat{BAC} = 40° \) و \( \widehat{ABC} = 80° \)، نحسب \( \widehat{ACB} = 60° \).
3️⃣ لتحديد \( \widehat{BIC} \): نعلم أن في مثلث الزوايا المنصفة تتقاطع في نقطة مركز الدائرة الداخلية.
4️⃣ لتحديد الوضعية النسبية، استخدم العلاقة بين المسافة من المركز إلى المستقيم ونصف القطر.
1️⃣ لدينا \( \widehat{ABC} = 80° \) ⇒ المنصف يقسمها إلى زاويتين من \( 40° \) لكل منهما.
بما أن \( I \) نقطة على \( (AC) \) تحقق \( BI = AI \)، فإن المثلث \( AIB \) متساوي الساقين.
2️⃣ نحسب \( \widehat{ACB} = 180° - (80° + 40°) = 60° \).
الزاوية \( \widehat{BIC} = 90° + \frac{\widehat{A}}{2} = 90° + 20° = 110° \).
3️⃣ لتقاطع المنصفين، النقطة \( O \) هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث \( ABC \).
وبما أن المنصفين متعامدان في مركز الدائرة، نستنتج أن \( AK \) متعامد مع \( BI \).
4️⃣ بالتطبيق على الزوايا، نجد أن \( x + y = 90° \)، وبالتالي \( OKDB \) شبه منحرف قائم الزاوية.