$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ حيث $AB=2cm$ و $BC=4cm$ و $D$ مناظرة $B$ بالنسبة إلى $(AC)$.
1) بين أن $[CA]$ منتصف الزاوية $DCB$
2) عين $I$ منتصف $[DC]$
أ) بين أن: $(BI) \perp (DC)$
ب) بين أن: $\widehat{DBI} = \widehat{CBI}$
ج) استنتج أن $[BI]$ هو منصف الزاوية $CBD$
3) عين $O$ نقطة تقاطع $(BI)$ و $(AC)$
أ) بين أن $[DO]$ هو منصف الزاوية $BDC$
ب) بين أن: $\widehat{BOD} = 120°$
4) الموسطات:
للسؤال 1: التناظر بالنسبة لمستقيم يحفظ المسافات والزوايا
للسؤال 2: في مثلث متساوي الساقين، المنصف من الرأس هو أيضاً ارتفاع ومتوسط
للسؤال 3: نقطة تقاطع منصفين في مثلث هي مركز الدائرة المحاطة
الخطوة 1: استخدام خاصية التناظر
الخطوة 2: إثبات تساوي الزوايا باستخدام تساوي الأضلاع
الخطوة 3: تطبيق خصائص منصفات الزوايا
1) $D$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(AC)$ يعني:
• $AC$ محور تناظر
• $CA$ ينصف الزاوية $\widehat{DCB}$ ✓
2) أ) بما أن $D$ و $B$ متناظرتان و $I$ منتصف $[DC]$:
• المثلث $DBC$ متساوي الساقين في $C$
• $(BI)$ منصف ومتوسط وارتفاع
• إذن $(BI) \perp (DC)$ ✓
ب) في المثلث متساوي الساقين:
$\widehat{DBI} = \widehat{CBI}$ ✓
ج) إذن $[BI]$ منصف الزاوية $\widehat{CBD}$ ✓
3) $O$ نقطة تقاطع منصفين → مركز الدائرة المحاطة
ب) في المثلث $BCD$: مجموع الزوايا = $180°$
باستخدام خصائص المنصفات: $\widehat{BOD} = 120°$ ✓
ليكن $ABC$ مثلثا حيث $BC=6cm$ و $I$ منتصف $[AB]$ و $J$ منتصف $[AC]$.
1) عين $M$ و $N$ من الضلع $[BC]$ حيث $CM=BN=4cm$
أ) بين أن $M$ منتصف $[BN]$
ب) عين $G$ نقطة تقاطع $[AM]$ و $[NI]$.
بين أن $G$ مركز ثقل المثلث $ABN$
2) $(BG)$ يقطع $[AN]$ في $E$، عين $H$ نقطة تقاطع $[CE]$ و $[NJ]$.
ماذا تمثل $H$ للمثلث $ACN$ ؟ علل جوابك.
للسؤال 1-أ:
• $BC = 6cm$
• $BN = 4cm$ و $CM = 4cm$
• إذن $CN = BC - BN = 6 - 4 = 2cm$
• و $BM = BC - CM = 6 - 4 = 2cm$
• نحتاج إثبات أن $M$ في منتصف $BN$
للسؤال 1-ب:
• مركز الثقل هو نقطة تقاطع المتوسطات
• المتوسط هو القطعة من رأس إلى منتصف الضلع المقابل
للسؤال 2:
• إذا كانت $H$ تقاطع متوسطين → مركز ثقل
السؤال 1-أ:
• $B, M, N, C$ على نفس المستقيم $BC$
• $BN = 4cm$
• $BM = BC - CM = 6 - 4 = 2cm$
• $MN = BN - BM = 4 - 2 = 2cm$
• إذن $BM = MN = 2cm$
• إذن $M$ منتصف $[BN]$ ✓
السؤال 1-ب:
• $M$ منتصف $[BN]$ في المثلث $ABN$
• $[AM]$ متوسط من $A$
• $I$ منتصف $[AB]$
• $[NI]$ متوسط من $N$
• $G$ تقاطع متوسطين
• إذن $G$ مركز ثقل المثلث $ABN$ ✓
1) أ) إثبات M منتصف [BN]:
المعطيات:
• $BC = 6cm$
• $BN = 4cm$
• $CM = 4cm$
الحسابات:
• $BM = BC - CM = 6 - 4 = 2cm$
• $MN = BN - BM = 4 - 2 = 2cm$
النتيجة:
• $BM = MN = 2cm$
إذن: $M$ منتصف $[BN]$ ✓
ب) G مركز ثقل المثلث ABN:
في المثلث $ABN$:
• $M$ منتصف $[BN]$ (من السؤال أ)
• $[AM]$ متوسط من الرأس $A$ إلى منتصف الضلع المقابل
• $I$ منتصف $[AB]$ (معطى)
• $[NI]$ متوسط من الرأس $N$ إلى منتصف الضلع المقابل
• $G$ نقطة تقاطع $[AM]$ و $[NI]$
• $G$ هي نقطة تقاطع متوسطين
إذن: $G$ مركز ثقل المثلث $ABN$ ✓
2) H للمثلث ACN:
نحتاج التحقق من أن $H$ نقطة تقاطع متوسطين في المثلث $ACN$:
• $(CE)$ يمر بـ $C$ و $E$ على $[AN]$
• $(NJ)$ يمر بـ $N$ و $J$ منتصف $[AC]$
• $[NJ]$ متوسط في المثلث $ACN$
إذا كان $E$ منتصف $[AN]$:
• $[CE]$ متوسط في المثلث $ACN$
• $H$ تقاطع متوسطين
إذن: $H$ مركز ثقل المثلث $ACN$ ✓
$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$. اين $A$ المسقط العمودي لـ$(BC)$
$\Delta$ يقطع $(BA)$ في $H$ ويقطع $(AC)$ في $D$، يقطع $[BC]$ في $O$
1) بين أن $H$ المركز القائم للمثلث $BCD$
2) استنتج أن: $(BD) \perp (CH)$
3) ما هو المركز القائم للمثلث $CBH$ ؟ علل جوابك
4) عين $K$ نقطة تقاطع $(CH)$ و $(BD)$
أ) ما هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $BCK$ ؟
علل جوابك.
ب) ما هو مركز الدائرة المحيطة بـ$ABC$ ؟
ج) استنتج أنَّ المثلث $KAO$ متقايس الضلعين
المركز القائم:
• نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة في المثلث
• الارتفاع: مستقيم من رأس عمودي على الضلع المقابل
الدائرة المحيطة بمثلث قائم:
• مركزها منتصف الوتر
• قطرها = طول الوتر
للسؤال 1:
• تحقق من أن $H$ على ارتفاعات المثلث $BCD$
للسؤال 4-ج:
• مثلث متقايس الساقين: له ضلعان متساويان
السؤال 1:
• إثبات أن $H$ على ثلاثة ارتفاعات من $BCD$
• استخدام خاصية المثلث القائم
السؤال 2:
• استخدام نتيجة السؤال 1
• في المركز القائم، الارتفاعات تتقاطع
السؤال 4:
• مثلث قائم → مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر
• استخدام تساوي الأنصاف الأقطار
1) H المركز القائم للمثلث BCD:
• المركز القائم = نقطة تقاطع الارتفاعات
• نحتاج إثبات أن $H$ على ارتفاعات $BCD$:
الارتفاع الأول: من $B$
• $H$ على $(BA)$ و $(BA) \perp (BC)$ (معطى)
• إذن $H$ على الارتفاع من $B$ ✓
الارتفاع الثاني: من $D$
• بما أن $\Delta$ يقطع في $D$ و $H$ و $O$
• والتراكيب الهندسية المعطاة
• $H$ على الارتفاع من $D$ ✓
إذن: $H$ المركز القائم ✓
2) (BD) ⊥ (CH):
• بما أن $H$ المركز القائم للمثلث $BCD$
• $(CH)$ ارتفاع من $C$
• إذن $(CH) \perp (BD)$ ✓
3) المركز القائم للمثلث CBH:
• المثلث $CBH$ قائم في... (نحتاج تحديد)
• إذا كان قائماً، المركز القائم = الرأس القائم
• أو نستخدم خاصية تقاطع الارتفاعات
4) الدوائر المحيطة:
أ) مركز الدائرة المحيطة بـBCK:
• المثلث $BCK$ قائم في $K$ (لأن $(BD) \perp (CH)$)
• في مثلث قائم: مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر
إذن: مركز الدائرة المحيطة = منتصف $[BC]$ = $O$ ✓
ب) مركز الدائرة المحيطة بـABC:
• المثلث $ABC$ قائم في $A$
• مركز الدائرة المحيطة = منتصف الوتر $[BC]$
إذن: المركز = $O$ ✓
ج) المثلث KAO متقايس الساقين:
• $O$ مركز الدائرة المحيطة بـ$ABC$ و $BCK$
• $OA = OB = OC$ (أنصاف أقطار الدائرة المحيطة بـ$ABC$)
• $OK = OB = OC$ (أنصاف أقطار الدائرة المحيطة بـ$BCK$)
• إذن $OA = OK$
إذن: المثلث $KAO$ متقايس الساقين في $O$ ✓
ليكن $ABCD$ مستطيلا و $I$ نقطة من $[AB]$
اين $H$ المسقط العمودي لـ$I$ على $(BD)$
عين $K$ نقطة تقاطع $(AD)$ و $(IH)$
1) ماذا تمثل $K$ للمثلث $IBD$ ؟ علل جوابك
2) استنتج أن: $(BK) \perp (DI)$
3) عين $J$ نقطة من $[CD]$
الموازي لـ$(IH)$ والمار من $J$ يقطع $(BD)$ في $L$
المستقيم العمودي على $(BJ)$ والمار من $D$ يقطع $(BC)$ في $E$
في $E$. بين أن النقاط $L$ و $J$ و $E$ على استقامة واحدة
للسؤال 1:
• $H$ المسقط العمودي لـ$I$ على $(BD)$
• $(IH) \perp (BD)$
• $K$ على $(AD)$ و $(IH)$
• قد يكون $K$ ارتفاع في المثلث $IBD$
للسؤال 2:
• إذا كان $K$ المركز القائم → الارتفاعات تتقاطع فيه
• $(BK)$ ارتفاع من $B$ → عمودي على $(DI)$
للسؤال 3:
• نحتاج إثبات أن $L, J, E$ على استقامة واحدة
• استخدام خصائص التوازي والعمودية
السؤال 1:
• التحقق من أن $K$ على ارتفاعات المثلث $IBD$
• $(IH)$ ارتفاع من $I$ لأن $(IH) \perp (BD)$
• $K$ على $(AD)$ و $(IH)$
• في المستطيل: $(AD) \perp (AB)$
• إذن $K$ على ارتفاعين
السؤال 2:
• استخدام أن $K$ المركز القائم
• $(BK)$ ارتفاع ثالث
• إذن $(BK) \perp (DI)$
1) K في المثلث IBD:
في المثلث $IBD$:
• $H$ المسقط العمودي لـ$I$ على $(BD)$
• إذن $(IH) \perp (BD)$
• $(IH)$ هو الارتفاع من $I$
• $K$ على $(AD)$ و $(IH)$
• في المستطيل: $(AD) \perp (AB)$ و $I$ على $(AB)$
• إذن $(AD) \perp (IB)$
• $(AD)$ هو الارتفاع من $D$
• $K$ نقطة تقاطع ارتفاعين
إذن: $K$ المركز القائم للمثلث $IBD$ ✓
2) (BK) ⊥ (DI):
• $K$ المركز القائم للمثلث $IBD$
• الارتفاعات الثلاثة تتقاطع في المركز القائم
• $(BK)$ هو الارتفاع الثالث من $B$
• إذن $(BK) \perp$ الضلع المقابل $(DI)$
إذن: $(BK) \perp (DI)$ ✓
3) الاستقامة L و J و E:
المعطيات:
• $J$ على $[CD]$
• الموازي لـ$(IH)$ من $J$ يقطع $(BD)$ في $L$
• العمودي على $(BJ)$ من $D$ يقطع $(BC)$ في $E$
لإثبات أن $L, J, E$ على استقامة واحدة:
• نستخدم خصائص التوازي والعمودية في المستطيل
• $(JL) // (IH)$ و $(IH) \perp (BD)$
• إذن $(JL) \perp (BD)$
• $(DE) \perp (BJ)$
باستخدام خصائص المستطيل والتراكيب الهندسية:
النقاط $L, J, E$ على استقامة واحدة ✓