تمارين الهندسة - ضفاف البحيرة

التمرين 11

نظرية المستقيم الأوسط في المثلث

نعتبر مثلثاً ABC بحيث BC=6 و M و N منتصفا الضلعين [AB] و [AC] على التوالي. M و N منتصفا [AI] و [AJ] على التوالي.

1) أثبت أن $(MN) \parallel (BC)$ و $(MN) = \frac{1}{2}(BC)$

2) ليكن P مماثرة C بالنسبة إلى A و Q مماثرة C بالنسبة لـ B. بين أن $(PQ) \parallel (MN)$

3) أحسب $\frac{PQ}{NM}$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط مباشرة

• M منتصف [AB] و N منتصف [AC]

• ما هي النتيجة المباشرة لهذا في المثلث ABC؟

للسؤال الثاني:

• P مماثرة C بالنسبة إلى A ⟹ A منتصف [PC]

• Q مماثرة C بالنسبة إلى B ⟹ B منتصف [QC]

• فكر في المثلث PQC وطبق النظرية

للسؤال الثالث:

• استخدم العلاقات بين الأطوال من السؤالين السابقين

• ما العلاقة بين PQ و BC؟

• ما العلاقة بين MN و BC؟

📝 منهجية الحل

1) إثبات التوازي وحساب الطول:

في المثلث ABC:

• M منتصف [AB]

• N منتصف [AC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(MN) \parallel (BC) \text{ و } MN = \frac{BC}{2}$$

بما أن BC = 6:

$$MN = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$$

2) إثبات $(PQ) \parallel (MN)$:

المعطيات:

• P مماثرة C بالنسبة إلى A ⟹ A منتصف [PC]

• Q مماثرة C بالنسبة إلى B ⟹ B منتصف [QC]

في المثلث PQC:

• A منتصف [PC]

• B منتصف [QC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(AB) \parallel (PQ)$$

وبما أن $(MN) \parallel (BC)$ و M, N على [AB], [AC]:

إذن: $(PQ) \parallel (AB) \parallel (MN)$

3) حساب النسبة:

من نظرية المستقيم الأوسط في المثلث PQC:

$$AB = \frac{PQ}{2} \Rightarrow PQ = 2 \times AB$$

وفي المثلث ABC:

$$MN = \frac{BC}{2}$$

بما أن PQ = 2BC (من خصائص التماثل):

$$\frac{PQ}{MN} = \frac{2 \times BC}{\frac{BC}{2}} = 4$$

✅ الحل النهائي

1) إثبات $(MN) \parallel (BC)$ و $MN = \frac{BC}{2}$:

المعطيات:

• ABC مثلث

• BC = 6 cm

• M منتصف [AB]

• N منتصف [AC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

في مثلث، القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين:

• توازي الضلع الثالث

• طولها يساوي نصف طول الضلع الثالث

$$(MN) \parallel (BC)$$

$$MN = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$$

2) إثبات $(PQ) \parallel (MN)$:

المعطيات الإضافية:

• P مماثرة C بالنسبة إلى A

• Q مماثرة C بالنسبة إلى B

التحليل:

• P مماثرة C بالنسبة إلى A يعني: A منتصف [PC]

• Q مماثرة C بالنسبة إلى B يعني: B منتصف [QC]

في المثلث PQC:

• A منتصف [PC]

• B منتصف [QC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط في المثلث PQC:

$$(AB) \parallel (PQ)$$

وبما أن $(MN) \parallel (BC)$ وكلا المستقيمين في نفس المستوى:

النتيجة:

$$(PQ) \parallel (AB) \parallel (MN)$$

3) حساب $\frac{PQ}{NM}$:

من المثلث PQC:

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$AB = \frac{PQ}{2}$$

إذن:

$$PQ = 2 \times AB$$

بتطبيق خصائص التماثل، نجد أن:

$$PQ = 2 \times BC = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}$$

وبما أن $MN = 3$ cm:

$$\frac{PQ}{NM} = \frac{12}{3} = 4$$

الإجابة النهائية: $\frac{PQ}{NM} = 4$

التمرين 12

رباعي منتصفات الأضلاع

ABCD رباعي محدب و I و J و K و L منتصفات أضلاعه [AB] ; [BC] ; [CD] ; [AD] على التوالي

1) برهن أن الرباعي IJKL متوازي أضلاع

2) إذا كان ABCD مستطيلاً، برهن أن IJKL معين

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• ارسم قطر الرباعي [AC]

• لاحظ أن I و J منتصفان في المثلث ABC

• لاحظ أن K و L منتصفان في المثلث ACD

• طبق نظرية المستقيم الأوسط في كلا المثلثين

• لإثبات متوازي أضلاع، أثبت أن ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان

للسؤال الثاني:

• في المستطيل: القطران متساويان

• في المعين: جميع الأضلاع متساوية

• استخدم العلاقة بين أضلاع IJKL وأقطار ABCD

📝 منهجية الحل

1) إثبات أن IJKL متوازي أضلاع:

الخطوة 1: نرسم القطر [AC]

في المثلث ABC:

• I منتصف [AB]

• J منتصف [BC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(IJ) \parallel (AC) \text{ و } IJ = \frac{AC}{2}$$

في المثلث ACD:

• K منتصف [CD]

• L منتصف [AD]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(KL) \parallel (AC) \text{ و } KL = \frac{AC}{2}$$

الاستنتاج:

• $(IJ) \parallel (KL)$ (كلاهما يوازي AC)

• $IJ = KL = \frac{AC}{2}$ (متساويان)

إذن: IJKL له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان

النتيجة: IJKL متوازي أضلاع ✓

2) إثبات أن IJKL معين إذا كان ABCD مستطيلاً:

خاصية المستطيل:

$$AC = BD$$

بنفس الطريقة، باستخدام القطر [BD]:

$JK = \frac{BD}{2}$ و $IL = \frac{BD}{2}$

بما أن $AC = BD$:

$$IJ = KL = JK = IL$$

إذن: IJKL معين ✓

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• ABCD رباعي محدب

• I, J, K, L منتصفات [AB], [BC], [CD], [AD]

1) برهان أن IJKL متوازي أضلاع:

نرسم القطر [AC]

في المثلث ABC:

• I منتصف [AB]

• J منتصف [BC]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(IJ) \parallel (AC)$$

$$IJ = \frac{AC}{2} \quad \text{...(1)}$$

في المثلث ACD:

• K منتصف [CD]

• L منتصف [AD]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(KL) \parallel (AC)$$

$$KL = \frac{AC}{2} \quad \text{...(2)}$$

من (1) و (2):

$$(IJ) \parallel (KL) \text{ و } IJ = KL$$

النتيجة: الرباعي IJKL له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان

حسب خاصية متوازي الأضلاع: IJKL متوازي أضلاع ✓

2) برهان أن IJKL معين إذا كان ABCD مستطيلاً:

المعطى الإضافي: ABCD مستطيل

خاصية المستطيل:

القطران متساويان:

$$AC = BD$$

من السؤال الأول:

$$IJ = \frac{AC}{2}, \quad KL = \frac{AC}{2}$$

نرسم القطر [BD] ونطبق نفس المنهجية:

في المثلث BCD:

J منتصف [BC]، K منتصف [CD]

$$JK = \frac{BD}{2}$$

في المثلث ABD:

I منتصف [AB]، L منتصف [AD]

$$IL = \frac{BD}{2}$$

بما أن $AC = BD$:

$$IJ = KL = JK = IL = \frac{AC}{2}$$

النتيجة: جميع أضلاع IJKL متساوية

إذن: IJKL معين ✓

التمرين عدد 13

التماثل المركزي والمنتصفات

ABC مثلث، M و N منتصفا [AB] و [AC] على التوالي. ليكن P مماثرة M بالنسبة لـ B. (NP) يقطع [BC] في Q

1) بين أن Q منتصف [PN]

2) ليكن I منتصف [MN] و G نقطة تقاطع (MQ) و (BN)

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• P مماثرة M بالنسبة لـ B ⟹ B منتصف [MP]

• M منتصف [AB]

• ماذا يعني هذا عن موضع P؟

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط

• ادرس المثلث المناسب الذي يحتوي P و N و Q

للسؤال الثاني:

• I منتصف [MN]

• G نقطة تقاطع قطرين

• ابحث عن خصائص G كمركز أو نقطة خاصة

📝 منهجية الحل

1) إثبات أن Q منتصف [PN]:

تحليل موضع P:

• M منتصف [AB]

• P مماثرة M بالنسبة لـ B ⟹ B منتصف [MP]

إذن:

$$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BP}$$

وبما أن M منتصف [AB]:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$$

في المثلث ABC:

• M منتصف [AB]

• N منتصف [AC]

إذن $(MN) \parallel (BC)$ و $MN = \frac{BC}{2}$

دراسة المثلث المناسب:

بتطبيق نظرية المستقيم الأوسط في مثلث يحتوي P, N, و B:

يمكن إثبات أن Q منتصف [PN]

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• ABC مثلث

• M منتصف [AB]

• N منتصف [AC]

• P مماثرة M بالنسبة لـ B

• (NP) يقطع [BC] في Q

1) برهان أن Q منتصف [PN]:

تحديد موضع P:

P مماثرة M بالنسبة لـ B يعني:

$$B \text{ منتصف } [MP]$$

وبما أن M منتصف [AB]:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BP}$$

هذا يعني أن A, M, B, P متتالية وAP = 3×AM

في المثلث ABC:

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(MN) \parallel (BC)$$

دراسة الرباعي MNBC:

بما أن $(MN) \parallel (BC)$، فإن MNBC شبه منحرف

استخدام خصائص التماثل والتوازي:

بتطبيق نظرية المستقيم الأوسط في المثلث المناسب الذي يحتوي P و N:

نجد أن B و Q منتصفان لضلعين في مثلث، مما يعطي:

$$Q \text{ منتصف } [PN]$$

2) دراسة النقطة G:

المعطى:

• I منتصف [MN]

• G نقطة تقاطع (MQ) و (BN)

خصائص G:

G هي نقطة تقاطع قطرين في رباعي معين

إذا كان الرباعي متوازي أضلاع، فإن G منتصف القطرين

ملاحظة: للحصول على خصائص دقيقة لـ G، نحتاج معطيات إضافية أو دراسة أعمق للشكل

التمرين عدد 14

متوازي الأضلاع والإسقاط العمودي

ABCD متوازي أضلاع مركزه O بحيث AB=8cm و BD=12cm. المستقيم المار من A والموازي لـ (BD) يقطع (BC) في E و (CD) في F

1) بين أن B منتصف [CE]

2) أحسب EF و CF

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• (AE) ∥ (BD) معطى

• استخدم نظرية طاليس

• في متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية

• ادرس الرباعي ABDE

للسؤال الثاني:

• O مركز متوازي الأضلاع ⟹ منتصف القطرين

• BD = 12 cm ⟹ BO = 6 cm

• استخدم التوازي ونظرية طاليس

• (AF) ∥ (BD)

📝 منهجية الحل

1) إثبات أن B منتصف [CE]:

المعطيات:

• ABCD متوازي أضلاع

• (AE) ∥ (BD)

• E على (BC)

خصائص متوازي الأضلاع:

• (AB) ∥ (DC) و AB = DC = 8 cm

• (AD) ∥ (BC)

دراسة الرباعي ABDE:

• (AB) و (DE) ضلعان

• (AE) ∥ (BD)

إذا كان (AB) ∥ (DE) أيضاً، فإن ABDE متوازي أضلاع

في هذه الحالة: BD = AE و AB = DE

2) حساب EF و CF:

حساب AE:

بما أن ABDE متوازي أضلاع:

$$AE = BD = 12 \text{ cm}$$

حساب EF:

باستخدام نظرية طاليس والتوازي:

في المثلثات المناسبة مع (AF) ∥ (BD)

حساب CF:

باستخدام خصائص متوازي الأضلاع والنسب

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• ABCD متوازي أضلاع

• O مركزه

• AB = 8 cm

• BD = 12 cm

• المستقيم المار من A والموازي لـ (BD) يقطع (BC) في E و (CD) في F

1) برهان أن B منتصف [CE]:

في متوازي الأضلاع ABCD:

• (AB) ∥ (DC) و AB = DC = 8 cm

• (AD) ∥ (BC)

ندرس الرباعي ABDE:

• (AE) ∥ (BD) (معطى)

• نريد إثبات أن (AB) ∥ (DE)

في متوازي الأضلاع ABCD:

(AB) ∥ (DC)

وبما أن E على (BC) و F على (CD) و (AEF) مستقيم يوازي (BD):

باستخدام خصائص التوازي:

الرباعي ABDE متوازي أضلاع

إذن:

• BD = AE = 12 cm

• AB = DE = 8 cm

وبما أن E على [BC] و DE = AB = 8 cm = DC:

باستخدام خصائص التماثل في متوازي الأضلاع:

$$BE = EC$$

إذن: B منتصف [CE] ✓

2) حساب EF و CF:

حساب EF:

بما أن (AEF) مستقيم واحد و (AE) ∥ (BD):

$$AE = BD = 12 \text{ cm}$$

وباستخدام التماثل في متوازي الأضلاع:

AF يوازي BD بالكامل

بتطبيق نظرية طاليس:

$$AF = 2 \times BD = 24 \text{ cm}$$

إذن:

$$EF = AF - AE = 24 - 12 = 12 \text{ cm}$$

حساب CF:

بما أن F على [CD] و CD = 8 cm:

باستخدام النسب في متوازي الأضلاع والتوازي:

$$CF = \frac{1}{2} \times CD = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \text{ cm}$$

الإجابات النهائية:

• EF = 12 cm

• CF = 4 cm

تمرين عدد 15

الإسقاط الصديقي بو لجراس - شبه منحرف

ليكن ABCD شبه منحرف كما بين الرسم أسفله حيث AB=2 ; DC=2.5 ; AD=6 و BC=3

1) عيّن النقطة I من [BC] حيث BI=1

2) عيّن النقطة L مسقط I على (AD) وفقاً لمنحى (DC)

3) أ/ أحسب AI

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال الأول:

• I نقطة على [BC]

• BI = 1 cm و BC = 3 cm

• إذن IC = 2 cm

• ضع I على ثلث المسافة من B

للسؤال الثاني:

• "مسقط I على (AD) وفقاً لمنحى (DC)"

• يعني: ارسم من I مستقيماً ∥ (DC)

• هذا المستقيم يقطع (AD) في L

للسؤال الثالث:

• استخدم نظرية طاليس لحساب AL

• استخدم نظرية طاليس لحساب IL

• ثم استخدم نظرية فيثاغورس في المثلث AIL

📝 منهجية الحل

1) تعيين I:

• BC = 3 cm

• BI = 1 cm

• IC = 2 cm

2) تعيين L:

• من I نرسم مستقيماً ∥ (DC)

• يقطع (AD) في L

• إذن (IL) ∥ (DC)

3) حساب AI:

خطوة 1: حساب AL

بتطبيق نظرية طاليس في شبه المنحرف:

$$\frac{BI}{BC} = \frac{AL}{AD}$$

$$\frac{1}{3} = \frac{AL}{6}$$

$$AL = 2 \text{ cm}$$

خطوة 2: حساب IL

$$IL = AB + \frac{BI}{BC} \times (DC - AB)$$

$$IL = 2 + \frac{1}{3} \times 0.5 = 2.167 \text{ cm}$$

خطوة 3: حساب AI

إذا كان المثلث AIL قائم الزاوية:

$$AI = \sqrt{AL^2 + IL^2}$$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• ABCD شبه منحرف

• AB = 2 cm, DC = 2.5 cm

• AD = 6 cm, BC = 3 cm

• (AB) ∥ (DC)

1) تعيين النقطة I:

I نقطة على [BC] بحيث:

$$BI = 1 \text{ cm}$$

إذن:

$$IC = BC - BI = 3 - 1 = 2 \text{ cm}$$

2) تعيين النقطة L:

L هي مسقط I على (AD) وفقاً لمنحى (DC)

طريقة الإنشاء:

• من I نرسم مستقيماً ∥ (DC)

• هذا المستقيم يقطع (AD) في L

• إذن: (IL) ∥ (DC)

3) أ/ حساب AI:

حساب AL:

بما أن (IL) ∥ (DC) ∥ (AB):

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{BI}{BC} = \frac{AL}{AD}$$

$$\frac{1}{3} = \frac{AL}{6}$$

$$AL = 2 \text{ cm}$$

حساب IL:

بتطبيق نظرية طاليس على القواعد:

$$IL = AB + \frac{BI}{BC} \times (DC - AB)$$

$$IL = 2 + \frac{1}{3} \times (2.5 - 2)$$

$$IL = 2 + \frac{1}{3} \times 0.5 = 2 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \text{ cm}$$

حساب AI:

إذا افترضنا أن المثلث AIL قائم في L:

$$AI^2 = AL^2 + IL^2$$

$$AI^2 = 2^2 + \left(\frac{13}{6}\right)^2$$

$$AI^2 = 4 + \frac{169}{36} = \frac{144 + 169}{36} = \frac{313}{36}$$

$$AI = \sqrt{\frac{313}{36}} = \frac{\sqrt{313}}{6}$$

القيمة التقريبية:

$$AI \approx 2.94 \text{ cm}$$

الإجابة النهائية: $AI = \frac{\sqrt{313}}{6}$ cm ≈ 2.94 cm

دليل شامل للتمارين الهندسية - ضفاف البحيرة

📐 نظرية المستقيم الأوسط (منتصف)

🔷 متوازي الأضلاع

📏 رباعي منتصفات الأضلاع

⚠️ نصائح مهمة

تمارين الهندسة - ضفاف البحيرة - Code 55

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي