التمرين رقم 3

📐 مبرهنة طالس 🔸 القطران والتقاطع ⭐ المستوى: 9 أساسي
التمرين 3
شبه منحرف والقطران
📏 وحدة القياس هي السنتيمتر
المعطيات:

ABCD شبه منحرف قاعدتاه AB و CD حيث:

  • AB = 6
  • CD = 9
  • القطران AC و BD يتقاطعان في O
1) بيّن أن:
$$\frac{OA}{OC} = \frac{6}{9}$$
2) ابنِ النقطة M من AD حيث:
$$\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$
3) المستقيم المار من O و الموازي لـ AB يقطع BC في N
أ) حقق أن M ينتمي إلى ON
ب) بيّن أن:
$$\frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$$
4) أحسب OM و ON
5) عيّن I و J منتصفي MD و NC على التوالي. بيّن أن IJ // DC وأحسب IJ
6) IJ يقطع OD في P
أ) بيّن أن P منتصف OD
ب) أحسب IP
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

في مثلث، إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع، فإنه يقسم الضلعين الآخرين بنفس النسبة

للسؤال 1:

• في المثلث ABC، المستقيم (OD) يقطع الضلعين

• استخدم أن (AB) // (DC)

• طبّق مبرهنة طالس

للسؤال 2:

• هذا سؤال إنشاء

• ضع النقطة M على [AD] بحيث AM = (2/5) × AD

للسؤال 3أ:

• استخدم أن (ON) // (AB) // (DC)

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث ADC

• قارن النسب لإثبات أن M, O, N على استقامة واحدة

للسؤال 3ب:

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث ABC

• استخدم أن (ON) // (AB)

للسؤال 4:

• استخدم مبرهنة طالس لإيجاد العلاقة بين OM و DC

• ON هو خط موازٍ للقاعدتين

للسؤال 5:

• I منتصف [MD] و J منتصف [NC]

• استخدم خاصية الخط الواصل بين منتصفي ضلعين في رباعي

للسؤال 6:

• استخدم مبرهنة طالس لإثبات أن P منتصف

📝 منهجية الحل

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

في شبه المنحرف ABCD: (AB) // (DC)

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

2) إنشاء النقطة M:

نضع M على [AD] بحيث:

$$AM = \frac{2}{5} \times AD$$

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس مع (ON) // (DC):

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$$

نتحقق من أن النسبتين متساويتان

3ب) حساب النسبة BN/BC:

في المثلث ABC، نطبق مبرهنة طالس مع (ON) // (AB)

4) حساب OM و ON:

نستخدم:

  • النسب من مبرهنة طالس
  • طول CD = 9

5) إثبات التوازي وحساب IJ:

I منتصف [MD] و J منتصف [NC]

في الرباعي MNCD، نطبق خاصية الخط الواصل بين المنتصفين

6) حساب P و IP:

نطبق مبرهنة طالس لإثبات أن P منتصف [OD]

✅ الحل النهائي

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

بما أن ABCD شبه منحرف، فإن (AB) يوازي (CD).

في المثلثين $\Delta OAB$ و $\Delta OCD$ :

  • النقط $A, O, C$ على استقامة واحدة.
  • النقط $B, O, D$ على استقامة واحدة.
  • المستقيم (AB) يوازي المستقيم (DC).

حسب مبرهنة طالس (الشكل المتفرع):

$$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{DC}$$

بالتعويض بالمعطيات:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

∴ OA/OC = 6/9 = 2/3 ✓

2) إنشاء النقطة M:

نضع M على [AD] بحيث:

$$AM = \frac{2}{5} \times AD$$

أي: M تقسم [AD] بنسبة 2:3 من A

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

في المثلث $\Delta ADC$:

  • $O \in (AC)$
  • $M \in (AD)$
  • (OM) يوازي (DC).

حسب مبرهنة طالس، لدينا:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC}$$
$$\frac{AO}{AC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$$

وبما أن $\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$ أيضاً

إذن: $\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$

حسب مبرهنة طالس العكسية: M تنتمي إلى ON. M, O, N على استقامة واحدة ✓

3ب) حساب النسبة BN/BC:

في المثلث $\Delta CAB$، لدينا :

  • $O \in (AC)$
  • $N \in (BC)$
  • المستقيم (ON) يوازي المستقيم (AB).

دائماً حسب مبرهنة طالس في المثلث $\Delta CAB$ :

$$\frac{CO}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{ON}{AB}$$

حيث:

$$\frac{CO}{CA} = 1 - \frac{AO}{AC}$$
$$\frac{CO}{CA} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

ومنه، نستنتج أن :

$$\frac{CN}{CB} = \frac{3}{5}$$

لحساب $\frac{BN}{BC}$ :

$$\frac{BN}{BC} = 1 - \frac{CN}{CB}$$
$$\frac{BN}{BC} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

∴ BN/BC = 2/5 ✓

4) حساب OM و ON:

حساب OM:

في المثلث $\Delta ADC$، لدينا :

  • $M \in (AD)$
  • $O \in (AC)$
  • المستقيم (OM) يوازي المستقيم (DC).

حسب مبرهنة طالس في المثلث $\Delta ADC$ :

$$\frac{AM}{AD} = \frac{OM}{DC}$$

نعوض $\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$ و $DC = 9$ :

$$\frac{OM}{9} = \frac{2}{5}$$

بالحساب:

$$OM = \frac{2 \times 9}{5}$$
$$OM = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ cm}$$

حساب ON:

في المثلث $\Delta BCD$، لدينا :

  • $N \in (BC)$
  • $O \in (BD)$
  • المستقيم (ON) يوازي المستقيم (DC).

حسب مبرهنة طالس في المثلث $\Delta BCD$ :

$$\frac{BN}{BC} = \frac{ON}{DC}$$

نعوض $\frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$ و $DC = 9$ :

$$\frac{ON}{9} = \frac{2}{5}$$

بالحساب:

$$ON = \frac{2 \times 9}{5}$$
$$ON = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ cm}$$

∴ OM = ON = 3.6 cm ✓

5) إثبات IJ // DC وحساب IJ:

I منتصف [MD] و J منتصف [NC].

في شبه المنحرف MNDC، (MN) يوازي (DC). I و J sont les milieux des côtés non parallèles.

حسب خاصية الخط الأوسط في شبه المنحرف، فإن $IJ$ يوازي القاعدتين وطوله يساوي نصف مجموع طوليهما:

$$IJ \parallel DC$$

لدينا $MN = OM + ON$ :

$$MN = 3.6 + 3.6 = 7.2 \text{ cm}$$

حساب IJ:

$$IJ = \frac{MN + DC}{2}$$
$$IJ = \frac{7.2 + 9}{2}$$
$$IJ = \frac{16.2}{2} = 8.1 \text{ cm}$$

∴ IJ // DC و IJ = 8.1 cm ✓

6أ) إثبات أن P منتصف OD:

في المثلث $\Delta MOD$، لدينا :

  • $I$ منتصف [MD] (معطى)
  • (IP) يوازي (OM) (لأن (IJ) // (OM))

المستقيم المار من منتصف ضلع في مثلث والموازي لضلع آخر يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

P منتصف [OD] ✓

6ب) حساب IP:

في المثلث $\Delta MOD$، بما أن [IP] هو الخط الأوسط (لأنه يربط بين منتصفي [MD] و [OD]).

$$IP = \frac{OM}{2}$$
$$IP = \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ cm}$$

∴ IP = 1.8 cm ✓