التمرين رقم 3 - مبرهنة طالس

التمرين 3

شبه منحرف والقطران

📏 وحدة القياس هي السنتيمتر

المعطيات:

ABCD شبه منحرف قاعدتاه AB و CD حيث:

AB = 6
CD = 9
القطران AC و BD يتقاطعان في O

1) بيّن أن:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{6}{9}$$

2) ابنِ النقطة M من AD حيث:

$$\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$

3) المستقيم المار من O و الموازي لـ AB يقطع BC في N

أ) حقق أن M ينتمي إلى ON

ب) بيّن أن:

$$\frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$$

4) أحسب OM و ON

5) عيّن I و J منتصفي MD و NC على التوالي. بيّن أن IJ // DC وأحسب IJ

6) IJ يقطع OD في P

أ) بيّن أن P منتصف OD

ب) أحسب IP

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 مبرهنة طالس:

في مثلث، إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع، فإنه يقسم الضلعين الآخرين بنفس النسبة

للسؤال 1:

• في المثلث ABC، المستقيم (OD) يقطع الضلعين

• استخدم أن (AB) // (DC)

• طبّق مبرهنة طالس

للسؤال 2:

• هذا سؤال إنشاء

• ضع النقطة M على [AD] بحيث AM = (2/5) × AD

للسؤال 3أ:

• استخدم أن (ON) // (AB) // (DC)

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث ADC

• قارن النسب لإثبات أن M, O, N على استقامة واحدة

للسؤال 3ب:

• طبّق مبرهنة طالس في المثلث ABC

• استخدم أن (ON) // (AB)

للسؤال 4:

• استخدم مبرهنة طالس لإيجاد العلاقة بين OM و DC

• ON هو خط موازٍ للقاعدتين

للسؤال 5:

• I منتصف [MD] و J منتصف [NC]

• استخدم خاصية الخط الواصل بين منتصفي ضلعين في رباعي

للسؤال 6:

• استخدم مبرهنة طالس لإثبات أن P منتصف

📝 منهجية الحل

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

في شبه المنحرف ABCD: (AB) // (DC)

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

2) إنشاء النقطة M:

نضع M على [AD] بحيث:

$$AM = \frac{2}{5} \times AD$$

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

في المثلث ADC، نطبق مبرهنة طالس مع (ON) // (DC):

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AM}{AD}$$

نتحقق من أن النسبتين متساويتان

3ب) حساب النسبة BN/BC:

في المثلث ABC، نطبق مبرهنة طالس مع (ON) // (AB)

4) حساب OM و ON:

نستخدم:

النسب من مبرهنة طالس
طول CD = 9

5) إثبات التوازي وحساب IJ:

I منتصف [MD] و J منتصف [NC]

في الرباعي MNCD، نطبق خاصية الخط الواصل بين المنتصفين

6) حساب P و IP:

نطبق مبرهنة طالس لإثبات أن P منتصف [OD]

✅ الحل النهائي

1) إثبات النسبة OA/OC = 6/9:

في شبه المنحرف ABCD: (AB) // (CD)

في المثلث ADC، القطر [BD] يقطعه في O

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

∴ OA/OC = 6/9 = 2/3 ✓

2) إنشاء النقطة M:

نضع M على [AD] بحيث:

$$AM = \frac{2}{5} \times AD$$

أي: M تقسم [AD] بنسبة 2:3 من A

3أ) إثبات أن M ينتمي إلى ON:

في المثلث ADC، (ON) // (DC) و O على [AC]

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{AO + OC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$$

وبما أن AM/AD = 2/5 أيضاً

إذن: AO/AC = AM/AD

حسب مبرهنة طالس العكسية: M, O, N على استقامة واحدة ✓

3ب) حساب النسبة BN/BC:

في المثلث ABC، (ON) // (AB)

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CO}{CA} = \frac{CN}{CB}$$

$$\frac{CO}{CA} = \frac{3}{5}$$

إذن:

$$\frac{CN}{CB} = \frac{3}{5}$$

$$\frac{BN}{BC} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

∴ BN/BC = 2/5 ✓

4) حساب OM و ON:

في المثلث ADC، (OM) // (DC) و AM/AD = 2/5

حسب مبرهنة طالس:

$$\frac{OM}{DC} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$$

$$OM = \frac{2}{5} \times 9 = 3.6 \text{ cm}$$

بالمثل، في المثلث BCD:

$$\frac{ON}{DC} = \frac{BN}{BC} = \frac{2}{5}$$

$$ON = \frac{2}{5} \times 9 = 3.6 \text{ cm}$$

∴ OM = ON = 3.6 cm ✓

5) إثبات IJ // DC وحساب IJ:

I منتصف [MD] و J منتصف [NC]

في الرباعي MNDC:

• MN خط يوصل نقطتين على الساقين

• IJ هو الخط الواصل بين منتصفي MD و NC

حسب خاصية الخط الأوسط في شبه المنحرف:

$$IJ \parallel DC$$

$$IJ = \frac{MN + DC}{2} = \frac{3.6 + 9}{2} = \frac{12.6}{2} = 6.3 \text{ cm}$$

∴ IJ // DC و IJ = 6.3 cm ✓

6أ) إثبات أن P منتصف OD:

في المثلث MOD، (IP) // (OM) (لأن IJ // DC و OM // DC)

و I منتصف [MD]

حسب مبرهنة طالس العكسية:

P منتصف [OD] ✓

6ب) حساب IP:

في المثلث MOD، IP هو الخط الأوسط

$$IP = \frac{OM}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ cm}$$

∴ IP = 1.8 cm ✓