📋 لاحظ الرسم التالي:
وصف الشكل:
لدينا مثلث ABC مع نقاط E و F حيث:
- E نقطة على الضلع AC
- F نقطة على الضلع AB
- النقطة B مرتبطة بالنقاط A و E و F و C
- نرمز للمساحات: S_ABF و S_EBF و S_ABC
1) بيّن أن:
$$AF = EF \times \frac{S_{ABF}}{S_{EBF}}$$
2) بيّن أن:
$$AF = AC \times \frac{S_{ABF}}{S_{ABC}}$$
3) استنتج أن:
$$\frac{EF}{AC} = \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}$$
💡 توجيهات للتفكير
📚 مساحة المثلث:
مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع
$$S = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$
📚 نسبة المساحات:
إذا كان لمثلثين نفس الارتفاع، فإن نسبة مساحتيهما تساوي نسبة قاعدتيهما
$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\text{القاعدة}_1}{\text{القاعدة}_2}$$
للسؤال 1:
• المثلثان ABF و EBF يشتركان في نفس الرأس B
• إذا اعتبرنا القواعد AF و EF، يكون للمثلثين نفس الارتفاع من B
• استخدم العلاقة: نسبة المساحات = نسبة القواعد
• إذن: S_ABF / S_EBF = AF / EF
للسؤال 2:
• المثلثان ABF و ABC يشتركان في الرأس B
• إذا اعتبرنا القواعد AF و AC، يكون للمثلثين ارتفاعات على نفس المستقيم
• استخدم نفس المبدأ: نسبة المساحات = نسبة القواعد
للسؤال 3:
• من السؤال 1: AF = EF × (S_ABF / S_EBF)
• من السؤال 2: AF = AC × (S_ABF / S_ABC)
• ساوِ بين التعبيرين للحصول على النتيجة
📝 منهجية الحل
1) إثبات AF = EF × (S_ABF / S_EBF):
الخطوة 1: تحديد المثلثين
- المثلث ABF له القاعدة AF والرأس B
- المثلث EBF له القاعدة EF والرأس B
الخطوة 2: ملاحظة الارتفاع المشترك
المثلثان ABF و EBF لهما نفس الارتفاع من B إلى المستقيم المار من A و E و F
الخطوة 3: تطبيق قاعدة نسبة المساحات
$$\frac{S_{ABF}}{S_{EBF}} = \frac{AF}{EF}$$
الخطوة 4: إعادة الترتيب
$$AF = EF \times \frac{S_{ABF}}{S_{EBF}}$$
2) إثبات AF = AC × (S_ABF / S_ABC):
بنفس الطريقة، المثلثان ABF و ABC يشتركان في الرأس B
نطبق نسبة المساحات للقواعد AF و AC
3) استنتاج النسبة النهائية:
نساوي بين التعبيرين من (1) و (2) ونبسط
✅ الحل النهائي الكامل
1) إثبات AF = EF × (S_ABF / S_EBF):
نعتبر المثلثين ABF و EBF:
- المثلث ABF له القاعدة AF
- المثلث EBF له القاعدة EF
- كلاهما له نفس الارتفاع h من B إلى المستقيم (AE)
مساحة المثلث ABF:
$$S_{ABF} = \frac{1}{2} \times AF \times h$$
مساحة المثلث EBF:
$$S_{EBF} = \frac{1}{2} \times EF \times h$$
نسبة المساحتين:
$$\frac{S_{ABF}}{S_{EBF}} = \frac{\frac{1}{2} \times AF \times h}{\frac{1}{2} \times EF \times h} = \frac{AF}{EF}$$
بإعادة الترتيب:
$$AF = EF \times \frac{S_{ABF}}{S_{EBF}}$$
✓ مبرهن
2) إثبات AF = AC × (S_ABF / S_ABC):
نعتبر المثلثين ABF و ABC:
- المثلث ABF له القاعدة AF
- المثلث ABC له القاعدة AC
- كلاهما له نفس الارتفاع h' من B إلى المستقيم (AC)
مساحة المثلث ABF:
$$S_{ABF} = \frac{1}{2} \times AF \times h'$$
مساحة المثلث ABC:
$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h'$$
نسبة المساحتين:
$$\frac{S_{ABF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \times AF \times h'}{\frac{1}{2} \times AC \times h'} = \frac{AF}{AC}$$
بإعادة الترتيب:
$$AF = AC \times \frac{S_{ABF}}{S_{ABC}}$$
✓ مبرهن
3) استنتاج EF/AC = S_EBF / S_ABC:
من النتيجتين السابقتين:
$$AF = EF \times \frac{S_{ABF}}{S_{EBF}} \quad \text{...(1)}$$
$$AF = AC \times \frac{S_{ABF}}{S_{ABC}} \quad \text{...(2)}$$
بمساواة (1) و (2):
$$EF \times \frac{S_{ABF}}{S_{EBF}} = AC \times \frac{S_{ABF}}{S_{ABC}}$$
نقسم الطرفين على S_ABF:
$$\frac{EF}{S_{EBF}} = \frac{AC}{S_{ABC}}$$
بإعادة الترتيب:
$$\frac{EF}{AC} = \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}}$$
✓ مستنتج
🎓 خلاصة مهمة:
هذا التمرين يبيّن العلاقة المهمة بين نسبة الأطوال ونسبة المساحات في المثلثات المشتركة في رأس واحد