مبرهنة طالس و تطبيقاتها

التمرين 1

المعين المتعامد والتناظر

المعطيات:

ليكن (O, I, J) معلماً متعامداً في المستوى حيث:

$$OI = OJ = 1 \text{ cm}$$

1) عيّن النقطتين A(2;2) و B(4;0)

2) لتكن النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى A

بيّن أن D نقطة من محور الترتيبات (OI)

3) لتكن النقطة E مناظرة النقطة B بالنسبة إلى (OJ). أوجد إحداثيات E

4) بيّن أن:

$$\frac{S_{IED}}{S_{BED}} = \frac{1}{2}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

📚 التناظر المركزي:

إذا كانت D مناظرة B بالنسبة إلى A، فإن A منتصف [BD]

$$x_A = \frac{x_B + x_D}{2} \quad , \quad y_A = \frac{y_B + y_D}{2}$$

📚 التناظر المحوري:

إذا كانت E مناظرة B بالنسبة إلى محور (OJ)، فإن:

الإحداثي السيني يتغير إشارته: x_E = -x_B
الإحداثي الصادي يبقى نفسه: y_E = y_B

📚 مساحة المثلث:

مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع

$$S = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$

ملاحظة: إذا كان لمثلثين نفس الارتفاع، فإن نسبة مساحتيهما تساوي نسبة قاعدتيهما

للسؤال 1:

• ضع النقطتين في المعين المتعامد

• A(2;2) تعني: تتحرك وحدتين على محور الفواصل و وحدتين على محور الترتيبات

• B(4;0) تعني: تتحرك 4 وحدات على محور الفواصل فقط

للسؤال 2:

• استخدم تعريف التناظر المركزي

• A منتصف [BD]، إذن: x_D = 2x_A - x_B و y_D = 2y_A - y_B

• نقطة على محور الترتيبات (OI) تعني y = 0

للسؤال 3:

• التناظر بالنسبة إلى محور (OJ) (محور الترتيبات)

• الإحداثي السيني يتغير إشارته

• الإحداثي الصادي يبقى نفسه

للسؤال 4:

• مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع

• المثلثان IED و BED يشتركان في نفس الارتفاع من D

• القاعدة IE و القاعدة BE على نفس المستقيم (محور الفواصل)

• نسبة المساحات = نسبة القواعد

📝 منهجية الحل

1) تعيين النقطتين:

في المعين المتعامد (O, I, J) حيث OI = OJ = 1 cm:

A(2;2): نتحرك وحدتين يميناً و وحدتين للأعلى
B(4;0): نتحرك 4 وحدات يميناً فقط (على محور الفواصل)

2) إيجاد إحداثيات D:

D مناظرة B بالنسبة إلى A ⇒ A منتصف [BD]

$$x_A = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 2 = \frac{4 + x_D}{2}$$

$$y_A = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 2 = \frac{0 + y_D}{2}$$

3) إيجاد إحداثيات E:

E مناظرة B بالنسبة إلى محور (OJ)

التناظر المحوري بالنسبة إلى محور الترتيبات:

$$x_E = -x_B \quad , \quad y_E = y_B$$

4) حساب النسبة بين المساحتين:

المثلثان IED و BED يشتركان في نفس القاعدة D

القواعد IE و BE تقعان على نفس المستقيم (محور الفواصل)

نستخدم: نسبة المساحات = نسبة القواعد (عندما يكون الارتفاع مشتركاً)

✅ الحل النهائي الكامل

1) تعيين النقطتين:

في المعين المتعامد (O, I, J):

النقطة A(2;2): تقع على بُعد وحدتين من O على محور الفواصل و وحدتين على محور الترتيبات
النقطة B(4;0): تقع على محور الفواصل (OI) على بُعد 4 وحدات من O

✓ يتم وضع النقاط على الرسم

2) إثبات أن D على محور الترتيبات:

D مناظرة B بالنسبة إلى A ⇒ A منتصف [BD]

حساب x_D:

$$x_A = \frac{x_B + x_D}{2}$$ $$2 = \frac{4 + x_D}{2}$$ $$4 = 4 + x_D$$ $$x_D = 0$$

حساب y_D:

$$y_A = \frac{y_B + y_D}{2}$$ $$2 = \frac{0 + y_D}{2}$$ $$4 = y_D$$ $$y_D = 4$$

إذن: D(0;4)

بما أن x_D = 0، فإن D تقع على محور الترتيبات (OI) ✓

3) إيجاد إحداثيات E:

E مناظرة B بالنسبة إلى محور (OJ) (محور الترتيبات)

في التناظر المحوري بالنسبة إلى محور الترتيبات:

$$x_E = -x_B = -4$$ $$y_E = y_B = 0$$

∴ E(-4;0) ✓

4) حساب النسبة بين المساحتين:

الإحداثيات:

I(1;0) على محور الفواصل
E(-4;0) على محور الفواصل
D(0;4)
B(4;0) على محور الفواصل

ملاحظة مهمة: I و E و B جميعها على محور الفواصل (y = 0)

المثلثان IED و BED يشتركان في:

نفس الرأس D(0;4)
قواعدهما IE و BE على نفس المستقيم (محور الفواصل)
نفس الارتفاع h = 4 (من D إلى محور الفواصل)

حساب القواعد:

$$IE = |x_E - x_I| = |-4 - 1| = 5$$

$$BE = |x_B - x_E| = |4 - (-4)| = 8$$

حساب المساحات:

$$S_{IED} = \frac{1}{2} \times IE \times h = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$$

$$S_{BED} = \frac{1}{2} \times BE \times h = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$$

حساب النسبة:

$$\frac{S_{IED}}{S_{BED}} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$

ملاحظة: هناك خطأ في النص الأصلي للتمرين. النسبة الصحيحة هي 5/8 وليس 1/2

إذا كان المطلوب إثبات أن النسبة = 1/2، فيجب أن يكون I في موضع آخر، مثلاً I منتصف [EB]

في هذه الحالة: IE = 4 و BE = 8، وبالتالي S_IED/S_BED = 4/8 = 1/2 ✓