تمارين حول مبرهنة طالس

دفواراتي
حساب طول (مبرهنة طالس المباشرة)
تمرين 1

في الشكل جانبه، المستقيمان (BC) و (MN) متوازيان. لدينا: \(AN = 4 \text{ cm}\), \(AC = 6 \text{ cm}\), و \(AM = 3 \text{ cm}\). احسب طول AB.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

بما أن المستقيمين متوازيان، يمكنك تطبيق مبرهنة طالس المباشرة. اكتب النسب الثلاث المتساوية واختر النسبتين اللتين تحتويان على المجهول AB والمعطيات المعلومة.

📝 الطريقة

1. التحقق من الشروط: لدينا A, M, B و A, N, C نقط على استقامة واحدة. ولدينا \((MN) // (BC)\).

2. كتابة النسب: حسب مبرهنة طالس المباشرة: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\).

3. اختيار النسب المناسبة: نستخدم \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).

4. التعويض والحساب: \(\frac{3}{AB} = \frac{4}{6}\). ثم نحل المعادلة لإيجاد AB.

✅ الحل الكامل

في المثلث ABC، لدينا M تنتمي إلى [AB] و N تنتمي إلى [AC] والمستقيم \((MN)\) يوازي المستقيم \((BC)\). حسب مبرهنة طالس المباشرة، فإن:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[\frac{3}{AB} = \frac{4}{6}\]

باستخدام الجداء المتقاطع، نجد:

\[4 \times AB = 3 \times 6 \Rightarrow 4 \times AB = 18\]
\[AB = \frac{18}{4} = 4.5 \text{ cm}\]
حساب طول (شكل الفراشة)
تمرين 2

(d1) و (d2) مستقيمان متقاطعان في النقطة O. النقطتان A و B تنتميان إلى (d1) والنقطتان C و D تنتميان إلى (d2). المستقيمان (AC) و (BD) متوازيان. لدينا: \(OA = 8 \text{ cm}\), \(OB = 10 \text{ cm}\), و \(OC = 12 \text{ cm}\). احسب طول OD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا هو الشكل الثاني لمبرهنة طالس (شكل الفراشة أو الساعة الرملية). النسب تبقى نفسها، انتبه إلى ترتيب النقاط عند كتابة النسب.

📝 الطريقة

1. التحقق من الشروط: لدينا (AC) // (BD) والمستقيمان (AB) و (CD) متقاطعان في O.

2. كتابة النسب: حسب مبرهنة طالس: \(\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}\).

3. اختيار النسب المناسبة: نستخدم \(\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}\).

4. التعويض والحساب: \(\frac{8}{10} = \frac{12}{OD}\). ثم نحل المعادلة.

✅ الحل الكامل

بما أن \((AC) // (BD)\) والمستقيمان (AB) و (CD) يتقاطعان في O، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[\frac{8}{10} = \frac{12}{OD}\]

باستخدام الجداء المتقاطع:

\[8 \times OD = 10 \times 12 \Rightarrow 8 \times OD = 120\]
\[OD = \frac{120}{8} = 15 \text{ cm}\]
إثبات التوازي (المبرهنة العكسية)
تمرين 3

في الشكل التالي، المستقيمان (BE) و (CD) متقاطعان في النقطة A. لدينا: \(AB = 5 \text{ cm}\), \(AC = 6 \text{ cm}\), \(AD = 7.5 \text{ cm}\), و \(AE = 9 \text{ cm}\). هل المستقيمان (BC) و (DE) متوازيان؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتطبيق مبرهنة طالس العكسية، يجب عليك التحقق من شرطين: تساوي النسبتين، وترتيب النقاط على استقامة واحدة.

📝 الطريقة

1. التحقق من ترتيب النقاط: لدينا A, B, D على استقامة واحدة، و A, C, E على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.

2. حساب النسبة الأولى: احسب قيمة \(\frac{AB}{AD}\).

3. حساب النسبة الثانية: احسب قيمة \(\frac{AC}{AE}\).

4. المقارنة والاستنتاج: إذا كانت النسبتان متساويتين، فالمستقيمان متوازيان. وإلا، فهما غير متوازيين.

✅ الحل الكامل

لتطبيق مبرهنة طالس العكسية، نتحقق من تساوي النسب.

نحسب النسبة الأولى:

\[\frac{AB}{AD} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2 \times 25}{3 \times 25} = \frac{2}{3}\]

نحسب النسبة الثانية:

\[\frac{AC}{AE} = \frac{6}{9} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2}{3}\]

بما أن \(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\) والنقط A, B, D و A, C, E على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب مبرهنة طالس العكسية، المستقيمان \((BC)\) و \((DE)\) متوازيان.

حساب طول ناقص
تمرين 4

المستقيمان (DE) و (BC) متوازيان. النقط A, D, B على استقامة واحدة والنقط A, E, C على استقامة واحدة. لدينا: \(AD = 2 \text{ cm}\), \(DB = 4 \text{ cm}\), و \(AE = 3 \text{ cm}\). احسب طول EC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مبرهنة طالس تستخدم أطوال الأضلاع الكاملة للمثلثين (ABC و ADE). يجب عليك أولاً حساب طول [AB] قبل تطبيق المبرهنة.

📝 الطريقة

1. حساب الطول الكامل: \(AB = AD + DB\).

2. تطبيق طالس: اكتب النسب \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\).

3. إيجاد AC: عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد الطول AC.

4. حساب EC: استنتج طول EC من العلاقة \(EC = AC - AE\).

✅ الحل الكامل

1. حساب طول AB:

\[AB = AD + DB = 2 + 4 = 6 \text{ cm}\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

بما أن \((DE) // (BC)\)، فإن:

\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{2}{6} = \frac{3}{AC}\]

3. إيجاد AC:

\[2 \times AC = 6 \times 3 \Rightarrow 2 \times AC = 18\]
\[AC = \frac{18}{2} = 9 \text{ cm}\]

4. حساب EC:

\[EC = AC - AE = 9 - 3 = 6 \text{ cm}\]
تطبيق مباشر (شكل الفراشة)
تمرين 5

في الشكل التالي، لدينا (RS) // (TU). لدينا: \(OR = 7 \text{ cm}\), \(OT = 10 \text{ cm}\), و \(OS = 5 \text{ cm}\). احسب طول OU.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا تطبيق مباشر لمبرهنة طالس في شكل "الفراشة". اكتب النسب الصحيحة وانتبه إلى أن الرأس المشترك هو O.

📝 الطريقة

1. التحقق من الشروط: (RS) // (TU) والمستقيمان (RT) و (SU) متقاطعان في O.

2. كتابة النسب: \(\frac{OR}{OT} = \frac{OS}{OU} = \frac{RS}{TU}\).

3. اختيار النسب وحل المعادلة: استخدم \(\frac{OR}{OT} = \frac{OS}{OU}\) لإيجاد OU.

✅ الحل الكامل

بما أن \((RS) // (TU)\) والمستقيمان (RT) و (SU) يتقاطعان في O، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس:

\[\frac{OR}{OT} = \frac{OS}{OU}\]

نعوض بالقيم المعطاة:

\[\frac{7}{10} = \frac{5}{OU}\]

باستخدام الجداء المتقاطع:

\[7 \times OU = 10 \times 5 \Rightarrow 7 \times OU = 50\]
\[OU = \frac{50}{7} \approx 7.14 \text{ cm}\]
إثبات التوازي (المبرهنة العكسية)
تمرين 6

النقط F, A, B على استقامة واحدة والنقط G, A, C على استقامة واحدة. لدينا: \(AF = 4 \text{ cm}\), \(AB = 5 \text{ cm}\), \(AG = 4.8 \text{ cm}\), و \(AC = 6 \text{ cm}\). هل المستقيمان (FG) و (BC) متوازيان؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قارن بين النسبتين \(\frac{AF}{AB}\) و \(\frac{AG}{AC}\). إذا كانتا متساويتين، فالمستقيمان متوازيان.

📝 الطريقة

1. التحقق من ترتيب النقاط: F, A, B على استقامة، و G, A, C على استقامة بنفس الترتيب.

2. حساب النسبة الأولى: \(\frac{AF}{AB}\).

3. حساب النسبة الثانية: \(\frac{AG}{AC}\).

4. المقارنة واتخاذ القرار.

✅ الحل الكامل

نحسب النسبتين:

\[\frac{AF}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\]
\[\frac{AG}{AC} = \frac{4.8}{6} = \frac{48}{60} = \frac{4 \times 12}{5 \times 12} = \frac{4}{5} = 0.8\]

بما أن \(\frac{AF}{AB} = \frac{AG}{AC}\) والنقط F, A, B و G, A, C على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإنه حسب مبرهنة طالس العكسية، المستقيمان \((FG)\) و \((BC)\) متوازيان.

حساب طول
تمرين 7

(d) و (d') مستقيمان متقاطعان في A. النقطتان B و C تنتميان إلى (d)، والنقطتان D و E تنتميان إلى (d'). المستقيم (BD) موازٍ للمستقيم (CE). لدينا: \(AB = 9 \text{ cm}\), \(AC = 12 \text{ cm}\), و \(AE = 10 \text{ cm}\). احسب طول AD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا تطبيق مباشر لمبرهنة طالس. اكتب النسب واختر المعادلة المناسبة لحل AD.

📝 الطريقة

1. التحقق من الشروط: (BD) // (CE) والمستقيمان (BC) و (DE) متقاطعان في A.

2. كتابة النسب: \(\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE}\).

3. الحل: استخدم \(\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}\) لإيجاد AD.

✅ الحل الكامل

بما أن \((BD) // (CE)\)، حسب مبرهنة طالس المباشرة:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}\]

نعوض بالقيم:

\[\frac{9}{12} = \frac{AD}{10}\]

نحل المعادلة:

\[AD = \frac{9 \times 10}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15 \times 6}{2 \times 6} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}\]
إثبات التوازي (حساب مسبق)
تمرين 8

لدينا النقط A, M, B والنقط A, N, C على استقامة واحدة. لدينا: \(AM = 5 \text{ cm}\), \(AB = 15 \text{ cm}\), \(AN = 4 \text{ cm}\), و \(NC = 8 \text{ cm}\). هل المستقيمان (MN) و (BC) متوازيان؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أنت بحاجة إلى الطول AC لتتمكن من حساب النسبة \(\frac{AN}{AC}\). كيف يمكنك حسابه من المعطيات؟

📝 الطريقة

1. حساب AC: \(AC = AN + NC\).

2. حساب النسبة الأولى: \(\frac{AM}{AB}\).

3. حساب النسبة الثانية: \(\frac{AN}{AC}\).

4. المقارنة والاستنتاج.

✅ الحل الكامل

1. حساب الطول AC:

\[AC = AN + NC = 4 + 8 = 12 \text{ cm}\]

2. مقارنة النسب:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\]
\[\frac{AN}{AC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

بما أن \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\) والنقط A, M, B و A, N, C على استقامة واحدة وبنفس الترتيب، فإن \((MN)\) و \((BC)\) متوازيان حسب مبرهنة طالس العكسية.

حساب أطوال (شكل الفراشة)
تمرين 9

المستقيمان (AB) و (CD) متوازيان. المستقيمان (AD) و (BC) يتقاطعان في النقطة E. لدينا: \(EA = 6 \text{ cm}\), \(ED = 10 \text{ cm}\), \(EB = 5 \text{ cm}\), و \(AB = 9 \text{ cm}\). احسب الطولين EC و CD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

اكتب النسب الثلاث المتساوية لمبرهنة طالس في شكل "الفراشة". استخدم هذه النسب لحل المجهولين كل على حدة.

📝 الطريقة

1. كتابة النسب: \(\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC} = \frac{AB}{CD}\).

2. حساب EC: استخدم المعادلة \(\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC}\).

3. حساب CD: استخدم المعادلة \(\frac{EA}{ED} = \frac{AB}{CD}\).

✅ الحل الكامل

بما أن \((AB) // (CD)\)، نطبق مبرهنة طالس:

\[\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC} = \frac{AB}{CD}\]

حساب EC:

\[\frac{6}{10} = \frac{5}{EC} \Rightarrow 6 \times EC = 10 \times 5 \Rightarrow EC = \frac{50}{6} \approx 8.33 \text{ cm}\]

حساب CD:

\[\frac{6}{10} = \frac{9}{CD} \Rightarrow 6 \times CD = 10 \times 9 \Rightarrow CD = \frac{90}{6} = 15 \text{ cm}\]
إثبات عدم التوازي
تمرين 10

لدينا النقط R, S, T و R, U, V على استقامة واحدة. لدينا: \(RS = 10\), \(RT = 12\), \(RU = 14\), \(RV = 16\). هل المستقيمان (SU) و (TV) متوازيان؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمبرهنة طالس العكسية، يجب أن تكون النسب متساوية. احسب النسبتين وقارنهما. إذا لم تكونا متساويتين، فماذا يمكنك أن تستنتج؟

📝 الطريقة

1. حساب النسبة الأولى: \(\frac{RS}{RT}\).

2. حساب النسبة الثانية: \(\frac{RU}{RV}\).

3. المقارنة: قارن بين قيمتي النسبتين. من الأفضل تبسيطهما إلى أبسط صورة كسرية.

✅ الحل الكامل

نتحقق من تساوي النسب لتطبيق مبرهنة طالس العكسية.

النسبة الأولى:

\[\frac{RS}{RT} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\]

النسبة الثانية:

\[\frac{RU}{RV} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}\]

لمقارنة الكسرين \(\frac{5}{6}\) و \(\frac{7}{8}\)، نوحد المقامات (المقام المشترك هو 24):

\[\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} \quad \text{و} \quad \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24}\]

بما أن \(\frac{20}{24} \neq \frac{21}{24}\)، فإن \(\frac{RS}{RT} \neq \frac{RU}{RV}\).

إذن، المستقيمان \((SU)\) و \((TV)\) ليسا متوازيين.