🎓 مبرهنة طالس وتطبيقاتها

نشاط تفاعلي للسنة التاسعة أساسي - البرنامج التونسي

عاش طالس حوالي سنة 600 قبل الميلاد على سواحل آسيا الصغرى

مرحباً بك في عالم مبرهنة طالس! 🌟

من هو طالس؟

عاش طالس من ميليتوس حوالي سنة 600 قبل الميلاد على سواحل آسيا الصغرى. وإليه يعود اكتشاف "الذب الصغر"، والنيل بالكسوف سنة 585. وأصول الهندسة.

وبعضا بسطته مركزة في طرف ظل هرم كيوبس، فكانس ارتفاع هذا الهرم. وهذه شهادة على عظمة الرياضيات.

📌 أهداف هذا الدرس

  • ✅ فهم مبرهنة طالس في المثلث وتطبيقاتها
  • ✅ تطبيقات متعددة على المثلثات وشبه المنحرف
  • ✅ تطبيق المبرهنة على المستقيم المنصف لقطعة مستقيم
  • ✅ دراسة حالة شبه المنحرف والمستقيمات الموازية
  • ✅ التعرف على مركز ثقل المثلث والدائرة المحيطة به
  • ✅ حل تمارين وتطبيقات عملية

📊 محتوى الدرس

I - مبرهنة طالس في المثلث
  • مبرهنة طالس
  • المستقيم الرابط بين منتصفي ضلعي مثلث
  • تطبيق مبرهنة طالس في شبه المنحرف
  • مبرهنة طالس والمستقيمات الموازية
  • مسقط منتصف قطعة مستقيم
II - تطبيق مبرهنة طالس
  • تجزئة قطعة مستقيم إلى أجزاء متقايسة
  • تحديد نقطة تقسيم قطعة مستقيم
  • تجزئة قطعة مستقيم إلى أجزاء متناسبة
III - المثلث القائم والدائرة المحيطة به
  • المثلث القائم والدائرة المحيطة به
  • مركز ثقل المثلث

I - مبرهنة طالس في المثلث

1- مبرهنة طالس الأساسية

ليكن ABC مثلثاً، ولتكن D نقطة من المستقيم [AB] و J منتصف [AC].

إذا كان (DE) موازٍ لـ (BC) بحيث E نقطة من (AC)، فإن:
AD/AB = AE/AC = DE/BC

📐 شرح تفصيلي

المعطيات:

  • ABC مثلث
  • D نقطة على [AB]
  • E نقطة على [AC]
  • (DE) // (BC)

النتيجة:

النسب الثلاثة متساوية: AD/AB = AE/AC = DE/BC

مثال تطبيقي 1

المعطيات: ABC مثلث حيث AB = 8 cm، AC = 4 cm، BC = 6 cm

أُعطي نقطة M من المستقيم (AB) حيث AM = 3 cm

المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع (AC) في N

المطلوب: احسب AN و MN باستعمال مسطرة مدرجة

🎯 ملاحظة هامة

في كل مثلث منتصف ضلع ومنصف ضلع المار من منتصف ضلع آخر يتم موازٍ للضلع الثالث، والمسقط المار من منتصف ضلع ومنصف ضلع آخر نحو الضلع يساوي قيس نصف طول الضلع الثالث.

2- المستقيم الرابط بين منتصفي ضلعي مثلث

إذا كان D منتصف [AB] و E منتصف [AC]، فإن:
(DE) // (BC)
DE = ½ BC

نشاط تفاعلي: حساب أطوال المنتصفات

في المثلث ABC حيث BC = 10 cm

إذا كان D منتصف [AB] و E منتصف [AC]

II - تطبيق مبرهنة طالس لتجزئة قطعة مستقيم

1- تجزئة قطعة مستقيم إلى أجزاء متقايسة

لتجزئة قطعة مستقيم [AB] إلى أجزاء متقايسة:

  1. نرسم مستقيم [Ax) نصف مستقيم حامل للمستقيم (AB) بحيث الحامل يكون مخالفاً لـ A
  2. نرسم على [Ax) نقطاً متتالية ومتساوية البعد بعدد الأجزاء المطلوبة
    AM = MN = NP = ...
  3. نرسم المستقيم المار من B والمار من آخر نقطة مرسومة على [Ax)
  4. نرسم المستقيمات الموازية لـ المار من النقط المعينة على [Ax)
  5. هذه المستقيمات تقسم [AB] إلى أجزاء متقايسة

مثال: تقسيم قطعة إلى 5 أجزاء متساوية

قسّم قطعة مستقيم طولها 7 cm إلى خمسة أجزاء متقايسة

📏 ملاحظة مهمة

لبناء النقطة M من القطعة [AB] بحيث:

AM/AB = n/m

حيث n و m عددان صحيحان طبيعيان ويجب أن يكون n < m

نقسم [AB] إلى m أجزاء متقايسة، بحيث M تبعد n أجزاء عن A

2- تحديد نقطة تقسيم قطعة مستقيم حسب نسبة معينة

مثال: في المستقيم [AB]، حدد النقطة M بحيث:
AM/AB = 3/5

تمرين تطبيقي: تجزئة قطعة مستقيم

نعتبر قطعة مستقيم [AB]

3- تجزئة قطعة مستقيم إلى أجزاء متناسبة مع أطوال مقدمة

تقول أنا جزأنا [AB] إلى جزئين (AM) و (BM) متناسبان مع 2 و 3.

AM/MB = 2/3
أي:
AM/2 = BM/3 = AB/5

مثال تطبيقي

في الرسم المجاور (MN) موازٍ لـ (BC) و AB = 2,5 cm و BM = 2 cm

و AN = 6 cm. احسب AC

الحل:
  1. بما أن (MN) // (BC)، نطبق مبرهنة طالس
  2. AM/AB = AN/AC
  3. نحسب AM: AM = AB - BM = 2,5 - 2 = 0,5 cm
  4. إذن: 0,5/2,5 = 6/AC
  5. AC = (6 × 2,5) / 0,5 = 30 cm

مسقط منتصف قطعة مستقيم

مستقيم المنتصفين (حالة خاصة من مبرهنة طالس)

في كل مثلث ABC، إذا كان D منتصف [AB] وE منتصف [AC] فإنّ:

(DE) // (BC)    و    DE = ½ BC

التعريف والخاصية

ليكن ABC مثلثاً و D نقطة من المستقيم (AB)

مهما تكن النقطة D من المستقيم (AB)

فإن:
مساحة المثلث ADC ومساحة المثلث ABC متناسبتان مع AD و AB
S₁/S₂ = AD/AB
حيث S₁ مساحة المثلث ADC و S₂ مساحة المثلث ABC

🎯 خاصية هامة

إذا كانت D النقطة التي تقسم [AB] من المستقيم (AB):

  • خالفة لـ A فإن:
  • مساحة المثلث ADC ومساحة المثلث ABC متناسبتان مع AD و AB

نشاط 2

تأمل الرسم المجاور حيث D منتصف [AB] و S' مساحة المثلث ABD و S مساحة المثلث ABC

1- احسب S₁ و S₂

2- استنتج أن: S'/S = AD/AB

تمرين: حساب المساحات

في المثلث ABC حيث AB = 10 cm و D نقطة من [AB] حيث AD = 3 cm

إذا كانت مساحة المثلث ABC تساوي 50 cm²

3- تطبيق مبرهنة طالس في شبه المنحرف

تعريف شبه المنحرف

شبه المنحرف هو رباعي الأضلاع له ضلعان متوازيان

إذا كان ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]
و I منتصف [AD] و J منتصف [BC]، فإن:
(IJ) // (AB)
IJ = ½(AB + CD)

📐 خصائص شبه المنحرف

مبرهنة هامة (مبرهنة طالس في شبه منحرف):

ليكن ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]

  • إذا كان I منتصف [AD] و J منتصف [BC]، فإن:
  • (IJ) موازٍ لـ (AB) و (IJ) موازٍ لـ (CD)
  • IJ = ½(AB + CD)

نشاط 8

نعتبر شبه منحرف ABCD قاعدتاه [AB] و [CD]، ولتكن I منتصف [AD] و J منتصف [BC]

المستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O في النقطة P

بين أن:

  1. [AC] منتصف P
  2. IP = ½DC و (IP) موازٍ لـ (AB)
  3. JP = ½AB و (JP) موازٍ لـ (AB)
  4. استنتج أن: IJ = ½(AB + CD) و أن (IJ) موازٍ لـ (AB)

تمرين تطبيقي

شبه منحرف ABCD حيث AB = 3 cm و DC = 5 cm

4- مبرهنة طالس والمستقيمات الموازية

المبرهنة الأساسية

في كل مثلث المستقيم المار من منتصف ضلع والموازي لضلع آخر يمر من منتصف الضلع الثالث

إذا كان:
• D منتصف [AB]
• (DE) // (BC)
فإن:
E منتصف [AC]

🔄 خاصية متكاملة

إذا كان [AB] منتصف D و [CD] منتصف I و [BC] منتصف J، فإن:

(IJ) // (AB)

IJ = ½(AB + CD)

(شبه المنحرف)

في كل مثلث:

منتصف ضلع من المار من منتصف ضلع آخر نحو ضلع ثالث يساوي نصف طول الضلع الثالث

نشاط تفاعلي

تأمل الرسم المجاور حيث D منتصف [AB] والمستقيم الموازي لـ (BC) والمار من D يقطع (AC) في E

والمار من M والموازي لـ (AC) يقطع (AB) في N

بين أن:

  • BI = IJ = JK = KC
  • المستقيم المار من I والموازي لـ (AJ) يقطع (AB) في M
  • المستقيم المار من K والموازي لـ (AJ) يقطع (AC) في N
  • بين أن: (MN) // (BC) و أن MN = ½BC

تمرين: المستقيمات الموازية

في المثلث ABC:

D منتصف [AB]

المستقيم المار من D والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في E

إذا كان BC = 8 cm

III - المثلث القائم والدائرة المحيطة به - مركز ثقل المثلث

1- المثلث القائم والدائرة المحيطة به

نعتبر مثلث ABC قائم الزاوية في A و I منتصف الوتر [BC]

بين أن A يمر من منتصف [BC]، فإن:
IA = IB = IC
استنتج أن إذا كان ABC مثلثاً قائماً في A،
فإن مركز الدائرة المحيطة به هو منتصف الوتر [BC] ونصف قطرها
يساوي نصف طول الوتر

⭕ خصائص الدائرة المحيطة بالمثلث القائم

  • المركز: منتصف الوتر
  • نصف القطر: يساوي نصف طول الوتر
  • الوتر: هو قطر الدائرة

مثال تطبيقي

نعتبر مثلث ABC قائم الزاوية في A

BC = 10 cm

2- مركز ثقل المثلث

في المثلث ABC ولتكن I و J و K منتصفات [AB] و [AC] و [BC] على التوالي

يقع مركز ثقل المثلث عند نقطة تقاطع الثقل بحيث:
AG = (2/3) · AD
BG = (2/3) · BJ
CG = (2/3) · CI

حيث D و E و F هي منتصفات الأضلاع

🎯 خصائص مركز الثقل

  • يقسم كل متوسط بنسبة 2:1
  • يقع على بُعد ثلثي طول المتوسط من الرأس
  • نقطة تقاطع المتوسطات الثلاثة

نشاط: حساب موقع مركز الثقل

في المثلث ABC، إذا كان طول المتوسط من A يساوي 12 cm

✏️ تمارين تطبيقية شاملة

تمرين 1: حساب الأطوال

نعتبر مثلث ABC حيث:

  • AB = 4 cm
  • AC = 5 cm
  • BC = 6 cm

M نقطة من [AB] حيث AM = 3 cm

المستقيم الموازي لـ (BC) والمار من M يقطع (AC) في N

تمرين 2: التحقق من التوازي

في المثلث ABC:

  • AB = 6 cm
  • AC = 4 cm

D نقطة من [AB] حيث AD = 4 cm

E نقطة من [AC] حيث AE = 8/3 cm

السؤال: هل (DE) // (BC) ؟

تمرين 3: شبه منحرف

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]

AB = 6 cm و CD = 10 cm

I منتصف [AD] و J منتصف [BC]

تمرين 4: مركز الثقل

في المثلث ABC:

G مركز ثقل المثلث

المتوسط من A يقطع [BC] في D

إذا كان AD = 9 cm

تمرين 5: الدائرة المحيطة

ABC مثلث قائم الزاوية في A

BC = 8 cm

I منتصف [BC]

🎮 اختبار تفاعلي شامل

0%