دليل شامل لمبرهنة طالس

🎯 مبرهنة طالس الأساسية

المبرهنة: إذا كان $(MN) \parallel (BC)$ في المثلث $ABC$، فإن:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$

🔄 العكس والتوظيف

العكس: إذا كان $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$، فإن $(MN) \parallel (BC)$

التوظيف: لحساب الأطوال المجهولة في الأشكال المتشابهة

📐 خطوات الحل

1. تحديد المثلث الأساسي والمستقيمات المتوازية

2. كتابة نسب طالس المناسبة

3. التعويض بالقيم المعطاة

4. حل المعادلة للحصول على المجهول

5. التحقق من النتيجة

💡 أمثلة تطبيقية

مثال: في المثلث $ABC$، إذا كان $(MN) \parallel (BC)$

و $AM = 3$، $MB = 2$، $AN = 4$

المطلوب: حساب $NC$

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{4}{AC}$$

الحل: $AC = \frac{4 \times 5}{3} = \frac{20}{3}$، إذن $NC = AC - AN = \frac{20}{3} - 4 = \frac{8}{3}$

⚠️ تنبيهات مهمة

• تأكد من أن المستقيمات متوازية قبل تطبيق المبرهنة

• احترم ترتيب النقاط في النسب

• تحقق من أن النقاط على نفس المستقيم

• استخدم وحدات القياس المناسبة

• تأكد من معقولية النتيجة

🧮 صيغ مفيدة

نسب الأطوال: $\frac{AM}{AB} = \frac{CM}{CB} = \frac{MN}{AB}$

نسب المساحات: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{AM}{AB}\right)^2$

المنتصفات: إذا كان $M$ و $N$ منتصفين، فإن $MN = \frac{BC}{2}$

تمارين مبرهنة طالس

الهندسة المستوية التوازي والتناسب تمارين تطبيقية

التمرين 1

التوازي في المثلث

الشكل الهندسي

وحدة قيس الطول في المستقر

المثلث $ABC$ مثلث و $M$ نقطة من $[AC]$ بحيث $[AC] \in M$

المستقيم المار من $M$ و الموازي للمستقيم $(AB)$ يقطع $(BC)$ في النقطة $N$

الأسئلة:

1) بين أن $\frac{CM}{CA} = \frac{MN}{AB}$ و أن $\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB}$

2) أحسب $\frac{CM}{CA}$ إذا كان $\frac{MN}{AB} = \frac{3}{4}$، ثم أحسب $CN$

3) بين النقطة $I$ على $(BA)$ بحيث $(IC)$ يقطع $(MN)$ في $J$

أ. ما هو موقع $J$ على القطعة $[MN]$؟ ولماذا؟

ب. بين أن $\frac{CI}{CB} = \frac{CJ}{CM}$، ثم أن $NJ$ متناصف $[AI]$

ج. أحسب $NJ$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحل هذا التمرين، تذكر أن مبرهنة طالس تنص على أن المستقيمات المتوازية تحافظ على النسب في المثلث.

ابدأ بتحديد المثلث الأساسي $ABC$ والمستقيم الموازي $(MN) \parallel (AB)$.

استخدم خاصية أن النسب متساوية: $\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$

📝 الطريقة

1) البرهان:

بما أن $(MN) \parallel (AB)$ في المثلث $ABC$، فحسب مبرهنة طالس:

$$\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$$

2) الحساب:

إذا كان $\frac{MN}{AB} = \frac{3}{4}$، فإن $\frac{CM}{CA} = \frac{3}{4}$

وبالتالي $\frac{CN}{CB} = \frac{3}{4}$، مما يعني $CN = \frac{3}{4} \times CB$

3) توظيف العكس:

للجزء الثالث، استخدم عكس مبرهنة طالس لإثبات التوازي والمنتصف.

✅ الحل الكامل

1) البرهان:

بما أن $(MN) \parallel (AB)$ في المثلث $ABC$، فحسب مبرهنة طالس المباشرة:

$$\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$$

وهذا يثبت العلاقتين المطلوبتين.

2) الحساب:

إذا كان $\frac{MN}{AB} = \frac{3}{4}$، فإن:

$$\frac{CM}{CA} = \frac{3}{4}$$

وبالتالي:

$$\frac{CN}{CB} = \frac{3}{4} \Rightarrow CN = \frac{3CB}{4}$$

3) المنتصف:

أ. النقطة $J$ هي نقطة تقاطع $(IC)$ مع $(MN)$

ب. بما أن $(MN) \parallel (AB)$، فحسب مبرهنة طالس في المثلث $ABC$:

$$\frac{CI}{CB} = \frac{CJ}{CM}$$

وبتطبيق عكس المبرهنة، نثبت أن $NJ$ منتصف $[AI]$

ج. $NJ = \frac{AI}{2}$ (خاصية المنتصف)

التمرين 2

حساب النسب والأطوال

المعطيات

$ABC$ مثلث و $M$ نقطة من $[BC]$

الموازي لـ $(AB)$ المار من $C$ يقطع $(AM)$ في $E$

نقرن بين $\frac{BM}{BC}$ و $\frac{AB}{BE}$

الأسئلة:

1) الموازي لـ $(AB)$ المار من $C$ يقطع $(AM)$ في $E$. قارن بين $\frac{BM}{BC}$ و $\frac{AB}{BE}$

2) $F$ منتصف $M$ على $(AB)$ وفقاً لمحتوى $(AC)$. بين أن $\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}$

3) استنتج أن $AB^2 = BE \times BF$ إذا كان $AB = 6$ و $BF = 4$، أحسب $BE$

4) إذا كان $AB = 6$ و $BF = 4$، أحسب $BE$

5) الموازي لـ $O$ من $(AC)$ و المار من $O$ يقطع $(AC)$ في الموازي لـ $(AM)$ في $I$ و يقطع $(AF)$ في $I$ ويقطع $[MC]$ في $I$ ويقطع $[AF]$ في $I$ في $J$

بين أن $\frac{AI}{AF} = \frac{CJ}{CM}$، ثم أن $I$ و $J$ منتصف $[AI]$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين يتطلب تطبيق مبرهنة طالس في عدة مثلثات مختلفة.

تذكر أن $(CE) \parallel (AB)$ يعني أن النسب محفوظة في المثلث $AMB$.

للجزء الثالث، استخدم العلاقة $AB^2 = BE \times BF$ (متوسط هندسي).

📝 الطريقة

1) مقارنة النسب:

في المثلث $AMB$، بما أن $(CE) \parallel (AB)$:

$$\frac{CM}{CA} = \frac{CE}{AB}$$

وبالتالي $\frac{BM}{BC} = \frac{AB}{BE}$

2) إثبات التساوي:

استخدم مبرهنة طالس في المثلثين المناسبين لإثبات $\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}$

3) الاستنتاج:

من العلاقتين السابقتين، استنتج $AB^2 = BE \times BF$

4) التطبيق العددي:

عوض $AB = 6$ و $BF = 4$ في العلاقة للحصول على $BE$

✅ الحل الكامل

1) المقارنة:

في المثلث $AMB$، بما أن $(CE) \parallel (AB)$، فحسب مبرهنة طالس:

$$\frac{MC}{MA} = \frac{CE}{AB}$$

ومن خصائص النسب: $\frac{BM}{BC} = \frac{AB}{BE}$

2) البرهان:

بتطبيق مبرهنة طالس في التكوين المناسب:

$$\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}$$

3) الاستنتاج:

من العلاقتين: $\frac{BM}{BC} = \frac{AB}{BE}$ و $\frac{BF}{BA} = \frac{BM}{BC}$

نحصل على: $\frac{BF}{BA} = \frac{AB}{BE}$

$$\Rightarrow BF \times BE = BA \times AB = AB^2$$

4) التطبيق:

إذا كان $AB = 6$ و $BF = 4$:

$$36 = BE \times 4 \Rightarrow BE = 9$$

5) المنتصف:

بتطبيق مبرهنة طالس وعكسها في التكوين الهندسي، نثبت أن:

$$\frac{AI}{AF} = \frac{CJ}{CM}$$

وأن $I$ و $J$ منتصفا القطعة المطلوبة.

التمرين 3

تطبيق عملي مع القياسات

المعطيات العددية

يُعطى المثلث $ABC$ حيث:

$BC = 7$، $AC = 6$، $AB = 5$

النقطة $E$ مخارجة $A$ بالنسبة لـ $B$ بحيث $C$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ $A$

الأسئلة:

1) أثبت أن $E$ منتصف $[EF]$ و أحسب $EF$

2) بين $M$ نقطة من $(BC)$ و المار من $M$ حيث $AM = 4$. الموازي لـ $(AC)$ يقطع $(AB)$ في النقطة $N$

3) بين النقطة $I$ على $(BC)$ بحيث $(AI)$ يقطع $(MN)$ في $J$. المستقيم $(AI)$ يقطع $(BC)$ في $I$

ابيّن النقطة $I$ و أحسب $NF$

أثبت أن $I$ و $J$ منتصفا $[AI]$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا تمرين تطبيقي مع قياسات محددة. ابدأ بتحديد المواقع الدقيقة للنقاط.

استخدم القياسات المعطاة: $BC = 7$، $AC = 6$، $AB = 5$ و $AM = 4$.

تذكر أن التناظر بالنسبة لنقطة يعني أن النقطة منتصف القطعة.

للمنتصف، استخدم عكس مبرهنة طالس.

📝 الطريقة

1) إثبات المنتصف:

بما أن $C$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ $A$، فإن $A$ منتصف $[CE]$

أحسب $EF$ باستخدام خصائص التناظر

2) تحديد النقطة $N$:

استخدم مبرهنة طالس مع $(MN) \parallel (AC)$ و $AM = 4$

أحسب النسب المطلوبة

3) التقاطع والمنتصف:

حدد النقطة $I$ باستخدام تقاطع المستقيمات

استخدم مبرهنة طالس لإثبات خاصية المنتصف

التطبيق العددي:

عوض القيم المعطاة للحصول على النتائج العددية

✅ الحل الكامل

1) المنتصف والطول:

بما أن $C$ و $E$ متناظرتان بالنسبة لـ $A$، فإن $A$ منتصف $[CE]$

إذن $AC = AE = 6$، وبالتالي $CE = 12$

لحساب $EF$، نستخدم خصائص التكوين الهندسي

2) النقطة $N$:

في المثلث $ABC$، بما أن $(MN) \parallel (AC)$ و $AM = 4$، $AB = 5$:

$$\frac{BN}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{MN}{AC}$$

نحسب النسبة $\frac{AM}{AB} = \frac{4}{5}$

3) التقاطع والبرهان:

النقطة $I$ هي تقاطع $(AI)$ مع $(BC)$

بتطبيق مبرهنة طالس في التكوينات المختلفة:

$$\frac{AI_1}{AI} = \frac{AJ}{AM}$$

حيث نثبت أن النسب متساوية، مما يؤكد خاصية المنتصف

الحسابات العددية:

$NF$ يحسب من النسب: $NF = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5}$

وبالتالي $I$ و $J$ منتصفا $[AI]$ حسب خصائص التوازي والتناسب