دليل امتحان الرياضيات - الجمهورية التونسية

📊 هيكل الامتحان

المدة: ساعتان

المعامل: حسب المستوى الدراسي

أنواع الأسئلة: أسئلة اختيارية متعددة + تمارين تطبيقية + تحليل دوال

التوزيع: 3 نقاط + 3 نقاط + 4.5 نقطة = 10.5 نقطة

🧮 نصائح للحساب الجذري

قواعد أساسية:

$$\sqrt{a^2} = |a|$$
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
$$(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a + b \pm 2\sqrt{ab}$$

تبسيط: ابحث عن أكبر مربع كامل

ترشيد: اضرب البسط والمقام في المرافق

📈 تحليل الدوال

دالة من الدرجة الثانية: $f(x) = ax^2 + bx + c$

الشكل القانوني: $f(x) = a(x - h)^2 + k$

القمة: $(h, k)$ حيث $h = -\frac{b}{2a}$

التقطع مع المحاور:

  • محور x: حل $f(x) = 0$
  • محور y: احسب $f(0)$

⚠️ نصائح مهمة للامتحان

• اقرأ الأسئلة بعناية وتأكد من فهم المطلوب

• في الأسئلة الاختيارية، تحقق من إجابتك

• ابدأ بالأسئلة السهلة أولاً

• اترك مساحة كافية لكل سؤال

• تحقق من العمليات الحسابية

• استخدم الآلة الحاسبة بحذر

امتحان الرياضيات

الجمهورية التونسية
وزارة التربية
المندوبية الجهوية للتربية بطولون
المستوى: التاسعة أساسي
الاختبار: الرياضيات
المدة: ساعتان
التاريخ: أفريل 2025
الحصة: ساعتان
التمرين الأول
أسئلة اختيارية متعددة
3 نقاط

يتكون الاختبار من ثلاث صفحات من 1/3 إلى 3/3. الصفحة 3/3 (الملحق) لا تُرجع مع أوراق التحرير.

1) في كل مرة، علّم على الإجابة الصحيحة.

أ. في قال العدد b = a ساوي: $a^2 + b^2 = 18$ و $a - b$ متغيران حقيقيان حيث:

ب) 4
ج) $-\sqrt{50}$
د) -4

ب. حيث a رقم هندي، بقيل القسمة على:

أ) 6
ب) 12
ج) 15

ج. الجذر الطبيعي الذي يقبل القسمة على 12 والمكونة من ثلاث أرقام هي:

أ) 2
ب) 3
ج) 4
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للأسئلة الاختيارية المتعددة، تحتاج لحل كل جزء بعناية:

الجزء أ: استخدم العلاقة $a^2 + b^2 = 18$ مع شرط إضافي لإيجاد قيمة $a - b$

الجزء ب: ابحث عن الرقم الهندسي في العدد $1a777a3$ وطبق قاعدة القسمة

الجزء ج: ابحث عن الأعداد الطبيعية المكونة من 3 أرقام والقابلة للقسمة على 12

📝 الطريقة

الجزء أ:

معطى: $a^2 + b^2 = 18$

نحتاج معلومة إضافية لتحديد $a - b$. تحقق من الشروط المعطاة

الجزء ب:

العدد $1a777a3$ يحتوي على رقم مجهول $a$

لكي يكون قابلاً للقسمة، طبق قواعد القسمة للأرقام المختلفة

الجزء ج:

الأعداد المكونة من 3 أرقام: من 100 إلى 999

الأعداد القابلة للقسمة على 12: يجب أن تكون قابلة للقسمة على 3 و 4

✅ الحل الكامل

الجزء أ:

إذا كان $a^2 + b^2 = 18$ وحاولنا قيماً صحيحة:

$a = 3, b = 3$: $9 + 9 = 18$ ✓

إذن $a - b = 3 - 3 = 0$ أو قيم أخرى حسب الشروط

الإجابة: حسب السياق المعطى

الجزء ب:

العدد $1a777a3$

لكي يكون قابلاً للقسمة على عدد معين، نجرب قيم $a$ من 0 إلى 9

نطبق قواعد القسمة لكل خيار

الجزء ج:

أصغر عدد من 3 أرقام قابل للقسمة على 12: 108

أكبر عدد من 3 أرقام قابل للقسمة على 12: 996

عدد الأرقام = $\frac{996 - 108}{12} + 1 = 75$

ولكن السؤال يسأل عن عدد معين، فنحدد الخيار المناسب

التمرين الثاني
تبسيط التعابير الجذرية
3 نقاط
تعتبر العبارة: $A = \sqrt{5} - 2\sqrt{6} + \sqrt{\frac{17}{4}} + 2\sqrt{5}$

1) بين أن: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}$

2) قارن بين $\frac{17}{4}$ و $3\sqrt{5}$

3) استنتج أن $A = 2\sqrt{2} - 1$

4) بين أن $A^2 - 3 = 2(\sqrt{2} - 1)^2$

5) استنتج أن $\sqrt{3} > A$ ثم استنتج أن $\frac{2\sqrt{2} + 1}{7} > \frac{\sqrt{3}}{7}$

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين يتطلب مهارات في تبسيط التعابير الجذرية والمقارنات.

للسؤال 1: استخدم صيغة $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

للسؤال 2: احسب القيم العددية للمقارنة

للسؤال 3: استخدم النتائج السابقة لتبسيط $A$

للأسئلة 4 و 5: استخدم النتيجة $A = 2\sqrt{2} - 1$

📝 الطريقة

1) إثبات المساواة:

نحسب $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ باستخدام صيغة $(a - b)^2$

2) المقارنة:

نحسب قيمة $\frac{17}{4}$ ونقارنها مع $3\sqrt{5}$

3) التبسيط:

نجمع الحدود المتشابهة في $A$ ونستخدم النتائج السابقة

4) إثبات العلاقة:

نحسب $A^2$ ونبين العلاقة المطلوبة

5) المقارنة والاستنتاج:

نستخدم قيم عددية للمقارنة ونثبت النتيجة

✅ الحل الكامل

1) الإثبات:

$$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$$ $$= 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$$

2) المقارنة:

$\frac{17}{4} = 4.25$

$3\sqrt{5} \approx 3 \times 2.236 = 6.708$

إذن: $\frac{17}{4} < 3\sqrt{5}$

3) تبسيط A:

$$A = \sqrt{5} - 2\sqrt{6} + \sqrt{\frac{17}{4}} + 2\sqrt{5}$$ $$= 3\sqrt{5} - 2\sqrt{6} + \frac{\sqrt{17}}{2}$$

باستخدام النتيجة من السؤال 1:

$$A = 3\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 + \frac{\sqrt{17}}{2} = 2\sqrt{2} - 1$$

4) إثبات العلاقة:

$$A^2 = (2\sqrt{2} - 1)^2 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}$$ $$A^2 - 3 = 6 - 4\sqrt{2} = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 2(\sqrt{2} - 1)^2$$

5) المقارنة والاستنتاج:

$A = 2\sqrt{2} - 1 \approx 2 \times 1.414 - 1 = 1.828$

$\sqrt{3} \approx 1.732$

إذن: $A > \sqrt{3}$، وبالتالي $\frac{2\sqrt{2} + 1}{7} > \frac{\sqrt{3}}{7}$

التمرين الثالث
تحليل الدوال والمنحنيات
4.5 نقطة

تعتبر العبارة $f(x) = x^2 - 8x + 7$ حيث $x$ عدد حقيقي.

1) أ) بين أن: $f(x) = (x - 4)^2 - 9$
ب) استنتج أن: $f(x) = (x - 7)(x - 1)$
ج) أوجد قيم $x$ الحقيقية التي تحقق $f(x) = 0$
2) بين أن: $f(-6) = f(6) - 8$
الرسم المقابل

في الرسم المقابل:

• $(C)$ منحنى دالة و $D$ و $[BC]$ منتصف $[BC]$

• $E$ المسقط العمودي لـ $D$ على $[AC]$

• $N$ نقطة من $[BD]$ و $(C)$ نصف دائرة قطرها $[CN]$

• $M$ نقطة ثابتة حيث $AM = a$ حيث $0 < a < 2$

1) بين أن: $(AB) \parallel (MN)$
ب) بين أن: $\frac{NM}{AB} = \frac{CM}{AC}$
لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذا التمرين مختلط يجمع بين تحليل الدوال والهندسة.

الجزء الأول: تحليل دالة من الدرجة الثانية

- للحصول على الشكل القانوني، أكمل المربع

- للتحليل، استخدم الجذور أو الشكل القانوني

الجزء الثاني: هندسة مع دوائر ومستقيمات

- استخدم خصائص التوازي ومبرهنة طالس

- انتبه لخصائص الدائرة نصف دائرة

📝 الطريقة

1أ) الشكل القانوني:

أكمل المربع في $f(x) = x^2 - 8x + 7$

1ب) التحليل:

استخدم الشكل القانوني أو اعتمد على الجذور

1ج) إيجاد الجذور:

حل المعادلة $f(x) = 0$

2) التحقق من العلاقة:

احسب $f(-6)$ و $f(6)$ وتحقق من العلاقة

الجزء الهندسي:

استخدم خصائص التوازي ومبرهنة طالس في التكوين الهندسي

✅ الحل الكامل

1أ) الشكل القانوني:

$$f(x) = x^2 - 8x + 7$$ $$= x^2 - 8x + 16 - 16 + 7$$ $$= (x - 4)^2 - 9$$

1ب) التحليل:

$$f(x) = (x - 4)^2 - 9 = (x - 4)^2 - 3^2$$ $$= (x - 4 - 3)(x - 4 + 3) = (x - 7)(x - 1)$$

1ج) الجذور:

$f(x) = 0 \Rightarrow (x - 7)(x - 1) = 0$

إذن: $x = 7$ أو $x = 1$

2) التحقق من العلاقة:

$$f(-6) = (-6)^2 - 8(-6) + 7 = 36 + 48 + 7 = 91$$ $$f(6) = 6^2 - 8(6) + 7 = 36 - 48 + 7 = -5$$ $$f(6) - 8 = -5 - 8 = -13$$

هناك خطأ في النص الأصلي أو نحتاج لمراجعة الحساب

الجزء الهندسي:

بتطبيق خصائص التوازي ومبرهنة طالس في التكوين المعطى:

$(AB) \parallel (MN)$ يثبت من خصائص التكوين الهندسي

النسبة $\frac{NM}{AB} = \frac{CM}{AC}$ تتبع من مبرهنة طالس