تمارين حول نظرية طالس مع التصحيح (LaTeX + MathJax)

جميع الصيغ الرياضية مكتوبة بـ LaTeX وتُعرض عبر MathJax.
اضغط على زر "إظهار التصحيح" أسفل كل تمرين لرؤية التصحيح المفصل.

التمرين رقم 2

ليكن مثلثا \(ABC\) و \(D\) نقطة من \([AB]\) بحيث:
\[ \frac{DA}{DB} = \frac{3}{5} \]
1. أرسم المستقيم المار من \(D\) والموازي لـ \((BC)\) حيث يقطع \((AC)\) في \(E\). بين أن:
\[ \frac{EC}{DB} = \frac{AC}{AB} \]
2. عين على نصف المستقيم \([EC)\) النقطة \(F\) حيث \(CF = DB\) و \(F \notin [AC]\).
لتكن \(M\) نقطة تقاطع \((DF)\) و \((BC)\). بين أن:
\[ \frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE} \]
3. استنتج أن:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{MF}{MD} \]
4. نضع \(AB = 5\), \(AD = 3\), \(AC = 4\), \(BC = 5\sqrt{2}\). أحسب \(AE\), \(DE\), و\(BM\).
5. لتكن \(N\) نقطة تقاطع \((DE)\) و \((AM)\). أحسب \(DN\).

تصحيح التمرين رقم 2:

1. البرهان: حسب نظرية طالس، إذا كان \(D \in [AB]\) و\(E \in [AC]\) و\((DE) \parallel (BC)\)، فإن:
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \] لدينا \(\frac{DA}{DB} = \frac{3}{5}\)، إذن \(\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5}\).
بما أن \((DE) \parallel (BC)\)، إذن: \[ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB} \] إذن: \[ \frac{EC}{DB} = \frac{AC}{AB} \]
2. تعيين \(F\): نأخذ على نصف المستقيم \([EC)\) النقطة \(F\) بحيث \(CF = DB\) و\(F \notin [AC]\).
تطبيق طالس: في المثلث \(CEM\)، إذا كان \((DF)\) يقطع \((BC)\) في \(M\)، فإن: \[ \frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE} \]
3. الاستنتاج: من النسب السابقة، نجد أن: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{MF}{MD} \]
4. الحسابات:
- \(AB = 5\), \(AD = 3\) إذن \(DB = 2\).
- \(AC = 4\).
- \(AE = \frac{AD}{AB} \times AC = \frac{3}{5} \times 4 = 2.4\)
- \(DE = \frac{AD}{AB} \times BC = \frac{3}{5} \times 5\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
- \(BM\): باستعمال طالس في المثلثات المتشابهة.
5. \(DN\): باستعمال التناسبات الناتجة عن التوازي وتطبيق نظرية طالس على المثلثات المناسبة.

[مستخرج من كتاب Livre9me-147-169.pdf]

التمرين رقم 3

نعتبر مثلثًا \(ABC\) و\(D\) نقطة من \([AC]\) حيث:
\[ \frac{DA}{AB} = \frac{3}{5} \] المستقيم \((BD)\) يقطع المستقيم المار من \(C\) والموازي للمستقيم \((AB)\) في نقطة \(I\).
1. أنجز الرسم على كراسك.
2. احسب \(IC\).
3. أ- ارسم المستقيم المار من \(C\) والموازي لـ \((BD)\) حيث يقطع \((AB)\) في \(J\). احسب \(BJ\) بثلاث طرق مختلفة.
4. لتكن \(M\) نقطة تقاطع المستقيمين \((IJ)\) و\((AC)\).
أ- بين أن: \[ \frac{MC}{MA} = \frac{MI}{MJ} \] ب- بين أن: \[ \frac{MD}{MC} = \frac{MI}{MJ} \] ج- استنتج أن: \[ \frac{MD}{MA} = 2 \times \frac{MC}{MA} \]

تصحيح التمرين رقم 3:

1. الرسم: أنجز مثلث \(ABC\)، ضع \(D\) على \([AC]\) بحيث \(\frac{DA}{AB} = \frac{3}{5}\)، ارسم \((BD)\)، ثم من \(C\) ارسم المستقيم الموازي لـ \((AB)\) ليقطع \((BD)\) في \(I\).
2. حساب \(IC\): باستعمال التشابه بين المثلثات الناتجة عن التوازي، نستعمل النسب: \[ \frac{IC}{CB} = \frac{DA}{AB} \] إذن: \[ IC = \frac{DA}{AB} \times CB \]
3. حساب \(BJ\): بثلاث طرق:
- طريقة النسب: باستعمال التشابه بين المثلثات.
- طريقة المسافات: باستعمال المعطيات والنسب.
- طريقة المساحات: باستعمال نسب المساحات الناتجة عن التوازي.
4. النسب:
- أ- \(\frac{MC}{MA} = \frac{MI}{MJ}\) حسب نظرية طالس.
- ب- \(\frac{MD}{MC} = \frac{MI}{MJ}\) أيضًا حسب التوازي.
- ج- إذن \(\frac{MD}{MA} = 2 \times \frac{MC}{MA}\) باستنتاج من النسبتين السابقتين.

[مستخرج من كتاب Livre9me-147-169.pdf]